材料研究与测试方法第二章

LOGO材料研究与测试方法授课教师：

贾铁昆洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com第二章X射线的衍射原理洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com2.1

X射线衍射的方向2.1.1

劳埃方程一维点阵的单位矢量为a（即周期为|a|），入射X光单位矢量为S0，散射单位矢量为SBCDAaS0S=

AB

–

DC

=

hh为衍射级数，取整数其值为0，±1，±2…洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.comBCDAaS0S=

AB

–

DC

=

h如上分析，将AB和DC用三角函数表示：推广到三维空间：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.comBCDAaS0S=

AB

–

DC

=

h如上分析，将AB和DC用矢量表示：推广到三维空间：材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com洛阳理工学院2.1.2

布拉格方程当Ⅹ射线照射到晶体上时，考虑一层原子面上散射

Ⅹ射线的干涉。当Ⅹ射线以角入射到原子面并以角散射时，相距为a的两原子散射X射的光程差为：当光程差等于波长的整数倍

时，在角方向散射干涉加强。即是说，当入射角与散射角相等时，一层原子面上所有散射波干涉将会加强。与可见

光的反射定律相类似，Ⅹ射线从一层原子面呈镜面反射的方向，就是散射线干涉加强的方向，因此，常将这种散射称从晶面反射。n

λ洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.comdddq

qqqAOB1.布拉格方程的推导布拉格定律则是从原子面散射波的干涉出发，去求x射线照射晶体时衍射线束的方向。emegallery.com洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com光程差必须为波长的整倍数=AO+OB

=

2dsind为晶面间距2d

sin

θ

=

n

λn为整数，一般为1洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com把（hkl）晶面的n级反射看成为与虚拟晶面（HKL）emegallery.晶com面平行、面间距为dhkl/n的晶面(nh,nk,nl)的一级反射。面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的反射面，2.布拉格方程的讨论（1）反射级数与干涉指数我们将布拉格方程中的n隐含在d中得到简化的布拉格方程：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.comd001d002假想面（衍射面）000001002衍射面与倒易点阵的对应关系洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com时才能参与反射①X射线的选择反射是晶面在满足布拉格方程的而镜面反射则可以反射任意的可见光。（3）选择反射X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射线的

反射，所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。但是X射线的原子面反射和可见光的镜面反射不同。一束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产生反射，而原子面对X射线的反射并不是任意的，只有当、、d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这种反射称为选择反射。镜面反射与选择反射的区别：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com②X射线的选择反射本质上是反射晶面各原子的相干散射的总结果，反射晶面是由原子构成的晶网面，而镜面是密实无网眼的。③X射线选择反射的作用区域是晶体内的多层晶面，而可见光仅作用于镜面的表层。④在一定的条件下，X射线的反射线能形成以入射线为中心轴的反射锥，锥顶角为掠射角的4倍，而镜面反射中，入射线与反射线分别位于镜面法线的两侧，仅有一个反射方向，入射线、镜面法线和反射线共面，且入射角等于反射角。⑤对于X射线起反射作用的是晶体，即作用对象的物质原子要规则排列，也只有晶体才能产生衍射花样，而对可见光其反射作用的可以是晶体，也可是非晶体，只要表面平整光洁即可。洛阳理工学院（4）衍射方向与晶体结构布拉格方程仅反映了晶胞的形状和大小，但对晶胞中的原子

种类及其排列的有序程度均未得到反映，需要通过衍射强度分析。布拉格方程是X射线在晶体产生衍射的必要条件而非充分条件。有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，但不一定出现衍射线，即所谓系统消光。从 看出，波长选定之后，衍射线束的方向（用

表示）是晶面间距d的函数。如将立方、正方、斜方、六方晶系的面间emegallery.co距m公式代入布拉格公式，并进行平方后得：洛阳理工学院立方晶系正方晶系斜方晶系六方晶系洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com(a)体心立方a-Fea=b=c=0.2866

nm(b)体心立方Wa=b=c=0.3165

nm洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com(c)体心四方

a=b=0.286nm,c=0.320nm(d)体心正交:a=

0.286nm,

b=0.300nm,c=0.320nmX射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com2.1.3

