专题13乘法公式重难点题型专训（11大题型）（原卷版）

专题13乘法公式重难点题型专训（11大题型）【题型目录】题型一运用平方差公式进行运算题型二平方差公式与几何图形题型三运用完全平方公式进行运算题型四通过完全平方公式变形求值题型五求完全平方公式中的字母系数题型六完全平方式在几何图形中的应用题型七整式的混合运算题型八乘法公式中的多结论问题题型九乘法公式的相关计算题型十乘法公式中的“知二求三”题型十一乘法公式与几何图形的综合应用【知识梳理】知识点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如知识点二、完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.知识点四、补充公式；；；.【经典例题一运用平方差公式进行运算】1．（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）用乘法公式计算的结果（

）A． B． C． D．3．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）下列式子中：①；②；③；④，能用平方差公式运算的是.4．（2022下·广东佛山·七年级校考专题练习）若则的值为．5．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）（1）你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．______；______；______；…由此我们可以得到：______．（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：．（3）求的值的个位数字，是______．（只写出答案）【经典例题二平方差公式与几何图形】1．（2023下·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（

）A．① B．②③ C．①③ D．③2．（2023下·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）如图，把一块面积为的大长方形木板分割成个正方形①、②、③和个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为，则标号为②的正方形的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）如图，正方形的面积比正方形的面积小6，则阴影部分的面积是．4．（2023下·陕西榆林·七年级统考期末）将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为．5．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的选项）：A．

B．C．

D．(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①根据以上等式简便计算：．②已知，，计算的值；③计算：．【经典例题三运用完全平方公式进行运算】1．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）已知，，，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023上·八年级课时练习）若，则的结果是（

）A．23 B．8 C． D．3．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若，，则．4．（2022下·广东清远·七年级校考阶段练习）例：若，求和的值．解：因为，所以所以，所以，，所以，，已知，满足，求的值为．5．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）在学习乘法公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法：解：∵，∴当时，的值最小，最小值是，∴，∴当时，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)填空：；．(2)若，当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值__________；(3)已知，，是的三边长，，满足，且的值为代数式的最大值，请判断的形状，并求出该三角形的周长．【经典例题四通过完全平方公式变形求值】1．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）已知实数m，n满足，则的值是（

）A．2 B．1 C．0 D．2．（2022上·广东河源·七年级统考期中）已知，则的值为()A．12 B．24 C．28 D．443．（2022上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）若，则的值是．4．（2023下·浙江温州·七年级校考期末）若n满足关系式，则代数式的值是．5．（2023上·内蒙古通辽·九年级统考期中）阅读材料：若，求m、n的值．解：，．．．．根据上述材料，解答下面的问题：(1)已知，求的值；(2)已知，，求的值．【经典例题五求完全平方公式中的字母系数】1．（2023上·上海浦东新·七年级统考期中）若是一个关于的完全平方式，那么k值是（

）A． B． C． D．2．（2023下·陕西咸阳·七年级校考期中）规定三角“

”表示，方框“

”表示．例如：

÷

．若代数式

为完全平方式，则的值是（

）A． B． C．2 D．3．（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是．4．（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为．5．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）课本原题：当k取何值时，是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征。因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到．(1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征：；(2)若是完全平方式，则m的值为；若(n为常数)是完全平方式，则n的值为；(3)已知，请求出b的值．【经典例题六完全平方式在几何图形中的应用】1．（2021下·广东佛山·七年级统考期中）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（

）A． B． C． D．2．（2021下·浙江·七年级期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022上·山东烟台·八年级统考期中）如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为．4．（2023下·河北邢台·七年级校联考阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片，如图1，取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图2；则图2中阴影部分的边长为（用含有a，b的代数式表示）；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图3．则图3中阴影部分的面积为．（用含有a，b的代数式表示）；已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是．5．（2022·河北邢台·校考三模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形，(1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？(2)若嘉瑞要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片张，再取型卡片张，还需取型卡片多少张？(3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值个．【经典例题七整式的混合运算】1．（2023上·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期中）如图1是宽为，长为的小长方形纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为，若，且为定值，则满足的数量关系（

