第4.4讲对数函数（原卷版）新高一数学宝典（人教A版2019）

第四章指数函数与对数函数第4.4讲对数函数一、学习目标1．通过具体实例，了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，重点培养数学抽象核心素养．2．探索对数函数的图像与性质，并能简单应用，重点提升直观想象核心素养．3．理解对数函数的单调性，并能用单调性比较大小，解不等式，提升逻辑推理核心素养．4．掌握对数函数的性质和图像，并能综合应用，提升数学运算核心素养．二、重点难点1、对数函数的概念及应用2、对数函数的图像问题3、对数函数的性质及应用三、核心知识对数函数的概念我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函数？为什么？提示：是．由对数的定义可知y＝log2x(x＞0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x＞0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞)．一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1.x是自变量．对数函数的图像与性质在同一坐标系中，对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的图像如图所示，说出这四个函数图像的特征．提示：(1)这四个图像都在y轴右侧，即定义域为(0，＋∞)．(2)y＝log2x与y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x的图像关于x轴对称，y＝log3x与y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的图像关于x轴对称．(3)函数y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x与y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的图像从左到右是下降的，即函数的减区间为(0，＋∞)．(4)这四个图像均过定点(1，0)对数函数的图像和性质a＞10＜a＜1图像性质定义域(0，＋∞)值域(－∞，＋∞)过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数三对数函数的性质与图像当x为何值时，y＝logeq\s\do9(\f(1,5))x大于零？小于零？提示：由logeq\s\do9(\f(1,5))x＞0得0＜x＜1；由logeq\s\do9(\f(1,5))x＜0得x＞1.a＞10＜a＜1x＞1logax＞0logax＜00＜x＜1logax＜0logax＞0三、核心例题题型1对数函数的概念及应用1．下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．2．函数的定义域为（

）．A． B．C． D．3．已知偶函数在上单调递增，若，，，则（

）A． B． C． D．4．函数f(x)＝log2(x2＋8)的值域为（

）A．R B．[0，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，3]5．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是（

）A．(0，5) B．(1，4) C．(2，4) D．(2，5)题型2对数函数的图像问题6．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（

）．A．

B．

C．

D．

7．已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（

）A．2 B．4 C．6 D．88．已知，且，则函数与的图象只可能是（

）A． B．C． D．9．华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（

） B． C． D．10．已知函数的图象如图所示，则（

） B． C． D．题型3对数函数的性质及应用11．已知，则的取值范围为（）A． B．C． D．12．设，若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．13．关于函数，下列描述不正确的是（

）A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象与x轴有且仅有两个交点 D．若，但，则14．已知函数在定义域内单调递减，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．15．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．当堂达标一、单选题1．函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．若，，，则（

）A． B． C． D．3．函数在区间上的值域是（）A． B．C． D．4．下列函数中，在上单调递减的是（

）．A． B． C． D．5．函数（且）恒过定点（

）A． B． C． D．6．已知，，则的值域为（

）A． B．C． D．7．已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知，则的减区间为（

）A． B． C． D．二、多选题9．给出下列结论，其中正确的是（）A．函数的最大值为；B．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是；C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；D．函数在上是增函数.10．已知函数在上是减函数，则实数可能值是（

）A． B． C．1 D．三、填空题11．设函数（且），若，则的值等于．12．已知函数的定义域为，则函数的值域是．四、解答题13．已知函数（，且）(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性并证明.14．已知指数函数的图象过点