运筹学讲义-天津大学研究生e-Learning平台课件

扩展DEA模型／Malmquist指数／区间分析扩展DEA模型一、扩展DEA模型

DEA模型一个弱点就是计算得到的有效单元可能较多（效率评价值为1），若对这些有效单元继续进行评价，DEA模型是无能为力的。PerAnersen和NielsChristianPetersen于1993年提出一种超效率评价模型能够对DEA有效的单元进行排序。超效率评价模型同DEA模型数学形式相似，不同的是在进行第K个决策单元效率评价时，使第K个决策单元的投入和产出被其它所有的决策单元投入和产出的线性组合替代，而将第K个决策单元排除在外，而DEA的模型是将本单元包括在内的。一个有效的决策单元可以使其投入按比例的增加，而效率值保持不变，其投入增加比例即其超效率评价值。二、扩展DEA模型的数学形式

传统DEA原始模型扩展DEA原始模型

对第j0个决策单元进行效率评价。使用下面分式规划模型其中模型的变量为υ和u。传统DEA对偶规划D扩展DEA对偶规划D三、扩展DEA模型的直观说明

可以通过图1来理解这个模型。在图1中有5个决策单元A-E，它们是双投入单产出，为了方便起见，我们让其产出相同（如果产出不同可以使某一单元的投入和产出同时扩大或缩小相同比例）。其数据如下表，等产量曲线如图1。

ABCDE投入12.02.05.010.010.0投入212.08.05.04.06.0产出11.01.01.01.01.0ACEC'DB投入1投入20图1

图1中有效生产前沿面由BC线段和CD线段组成。因此，采用DEA模型求解时，点A、B、C和D都是DEA有效的点，其评价值都为1，而只有E点是DEA无效点。采用超效率评价模型进行评价时，DEA有效的点超效率评价值相应的发生了变化，可以将决策单元的点分为三类用超效率评价模型加以解释：1、DEA无效的点图1中如点E。由于点E不在生产前沿面上，去掉点E生产前沿面不发生改变，因此其超效率评价值就是DEA评价模型的效率值。2、弱DEA有效点图1中如点A。点A是一个弱DEA有效点，同点B相比，在投入2上有一个松弛变量（等于4），但投入1上同点B相同，因此同点B相比其两个投入不能按照相同比例压缩，因此其DEA评价值为1。在采用超效率模型评价时，去掉点A不影响生产前沿面形状，因此其超效率评价值不发生改变，仍然为1。3、DEA有效点图1中如B、C和D。考虑下一个观察点C，C点是DEA有效的点。在参考点集中去掉C，则BD线段中的点变成了有效生产前沿面。C点与有效生产前沿面的距离CC’则是C点可扩张的大小，C’=（6，6）从而可算出扩张比例。C点在扩张到C’过程中始终是有效的。经计算，C点的投入在保证有效的前提下可扩张1.20倍。因此，点C的超效率评价值为1.20，而其DEA评价值为1。点B的解释和点C类似，其超效率评价值为1.316。点D的变化稍微复杂一点，当在参考集中去掉D，生产前沿面变成如图2中的ABCF：

各点的超效率评价值为：（A，B，C，D，E）=（1.00,1.32,1.2,1.25,0.75），单元A-E的效率排序为B>D>C>A>E。

ACED投入1投入20FD’B传统DEA评价值超效率评价值DMUK无效DMUK弱有效DMUK有效DMUK无效DMUK弱有效DMUK（可区分有效程度）样本生产性投资（万元）生产费用（万元）职工人数（人）发电量（亿KWH)总产值（万元）天津电力28065216470020236146.04204377吉林电力16815436450054092293.98474127江西电力16469620700043426183.29298723山东电力67238093667584418793.031651190湖北电力40799627112565221467.24329750广东电力59739756139058051908.66631722宁夏电力10975112512717335111.54177864贵州电力14198018481231076214.05297785四、算例公司名称天津电力吉林电力江西电力山东电力湖北电力广东电力宁夏电力贵州电力CCR模型效率测度0.7910.861110.851超效率测度0.791.260.861.861.071.750.851.09