）A． B． C． D．2．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2022·河北保定·校考模拟预测）已知，则=4．（2023下·安徽池州·七年级统考期末）如果，那么代数式的值为．5．（2023上·天津河西·七年级统考期中）阅读材料：“整体换元思想”是中学数学解题中的一种方法，如把某个多项式看成一个整体，可以使得问题简化，它在多项式的化简与求值中应用广泛例如：把看作一个整体，计算解：设，则原式可参考以上想法解答下面问题：(1)计算：(2)计算：利用分配律，试计算的结果；(3)求值：已知，，，求的值【经典例题八乘法公式中的多结论问题】1．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）有个依次排列的整式：第一项是，第二项是，用第二项减去第一项，所得之差记为，记；将第二项与相加作为第三项，记，将第三项与相加记为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①；②当时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为；⑤当时，；以上正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）已知整式，，则下列说法中正确的有（）①不存在这样的实数，使得；②无论为何值，和的值都不可能同时为正；③若，则；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023下·浙江·七年级期末）下列四个结论，其中正确的是．①若，，则可表示为；②若的运算结果中不含项，则；③若，，则；④若，则x只能是2．4．（2023下·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）已知三个实数，，满足，且，那么则下列结论一定正确的是．（只需要填序号）①；②；③；④【经典例题九乘法公式的相关计算】1．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）计算：(1)(2)2．（2023上·江苏南京·七年级南京市人民中学校考期中）计算：3．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．4．（2023上·江西南昌·八年级统考期中）（）化简：（）先化简，后求值：，其中．5．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）求值：(1)(2)．【经典例题十乘法公式中的“知二求三”】1．（2023上·上海浦东新·七年级统考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．2．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中（2）已知：．求：①的值；

②的值；3．（2022上·河北张家口·八年级统考期末）人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．老师讲解了这道题的两种方法：方法一方法二，，．，．，．，，．请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．(1)已知，，求的值；(2)已知，求的值．4．（2023上·福建厦门·八年级厦门市第十中学校考期中）已知，，求下列代数式的值．(1)(2)5．（2023上·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）阅读下列材料并解答下面的问题：利用完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如：或，从而使某些问题得到解决．例：已知，求的值．解：．通过对例题的理解解决下列问题：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)若n满足，求式子的值．【经典例题十一乘法公式与几何图形的综合应用】1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．【发现】（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式；【应用】（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：①已知：，，求的值；②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．2．（2023上·全国·八年级专题练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由1，可得等式：．(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（直接写出等式）(2)利用（1）中所得到的结论，填空：已知，，则；(3)如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．①用含，的式子表示阴影部分的面积；②若，，则阴影部分的面积．3．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．(1)若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式为________；(2)若实数a，b，c满足，，求的值．4．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当，时，正方形的面积既可以用，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：．请用小明计算的方法，直接写出图3中，若，时，表示的等式为______．数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______．数学思考：边长为a的正方形和边长为的正方形拼在一起，B，C，E三点在同一条直线上，设图中阴影部分面积为S．（1）如图4，S的值与a的大小有关吗？请说明理由．（2）如图5，若，．直接写出S的值．数学运用：如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知且满足①与②．若图4中阴影部分的面积为3，图5中梯形的面积为5，则图5阴影部分的面积是______．（直接写出结果）．5．（2023上·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______．(3)若x满足，则的值为______；(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______；(5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．【重难点训练】1．（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）已知实数m，n满足，则的值是（

）A．2 B．1 C．0 D．3．（2022上·河南新乡·八年级校考期中）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则阴影部分的面积为（

）A．52 B．6 C．7 D．84．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）有两个正方形A、，将A，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为（

）A． B． C． D．5．（2023上·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期中）如图1是宽为，长为的小长方形纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为，若，且为定值，则满足的数量关系（

）A． B． C． D．6．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）已知，，，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）有个依次排列的整式：第一项是，第二项是，用第二项减去第一项，所得之差记为，记；将第二项与相加作为第三项，记，将第三项与相加记为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①；②当时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则；④第2022项为；⑤当时，；以上正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是．9．（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）已知，则代数式.10．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）下列式子中：①；②；③；④，能用平方差公式运算的是.11．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图是一个可折叠式的餐桌，其桌面由一个大正方形和四个全等的小正方形构成．当桌角全部打开时（如图①，桌面的最大长度为；当桌角全部收起时（如图②，桌面未被桌角覆盖部分的长度为．那么，当桌角全部收起时（图②中），桌面未被桌角覆盖的阴影部分面积是（用含、的代数式表示）．12．（2023上·北京海淀·八年级北京交通大学附属中学校考期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2的面积关系，写出正确的等式：；（2）两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，则图中阴影部分面积和为．13．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．14．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米5元．(1)用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．(2)若，计算草坪的造价．15．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）（1）你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．______；______；______；…由此我们可以得到：______．（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：．（3）求的值的个位数字，是______．（只写出答案）16．（2023上·广东广州·八年级广州市南武中学校联考期中）（1）图1中，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于的等量关系是______________；（2）尝试解决：①已知：，则______________；②已知：，求的值；（3）填数游戏：如图2，把数字填入构成三角形状的9个圆圈中，使得各边上的