专题27.1成比例线段（人教版）

专题27.1成比例线段【四大题型】【人教版】目录TOC\o"11"\h\u题型一：比例性质 1题型二：线段的比 4题型三：成比例线段 6题型四：黄金分割 8【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【知识点3黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）题型一：比例性质1．已知，那么函数的图象一定不经过第象限．【答案】四【分析】利用比例性质正确求得的值，然后根据直线解析式中的的值正确判断直线经过的象限．【详解】解：当时，根据比例性质，得，则直线解析式是，则图象一定经过一、二、三象限．故答案为：四．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系以及比例的性质，熟知一次函数中，当时，函数的图象在一、二、三象限是解答此题的关键．2．若，那么．【答案】/【分析】根据比例性质设，则，，，进而代值求解即可．【详解】解：设，则，，，∴．【点睛】本题考查比例性质、分式的性质，熟练掌握比例性质并灵活运用是解答的关键．3．若实数满足，求的值．【答案】8或．【分析】观察与发现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出的值解出，因此设，通过变换化为那么可能是或对这两种情况分别讨论求解即可．【详解】解：∵，∴，设，则，，，即，所以或，当时，则，，同理，，所以；当时，所以，综上，值为8或．【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设得到或．4．已知，且，求的值．【答案】【分析】设，进而用含的式子表示出、、，再代入已知等式中，求出的值，进而得出、、的值，即可计算求值．【详解】解：设，，，，，解得：，，，，．【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值，利用“设k法”分别表示并求出a、b、c的值是解题关键．5．已知，，，求的值．【答案】2023【分析】设，则，再求出和的值，由此即可得．【详解】解：设，则，，，，，，，，．【点睛】本题考查了比例的性质、多项式的乘法等知识点，熟练掌握比例的性质是解题关键．题型二：线段的比6．如果一幅地图的比例尺为，那么实际距离是千米的两地在地图上的图距是（

）A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米【答案】A【分析】根据比例尺的定义：图上距离与实际距离的比直接计算即可得到答案；【详解】解：∵比例尺为，实际距离是千米，∴图上距离，故选：A．7．某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】千米米厘米，∴地图上的距离与实际的距离之比是，故选：．【点睛】此题考查了比例尺，解题的关键是正确理解比例尺的定义．8．小明有一张上海市地图，地图的比例尺是，如果A，B两地在地图上的距离是4厘米，那么A，B两地的实际距离是（

）A．8千米 【答案】B【分析】4厘米千米，再设A，B两地的实际距离是x千米，即得出，求解即可．【详解】解：4厘米千米，设A，B两地的实际距离是x千米，则，解得：，故A，B两地的实际距离是0.8千米．故选B．【点睛】本题考查比例尺．掌握比例尺=图上距离÷实际距离是解题关键．9．在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离是．【答案】【分析】根据比例尺图上距离实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离．【详解】解：设甲、乙两地间的实际距离为，则，解得：，．故答案为：．【点睛】本题考查的是比例线段，掌握比例尺的概念和性质是解题的关键．10．在比例尺为的工程规划图上，量得运河大桥两端的图上距离是，则运河大桥两端实际距离为．【答案】【分析】用图上距离除以比例尺即可得到实际距离，再转换单位即可．【详解】根据题意得：，，即运河大桥两端实际距离为．故答案为：．【点睛】本题考查了成比例线段，正确理解图上距离与实际距离的比等于比例尺是解题的关键．题型三：成比例线段11．下列各组中的四条线段成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意；B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意；D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．12．如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（

）A．8米 B．16米 C．24米 D．32米【答案】C【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比求解即可．【详解】解：由题意得：，∵米，米，米∴∴（米）．故选：C．【点睛】本题考查成比例线段的应用．熟练掌握在同一时刻物高与影长成正比是解题的关键．13．下面四组线段中，不能成比例的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据成比例线段的定义，对各选项进行计算判断即可．【详解】解：，即，A成比例，故不符合要求；，即，B成比例，故不符合要求；，C不成比例，故符合要求；，即，D成比例，故不符合要求；故选：A．【点睛】本题考查了成比例线段．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．14．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？【答案】【分析】根据题意，得到，代入比例式计算即可．【详解】解：根据题意可知，，宽，，由，得即∴开平方，得，（舍去）．【点睛】本题考查了比例式的计算，求算术平方根，熟练掌握比例式的计算是解题的关键．15．已知线段a、b、c满足，且．(1)求a、b、c的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值；（2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可．【详解】（1）解：设，则，，∵，所以，解得，∴，，．（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，∴，所以（舍负）．【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．题型四：黄金分割16．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中，则的长度是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据黄金分割点的定义方程求解即可．【详解】解：设的长度是x，则，∵，∴，解得，，经检验，，，都是方程的根，∵，∴不合题意，舍去，∴，即的长度是，故选：A【点睛】本题考查了黄金分割点，正确理解新定义是解题的关键．17．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，C，D是线段的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，则的长为米．（结果保留根号）【答案】【分析】设，，根据C，D是线段的黄金分割点列式求解即可得到答案；【详解】解：设，，∵C，D是线段的黄金分割点，，∴，，解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），∴，故答案为：；【点睛】本题考查黄金分割比例的运用，解一元二次方程，解题的关键是根据黄金分割比例列式．18．如图1在线段上找一个点B，B把分成和两段，其中是较小的一段，满足，则B为线段的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图2，B为的黄金分割点（)，长度为，则的长度；(结果用根号表示)【答案】【分析】设的长度为，根据黄金分割的意义列出比例式，整理出关于x的一元二次方程，解方程可得答案．【详解】解：设的长度为，∵长度为，∴，又∵图2中点B为的黄金分割点（)，∴，即，整理得：，解得：，（舍去），即的长度为．故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，正确理解黄金分割的意义是解题的关键．19．在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC，BC，AB各部分长度的比满足．若，则的长为．【答案】/【分析】先依据列方程求解即可．【详解】解：，，，，解得：，（不合题意舍去）故选：．【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是根据线段比列方程求解．20．如图所示，C是线段的黄金分割点，，D，E分别是，的中点．（1）C也是线段的黄金分割点；（2）若线段的长为，线段（结果不求近似值