15.1分式的概念和性质（讲练）11大题型（原卷版）

15.1分式的概念和性质分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注意：（1）区别：分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）联系：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.（4）是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.题型1：分式的概念1.下列各式中，是分式的是（）A．−b2a B．a+b2 C．12【变式11】下列各式中：x+y2,−3bA．1 B．2 C．3 D．4【变式12】下列各式：13a，1−1x，a−b2，xyx，A．2个 B．3个 C．4个 D．5个分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.注意：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.题型2：分式有意义、无意义的条件2.使分式x−32x−1有意义的x的取值范围是()A．x≥12 B．x≤12 C．x＞12【变式21】下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（

）A．x22x2+1 B．x2x+1【变式22】若分式22−x无意义，则x的值为（

A．2 B．−2 C．±2 D．0题型3：分式值为0的条件3.使分式x2−1A．1 B．−1 C．±1 D．不存在【变式31】若分式x2−64x+8的值为0，则xA．8 B．−8 C．8或−8若分式a−22a+3的值为0，则a【变式32】若y=3时，分式▭2−x的值为0，则▭可能是（

A．3 B．2y−3 C．3+y D．3y−9若分式m−1m+3m2−3m+2的值为0，则分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.注意：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.题型4：分式的基本性质4.下列等式中，正确的是（）A．ab=a+1C．ab=a【变式41】若分式−3aba2+b2中aA．缩小到原来的14倍B．扩大到原来的4倍C．扩大到原来的16倍 【变式42】将分式3x22y3中x分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.注意：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.题型5：约分及最简分式5.①分式−xx2A．−1x−y B．−1x+y C．②下列分式①b8a②3x2y9xy2③a+b【变式51】约分9a2约分：a3【变式52】当a≠b时，a2−化简m2−163m−12得，当m=−1分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.注意：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.题型6：分式的通分6.把分式1x−y，1x+y，1A．x﹣y B．x+yC．x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）【变式61】这三个分式x2x+2，1x2+x，分式12x2，23xy1x−y+2分式1x,2x【变式62】将下列各分式通分：（1）3a2b（2）2xx−5与3x通分：（1）23a2（2）a−1a2+2a+1题型7：根据分式的正负求字母取值范围7.若分式2x−5x2A．x为任意数 B．x<52 C．x>5【变式71】若分式−53x−4的值为正数，则xA．x<43 B．0<x<43 C．x＞0 D．x【变式72】若分式x−3x2的值为负数，则x的取值范围是题型8：化简求值解方程组8.已知＝0，求的值．【变式81】已知m2−3m+2=0，则代数式A．3 B．2 C．13 D．【变式82】已知m、n互为相反数，且满足m+42−n+42=16题型9：化简求值整体代入法9.已知x+y＝6，xy＝9，求的值．【变式91】若xy=43【变式92】已知1x−1y题型10：化简求值设辅助参数10.已知＝＝＝，且2b﹣d+5f≠0，求的值．【变式101】已知：x6=y4=z3（x、y【变式102】已知x，y，z满足x2=y3=题型11：分式与规律性题11.观察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（1）计算这列分式中，一个分式与它前一个分式的商，你有什么发现？（2）根据你发现的规律写出第n个分式．【变式111】按一定规律排列的式子：−ba，3ba2，−5ba3【变式112】观察下列等式：第1个等式：11×2第2个等式：12×3第3个等式：13×4第4个等式：14×5第5个等式：15×6…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：______；（2）写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明．一、单选题1．下列各式：x−3x，5+yπ，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列式子从左至右变形不正确的是（

）A．2−3b=−23b B．−3．下列代数式变形正确的是（

）A．x2−4x−5=(x+5)(x−1) C．(−2x+3)2=(2x−3)4．把分式2y22x−3y的x，yA．不变B．扩大为原来的4倍C．缩小为原来的145．若分式x2−1x−1的值为0，则xA．1 B．1 C．1 D．不等于1的数二、填空题6．若代数式2x+5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是7．当x