CCR模型效率测度、超效率测度

2023/12/616DEA交叉效率模型——他评价VS自评价假设条件每个DMU选择自己的权向量Ikx为第k个决策单元对第x种类型输入的投入量，Oky为第k个决策单元对第y种类型输出的产出量vkx为第k个决策单元对第x种类型输入的权系数，uky为第k个决策单元对第y种类型输出的权系数2023/12/6172023/12/618利用DMUk的权向量评价第s个DMU，所得的交叉效率为DEA基本模型的目标函数可写为他评价自评价DEA交叉效率矩阵1234561E11E12E13E14E15E16A12E21E22E23E24E25E26A23E31E32E33E34E35E36A34E41E42E43E44E45E46A45E51E52E53E54E55E56A56E61E62E63E64E65E66A6e1e2e3e4e5e62023/12/619评价DMU被评价DMU被他人评价的平均效率评价他人的平均效率主对角线的数值为各个DMU的自评价效率在评价过程中，通常会出现的情况：最小化对他人的评价，最大化对自己的评价为了得到更加客观公平的评价结果，他评价的平均效率将不包括自评价的结果，也就是：2023/12/6202023/12/621——交叉效率的激进式和仁慈式DEA交叉效率模型DEA模型的结果不唯一使用不同的权向量去评价其他DMU会得到不同的结果目标1：自身的效率最大化；目标2：其他DMU的交叉效率最小化激进式公式目标1：自身的效率最大化；目标2：其他DMU的交叉效率最大化仁慈式公式2023/12/622目标2的公式确定2023/12/623在交叉效率矩阵中，使交叉效率的平均值最小。——激进式公式非线性分式规划替代公式2023/12/624PS：仁慈式公式将min改为maxDEA交叉效率激进式公式12023/12/625DEA交叉效率激进式公式22023/12/626奇异指数2023/12/627表示的是决策单元从他评价转向自评价过程中效率值的变化情况Ekk越大，ek越小，Mk越大，则决策单元k越容易被视为奇异者，即决策单元k是伪有效的Mk越小，表示自评价值与他评价值越接近，则决策单元k的最终评价值越容易被接受2023/12/628基于交叉效率评价，决策单元k的最终评价值表示为根据θk的大小可以对所有的决策单元进行排序2023/12/629——现实意义DEA交叉效率模型DEA中用来评价和排序的一种有效的方法最终评价值完全由其自评价值决定，则太突出自我，容易出现伪有效问题最终评价值完全由他评价值决定，虽然充分体现了民主性，但没有融入自我意见，使决策单元完全处于被动地位，没有机会展现自我价值交叉效率评价模型将自评价与他评价有效地融合在一起，在社会评价活动中有重要的现实意义2023/12/630基于面板数据（Paneldata）的动态DEA效率测算

Malmquist指数2023/12/631一、面板数据（Paneldata）效率测算问题y11

y12

……

y1ny21

y22

……

y2n…

…

……

…ys1

ys2

……

ysnx11

x

12

……

x

1nx

21

x22

……

x2n…

…

……

…xm1

xm2

……

x

mnDMU1

DMU2

……

DMUn

v1

1

v2

2

…

…

vm

m1

u12u2…

…susT0y11

y12

……

y1ny21

y22

……

y2n…

…

……

…ys1

ys2

……

ysnx11

x

12

……

x

1nx

21

x22

……

x2n…

…

……

…xm1

xm2

……

x

mnDMU1

DMU2

……

DMUn

v1

1

v2

2

…

…

vm

m1

u12u2…

…susT1二、Malmquist中用到效率定义Malmquist指数用于研究不同时期决策单元的效率演化，它和法雷尔(Farrell,1957)效率理论有着密切的联系，下面简单介绍一下Malmquist指数的理论方法。符号说明:

t时期的生产活动

t时期的生产可能集

t时期的经验生产活动,DMUj

投入产出值

t时期参考集

t时期的经验生产可能集表示用t期参考集数据衡量的生产活动DMUj0单位t期的投入产出配置的技术效率1、t期综合效率函数表示用t+1期参考集数据衡量的生产活动DMUj0单位t+1期的投入产出配置的技术效率2、t+1期综合效率函数表示用t期参考集数据衡量的生产活动DMUj0单位t+1期的投入产出配置的技术效率