布拉格方程与劳埃方程的一致性布拉格方程与劳埃方程均解决了X射线衍射的方向问题，但由于劳埃方程复杂，使用不便，为此，布拉格方程式基于劳埃方程的基础上，将衍射转化为晶面对X射线的反射，到处了简单、实用的布拉格方程。布拉格方程可以视为劳埃方程的一种简化形式，也可以直接从劳埃方程中推导出来。以立方晶系为例a=b=c洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com入射矢量和衍射的矢量分别为：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com2.1.4衍射矢量方程两两相减倒易矢量洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com2.1.5布拉格方程的厄瓦尔德图解由布拉格方程设入射和反射的单位矢量分别为S0和S，则入射矢量和反射矢量分别为

和

，即emegallery.由c由om

矢量三角形法则得：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com因为

，且

垂直于（hkl）,

所以

为反射面（hkl）的倒易矢量，O*为倒易矢量的原点，B点为反射面所对应的倒易原点。由此可见，凡是晶面所对应的倒易点阵点在圆周上，均满足布拉格方程，晶面将参与衍射。考虑到三维晶体时，晶面上所有晶面对应的倒易点阵，该圆就成了球，凡是位于倒易球上的点，均满足布拉格方程参与衍射。2.1.6布拉格方程的应用1.结构分析，由已知波长的X射线照射晶体，由测量得到的衍射角求得对应的晶体间距，获得晶体的结构信息。emegaller2y..coXm

射线谱分析，由已知的晶面间距的分光晶体来衍射从晶体发出来的特征X射线，通过测定衍射角，计算特征X射线波长，由莫塞莱定律判断晶体成分。洛阳理工学院无机非金属材料测试方法

tiekunjia@126.com相，，晶2.1.7

常见的衍射方法1.劳厄法劳厄法是德国物理学家劳厄在1912年首先提出的，是最早的X射线分析方法，它用垂直于入射线的平底片记录衍射线而得到劳埃斑点。如图所示，图中A为透射B为背射相，目前劳埃法emegallery用.com于单晶体取向测定及体对称性的研究。洛阳理工学院无机非金属材料测试方法

tiekunjia@126.com劳厄法是用连续的X射线照射固定的单晶体的衍射方法，一般都以垂直于入射线数的照相底片来记录衍射花样。根据照片位置不同可以分为，透射劳厄法和背射劳厄法。劳厄法图的特征与其成因X射线的方位固定，对于晶体而言，衍射角固定；入射线包含着从短波极限开始的各不同波长的X射线，每一组面晶仍可以选择性地反射其中满足布拉格公式的特殊波长的射线。劳厄斑点数量的影响因素：emegallery.acaomX射线管的使用电压，管压愈高，则λ0愈小，可能产生的衍射面愈多；b

晶体试样的结构，一般来说，晶胞常数愈大，则可能产生衍射的晶面愈多，斑点也就愈多。根据劳厄斑点的位置，可以用下列公式求出布拉格角：透射法：式中：r1—斑点与底片中心（即入射光束与底片的）距离D1—试样与底片的距离背射法：emegallery.rcro2m为斑点与底片中心的距离，底片中心一般取在光栏的圆形螺帽的影子的圆心上，D2亦为试样与底片的距离。洛阳理工学院无机非金属材料测试方法

tiekunjia@126.com洛阳理工学院无机非金属材料测试方法

tiekunjia@126.com劳厄法的厄瓦尔德图解采用连续X射线照射不动的单晶体连续谱的波长有一个范围，从

λ0(短波限)到λm。右图为零层倒易点阵以及两个极限波长反射球的截面。大球以B为中心，其半径为λ0的倒数；小球以A为中心，其半径为λm的倒数。在这两个球之间，以

线段AB上的点为中心有无限多个球，其半径从(BO)连续变化到(AO)。凡是落到这两个球面之间的区域的倒易结点，均满足布拉格条件，它们将与对应某一波长的反射球面相交而获得衍射。洛阳理工学院无机非金属材料测试方法

