高中数学培优讲义练习（必修二）：专题8.9 空间直线、平面的平行（重难点题型精讲）（学生版）

专题8.9空间直线、平面的平行（重难点题型精讲）1．直线与直线平行(1)基本事实4

①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.

②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.

③作用：判断或证明空间中两条直线平行.(2)空间等角定理

①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.2．直线与平面平行(1)判定定理①自然语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.(2)性质定理①自然语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.(3)性质定理的作用①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.

②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.3．平面与平面平行(1)判定定理①自然语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语售.该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.(2)判定定理的推论①自然语言如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语言.(3)性质定理①自然语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.(4)两个平面平行的其他性质①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.

②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.

③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.

⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.4．平行关系的相互转化及综合应用(1)证明线线平行的常用方法

①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.

②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.

④利用平行线分线段成比例定理.

⑤利用线面平行的性质定理.

⑥利用面面平行的性质定理.

⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.(2)证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.

②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.

③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥.

④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.(3)平面与平面平行的判定方法

①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.

②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.

③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.

④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.

⑤利用反证法.(4)平行关系的相互转化常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.【题型1证明线线平行】【方法点拨】掌握线线平行的判定方法，结合题目条件，进行求解，即可证明线线平行.【例1】（2023·上海·高二专题练习）若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥A．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行 D．OB【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（

）A．3条 B．4条C．5条 D．6条【变式1-3】（2022春·高一课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中点，则下列说法正确的是A．PH||BG B．IE||CP C．【题型2直线与平面平行的判定】【方法点拨】使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.【例2】（2023·高一课时练习）已知A、B、C、D是不共面四点，M、N分别是△ACD、△BCD的重心．以下平面中与直线MN平行的是（

）①平面ABC；

②平面ABD；

③平面ACD；

④平面BCD．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【变式2-1】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高二期中）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【变式2-2】（2022秋·广东湛江·高三统考阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1A．B1C//平面A1BMC．BM//平面ACD1 D．【变式2-3】（2022秋·四川·高二阶段练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，A．AD1 B．AA1 C．【题型3平面与平面平行的判定】【方法点拨】第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论.【例3】（2022·全国·高三专题练习）下列四个正方体中，A、B、C为所在棱的中点，则能得出平面ABC//平面DEF的是（

A． B．C． D．【变式3-1】（2022秋·北京海淀·高二期中）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（

）A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1【变式3-2】（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，M，N分别为棱AB，A．直线AD//平面MNE B．直线FCC．平面A1BC//平面MNE D．平面【变式3-3】（2022春·湖北·高二阶段练习）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（

）A． B．C． D．【题型4线面平行性质定理的应用】【方法点拨】应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面.【例4】（2022春·浙江·高一期中）下列命题中正确的是（

）A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行B．平面α内有不共线的三个点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥βC．b∥α，α∥β，则b∥βD．a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BC，A1B1上的点，且A．34 B．23 C．12【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）若直线a//平面α，A∉α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC=4，CF=5，AF=3，则EF的长为（

A．3 B．32 C．34 【变式4-3】（2022春·江西南昌·高二阶段练习）如图，在三棱锥P−ABC中，点D，E分别为棱PB、BC的中点，点G为CD、PE的交点，若点F在线段AC上，且满足AD//平面PEF，则AFFC的值为（A．1 B．2 C．12 D．【题型5面面平行性质定理的应用】【方法点拨】应用面面平行的性质定理时，找出一个平面中的一条直线，则该直线与另一个平面平行，据此可解题.【例5】（2022·高一课时练习）如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，平面ABBA．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，已知平面α//平面β，点P为α，β外一点，直线PB，PD分别与α，β相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为（

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面【变式5-2】（2022春·四川成都·高二期末）若平面α//平面β，直线m⊂α，则直线m与平面β的位置关系是（

A．相交 B．平行 C．m在β内 D．无法判定【变式5-3】（2022·高一课时练习）如图，平面α/平面β，A，C是α内不同的两点，B，D是内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列所有正确判断的编号是（

①当AB，CD共面时，直线AC//BD②当AB=2CD时，E，③当AB，CD是异面直线时，直线EF一定与α平行④可能存在直线EF与α垂直A．①③ B．②④ C．①② D．③④【题型6平行问题的综合应用】【方法点拨】在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的.所以要解决平行关系的综合问题，必须要灵活运用三种平行关系的相互转化.【例6】（2022秋·陕西渭南·高一期末）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，(1)A1B1(2)平面ABF//平面DE【变式6-1】（2022秋·河北唐山