3、t期数据度量t+1期综合效率函数表示用t+1期参考集数据衡量的生产活动DMUj0单位t期的投入产出配置的技术效率4、t+1期数据度量t期综合效率函数

１、表示用t期数据为参考，DMUj0由２、表示用t+1期数据为参考，DMUj0由取其几何平均数作为DMUj0由三、Malmquist指数定义

效率变化的效率变化的平均效率变化四、

Malmquist生产率指数直观解释X1T+1时的生产前沿面T时的生产前沿面abcfedX2五、Malmquist生产率指数的分解使用Malmquist指数分析法，不但可以分析不同时期决策单元的效率演化，而且我们可以将Malmquist指数分解为技术变化率和资源配置变化率。技术变化率是指在给定一组投入要素不变的情况下，实际产出与最大产出之比。资源配置变化率是指在给定价格和技术的条件下，生产给定产出的投入的最佳组合。通过分解，我们可以更加详细地了解提高综合生产率的源泉。避免对于效率的变化只归因于某一个指数，而忽视另一个指数的作用。按照对Malmquist生产率指数的定义，可以将其分解为技术变化率和资源配置效率变化率：

根据上述分析可见，资源配置效率的改善和技术水平的提高是提高综合生产率的源泉。根据的定义，当生产率指数

综合生产率水平提高，构成Malmquist生产率指数的某一变化率大于1时，表明是生产率提高的源泉，反之则是导致生产率降低的原因。六、案例分析

中国商业银行的实证研究研究背景我国银行业的发展历程大致可分为４个阶段：第一阶段（1978-1984年），我国二元银行体系初步建立，即中国人民银行与商业银行分离；第二阶段（1985-1994年），我国多层次银行体系得到构建与充实；第三阶段（1995-2002年），我国银行业商业化改革全面推进；第四阶段（2003年至今），我国银行业实行现代化改革，即建立以股份制商业银行为主体的银行体系。2003年4月28日中国银行业监督管理委员会的成立，以及同年12月27日《中华人民共和国银行业监督管理法》的颁布，标志着中国银行业正式进入现代化改革攻坚阶段。不同的时期，我国银行业也面临着不同的问题。我们认为：前三阶段我国银行业面临着体制和制度的问题；从第四阶段开始，我国银行业正式进入完全商业化管理阶段，“如何提升其自身综合效率”是其面临的最大问题。2023/12/646研究背景基于上述背景，本研究运用基于数据包络分析（dataenvelopmentanalysis，DEA）的Malmquist生产率指数法，分别测算了2005-2009年间我国15家商业银行的全要素生产率变化指数。2023/12/647指标选取商业银行投入、产出指标的选择方法主要有３种：（1）生产法，强调银行是服务类机构，认为投入一般是资本和劳动力，产出一般是存贷款数量、笔数；（2）对偶法，强调收入与支出的平衡，将存款同时作为投入和产出；（3）中介法，强调商业银行的主要功能是在吸纳存款和配置资源之间起融通资金的中介作用，并从中收益，认为商业银行的效率主要体现在其金融中介功能方面，将商业银行的一般投入确定为其经营支出，将其产出确定为其经营收入。本研究基于中介法选择了利息支出、营业支出、存款总额作为投入指标，选择利息收入、非利息收入和贷款总额作为产出指标。这主要是因为：从理论上看，基于中介法选择的投入、产出指标更利于评价银行的综合效率；从实践上看，目前我国商业银行的主要职能是其中介功能，因此对其综合效率进行考察时需按中介法进行。2023/12/648计算结果2023/12/649200520062007Malmquist指数技术进步资源效率配置Malmquist指数技术进步资源效率配置Malmquist指数技术进步资源效率配置10.9690.9111.0640.8180.8870.9921.0341.0450.98920.9030.9440.9560.5650.6650.851.5331.5950.96130.98410.9840.99110.9910.9830.9531.03140.9680.7831.2370.9511.1260.8450.9760.9621.015511.0590.9450.9551.0540.9060.9860.9361.05461.0310.8481.2171.041.140.9130.9861.090.90571.0771.090.9880.9041.0330.8750.9510.911.04580.9570.8681.1030.9421.0890.8651.0171.0760.94591.0020.8941.1210.8511.1180.7614.96214.962100.780.8930.8740.9891.0730.9211.0291.0440.986110.9310.9780.9520.9491.0320.920.8580.9390.914121.0520.8121