tiekunjia@126.com劳厄法的应用劳厄法主要用来测定晶体的取向。此外，还可以用来观测晶体的对称性，鉴定晶体是否是单晶及粗略地观察晶体的完整性。2.转动晶体法转动晶体法采用单色X射线照射转动的单晶体，并用一张以旋转轴为轴的圆筒形底片来记录。晶体绕晶轴旋转相当于其倒易点阵围绕过原点O并与反射球相切的一根轴转动，于是某些结点将瞬时地通过反射球面。emega洛阳理工学院转向照相机无机非金属材料测试方法

tiekunjia@126.com转晶衍射花样的特征衍射斑点分布在在一系列平行的直线上（层线）。洛阳理工学院无机非金属材料测试方法

tiekunjia@126.com转晶法的厄瓦尔德图解洛阳理工学院3.

粉末法采用单色X射线照射多晶试样以获得多晶体衍射花样的方法，此时反射球仅仅一个，半径为入射波长的倒数，多晶体倒易点阵的集合。晶体中的一晶面，对应于倒易点阵中的一个阵点，其倒矢量的大小为该反射晶面间距的倒数；对于多晶体而言，每个晶体中都具有相同的晶面，且各晶粒的取向在空间随机分布，因此，多晶体中的相同晶面所对应的倒易阵点在空间形成网眼的倒易球，球的半径为晶面间距的倒数。粉末越细小，晶粒也多，该倒易球的面密度也大，不同的晶面形成系列倒易球，当发射球与系列倒易球相截时，形成系列交线圆，交圆上的各点所代表的反射面就满足布拉格方程，从样品出发，与交圆的连线便构成了系列同心衍射锥，锥的母线系衍射的方向。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com该方法应用较广，主要用于测定晶体的结构、物相的定性与定量分析、点阵常数的测定以及材料内部应力、织构、晶粒的大小测定。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com2.2

X射线的衍射强度布拉格定律不能反映晶体中原子品种和它们的坐标位置，这是衍射强度理论要解决的问题X射线强度的计算是一个复杂的问题。本章以电子→原子→单胞→单晶体→多晶体这样一个递进的层次逐步推导出粉末多晶体的X射线衍射强度计算公式，并解释在衍射中出现的消光效应。同一张照片上的衍射线条,其强度(浓淡程度)很不一致。强度计算是X射线衍射应用中的一个重要方面.emegallery.定c定om量分析、固溶体有序度测定、内应力及织构分析都是强度理论问题洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com布拉格方程进解决了衍射方向的问题，即满足布拉格方程的晶面将参与衍射，但能否产生衍射花样还取决于衍射线的强度。满足布拉格方程只是发生衍射的必要条件，衍射强度不为零才是不为零才是产生衍射花样的充分条件。布拉格方程进解决了衍射方向的问题，即满足布拉格方程的晶面将参与衍射，但能否产生衍射花样还取决于衍射线的强度。满足布拉格方程只是发生衍射的必要条件，衍射强度不为零才是不为零才是产生衍射花样的充分条件。2.2.1单电子对X射线的散射电子对X射线的散射情况有两种：一种是受原子核束缚较紧的电子，X射线作用后，该电子发生振动，向空间辐射与入射波emegallery频.频com率相同的电磁波，由于波长、频率相同，会发生相干散射；另一种X射线作用在束缚电子上，产生康普顿效应---非相干散射，产生背底。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.comemegaller假y.co定mO为坐标原点，OP，OX与Z轴共面，即P点在OXZ平面上单电子对X射线的散射1.单电子对偏振X射线的散射强度一束X射线沿OX方向传播，在