.2961.1121.2280.9051.1591.0031.155130.89210.8920.95510.9550.7530.9670.779141.17311.1730.59310.5931.020.9531.071150.68210.6820.98310.9830.9730.9760.977平均0.9530.9351.020.8931.0210.8741.1191.021.097计算结果2023/12/650200820092005-2009平均Malmquist指数技术进步资源效率配置Malmquist指数技术进步资源效率配置Malmquist指数技术进步资源效率配置11.0041.1520.8711.0850.9881.0980.9770.9920.98520.8551.0070.8491.0181.0390.980.9261.0090.91730.9551.0490.910.94310.9430.97110.97140.9381.1360.8261.1471.041.1030.99310.99350.961.0380.9251.0721.0091.0630.9941.0180.97660.8810.881.1811.181.0191.011.00971.0521.0650.9880.881.0780.8160.971.0330.93980.97510.9751.00411.0040.9791.0040.97590.210.970.2170.8710.9420.9240.950.9820.968101.03911.0371.03111.0310.96810.968110.9271.0650.871.11311.1130.9521.0020.95121.02811.0280.91910.9191.05111.051130.9151.0350.8841.0740.9581.1210.9120.9910.92141.091.051.0390.95610.9560.94210.942150.9540.9291.0271.0461.0530.9940.9180.9910.926平均0.8741.0320.8471.0181.0071.0120.9671.0020.965结果说明第一，2004-2009年这6年间我国15家上市商业银行的整体全要素生产率略有下降，具体表现为2005-2009年15家银行平均的年均Malmquist生产率指数为0.9673。第二，分年份来看，2006年和2008年两年间，15家银行平均的Malmquist生产率指数下降最为明显，15家银行平均的Malmquist生产率指数较高的年份是2007年和2009年，其值分别为1.119、1.018。第三，分银行来看，6年间年均Malmquist生产率指数上升的银行仅有中信银行和兴业银行，但上升效果并不明显；Malmquist生产率变化指数明显下降的银行有农业银行、广发银行、浦发银行、招商银行、恒丰银行、浙商银行；其余7家银行的全要素生产率相对变化较小。2023/12/651结果说明第四，分构成来看，在Malmquist生产率指数的构成项中，技术进步指数的变动最为显著，6年间16家银行平均的年均技术进步指数为0.965。从年份来看，2006年和2008年两年间15家银行平均的技术进步指数是下降的，其余时段的指数值则较为平稳。从各银行来看，除中信银行外，技术进步指数对各银行的全要素生产率变化具有显著的负向影响，尤其在2006年最为明显。2023/12/652区间分析2023/12/653§1区间分析简介（IntervalAnalysis）一、区间分析的产生源于数值计算中的误差分析某观测值x,误差限ε，则准确值：[x–ε，x+ε]二、区间数及其四则运算区间数(IntervalNumber):区间数的另一表示：，其中，区间数的四则运算

，其中特殊地：区间数四则运算-----应用举例例：证明在区间[8，10]上没有根。解：把x=[8，10]带入函数，可得：

f([8,10])=……=[1.5,23.9],0[1.5,23.9].三、区间向量与区间矩阵区间向量：，其中为区间数区间矩阵：，其中为区间数区间向量与区间矩阵的运算：运算法则同一般的向量和矩阵区间矩阵的特征值与特征向量：设A为一区间矩阵，λ是一区间数，若存在一个非零区间数向量x，使得Ax=λx，则称λ为A的一个特征值，x为A对应于λ的一个特征向量。四、区间分析的其它内容区间序列及其收敛性区间函数及其计算区间线性方程组估计一般函数的积分值区间求区间函数的积分区间积分……§2区间评估与决策的思想传统的评估与决策：点数据刚性模型刚性评估完全理性决策区间评估与决策：区间数据柔性模型柔性评估有限理性决策信息充分静态系统约束确定信息不充分动态系统约束不确定注：处理不确定信息的工具模糊数学随机数学区间数学区间评估模型举例例1

某鸡场有1000只小鸡，用黄豆和玉米混合的饲料喂养，每只鸡每天要吃1-1.3公斤饲料，从营养方面看，每只鸡每天需要0.004-0.006公斤的钙，并至少需要0.21-0.23公斤的蛋白质。已知黄豆的蛋白质含量为48%-52%，钙的含量为0.5%-0.8%，其价格为每公斤0.38-0.42元；玉米的蛋白质含量为8.5%-11.5%，钙的含量为0.3%，其价格为每公斤0.2元；问每天如何配料最节省？

例2层次分析法中，某决策者对某两方案比较时，认为第一方案比第二方案的重要程度，介于“稍微重要”和“明显重要”之间。例3S省拟建一污水处理厂，该方案投资额如表所示，但不知投入数额是否恰当。准备进行效率评价。评价单元总投资额（百万元）年运营成本（十万元）日处理污水规模（万m3）S省拟建23.0—27.58.0—9.53.0A省以建34.271.522.3B省以建59.255.175.1C省以建18.8618.013.5D省以建12.045.681.2§3区间评估的模型与方法一、区间层次分析法（IntervalAHP）简单回顾——AHP的一般步骤：建立递阶层次结构建立判断矩阵层次单排序及一致性检验层次总排序及一致性检验问题：（1）构造判断阵时，某些判断没有把握（2）群组AHP中，各专家意见不尽相同？解决办法区间标度→区间层次分析法1区间判断矩阵的建立定义：称为区间判断矩阵，如果均有例：区间判断矩阵的构造（只需构造上三角）：1）对于不确定判断，分别估计区间的中值rij和变异度δ，则aij=[rij-δ，rij+δ]2）对于群组决策，分别取所有专家的最小值和最大值作为区间数的两端2一致性检验的问题区间判断矩阵的一致性：问题：尚无可操作的判断方法3层次单排序的方法

随机抽样法

详见“许树柏，层次分析法原理，天津大学出版社，1988”

传统单排序方法的区间扩展如：----区间特征根方法（区间幂法），参考“吴育华，区间层次分析法——IAHP，天津大学学报，1995，9：700-705”----区间对数最小二乘法----区间梯度特征向量法

以点推面法

通过求解数字矩阵的排序向量，再由误差传递公式计算得到最后的区间排序向量，参考（1）樊治平等，不确定性判断矩阵权重计算的一种实用方法，系统工程，1996，3：57-61（2）许先云等，不确定AHP判断矩阵的一致性逼近与排序方法，系统工程理论与实践，1998，2：19-224层次总排序的问题IAHP的最后的权重结果为一些区间数问题：如何对之排序？例：w1=[0.4646,0.5205]w2=[0.1746,0.2443]w3=[0.1313,0.1646]w4=[0.1117,0.1585]w1w2w3w4∴最后排序结果w1＞w2＞w3＞w4二、区间线性规划（intervallinearprogramming，简称IvLP）简单回顾——LP的一般模型：MinZ=c1x1+c2x2+…+cnxn

a11x1+a12x2+…+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn

=b2…………am1x1+am2x2+…+amnxn

=bmx1，x2，…，xn≥0s.t.MinZ=CXAX=bX≥0s.t.矩阵表示问题：三种系数A、b、C不确定解决方法：IvLPIvLP的一般模型：IvLP的求解：客观的方法主观的方法1客观方法求解IvLP即分别求解IvLP的最好最优值和最差最优值，由此得到其区间最优值。最好最优值模型：STEP1：确定最优目标函数例：约束条件：[1,2]x1+[1,4]x2≥[2,4]边界不等式：1x1+1x2≥21x1+4x2≥22x1+1x2≥22x1+4x2≥21x1+1x2≥41x1+4x2≥42x1+1x2≥42x1+4x2≥41x1+1x2≥42x1+4x2≥2最大范围不等式最小范围不等式STEP2：确定最大范围约束：STEP3：确定最好最优值模型最差最优值模型：最优值记为：最优值记为：IvLP的最优值为：例求解IvLP的最优值区间解:分别建立该IvLP的最好、最差模型：分别求解两LP，得IvLP的最优值区间为：[0.5,8]2主观方法求解IvLP思路：基于区间数的序关系，将IvLP化为一确定型LP并求解。两个区间数、称为A≤B的满意度。当决策者给定满意度λ0