O点处碰到一个自由电子，这个电子在X射线的电场作用下产生强迫振动，振动频率与原X射线的频率相同。令观测点P到电子O的距离为

OP=R，原X射线的传播方向与散射线方向OP之间的散射角为2θ洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com由于原X射线的电场E0垂直X射线的传播方向，所以E0应分布在OYZ平面上。电子在E0的作用下所获得的加速度a=eE0/m，在P点产生的强度式中，e—电子电荷，m—电子的质量，C—光速，φ—散射线方向与E0之间的夹角,R为散射方向上距散射中心的距离。由于P点散射强度散射强度Ip正比于该点的电场强度的平方，emegallery.式c式om中：I0为入射光强度，所以，P点处单电子对偏振X射线的散射强度为洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.comIY=IZ=1/2

I02.单电子对非偏振X射线的散射强度X射线到达晶体之前是没有经过偏振的，其电场矢量可以在垂直于OX方向的平面（OYZ平面）上指向任意方向，但不论其方向如何，总可以分为沿Y方向的分量EY和沿Z方向的分量EZ，由于E0在各方向上的几率是相等的，因此EY=EZE02=EY2+EZ=2EY2=2EZ2设有Ey和Ez分别产生IyP、IzP类似于电子对于偏振入射X射线的散射过程，其散射强度为洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com由Фy=π/2，Фz=π/2-2θ代入上式中，再有Ip=IyP+IzP可得：汤姆逊公式（J.J.Thomon）公示表明：一束非偏振的入射X射线经过电子散射后，其散射强度随

而变化，即散射线被偏振化了称为，偏振因子或极化因子。带电电子业受迫振动，但m质子=1840电子，质子的散射强度仅为1/1840，故可以忽略不计。仅带电的粒子有散射，中字不带电无散射。当2θ=0时，cos22θ=1；当2θ=π/2时，cos22θ=0，即Ipmax/Ipmin

=

2洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com单个电子对X射线的散射是最基本的散射，其散射强度可以看

成衍射强度的自然单位，又因为主要考虑的电子本身的散射本领，因此可将Ip改写成Ie，这样可以将强度的表达式表述为：偏振入射时非偏振入射时2.2.2单原子对X射线的散射原子对X射线的散射可以看成核外电子对X射线散射的总和。设原子核外有Z个电子，受核束缚较紧，且集中于一点，则单原emegallery.子c子om

对X射线的的散射强度Ia就是Z个电子的散射强度之和，洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.comX射线的波长与原子的直径在同一数量级，不同电子的散射波之间存在着相位差，不能假定集中于一点，单个原子对X射线的散射应该是各电子散射波的矢量的合成。¿原子中某电子在某瞬时与坐标原点处的电子之间的相干散射波的光程差为式中α为rj与（S-S0）之间的夹角|S-S0|=2sinθ，相位差：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com，当原子有Z个电子时，散令

，则射波的振幅瞬时值为散射波振幅的平均值上式中，ρ为原子中电子分布密度，dV为体积单元。设核外电子的分布为球形分布，dV由球坐标代入简化得到：emegallery式.式com中：K=4πsin

θ/λ;4πr2

ρ(r)为电子分布径向分布函数通常用U(表示，此时原子的散射强度为：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com定义原子散射因子为原子散射因子f是K的函数，f随着sinθ/λ的变化而变化。由于散射强度正比于振幅的平方，因此单个原子对X射线的散射强度为Ia=f2Ie原子散射因子与下列因素有关：当核外电子的相干散射电子集中于一点时，各电子的散射波之间无相位差，即Ф=0，Aa=AeZ,f=Z.当2θ=0时，K=4πsinθ/λ=0，由洛必达法则可得sinKr/Kr=1，

即：，说明当散射方向与入射线同向时，原子散射波的振幅Aa为单个电子散射波振幅的Z倍，也就说洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com核外电子发生相干散射的电子集中于一点。当入射波长一定时，随着散射角2θ的增加，f减小，即原子的散射因子f降低，均小于原子序数Z。当入射波长接近于原子的吸收限时，X射线被大量吸收，f显著减小，此现象为反常散射，此时需要对f进行调整，即f`=f-△f为修正值，查附录H。2.2.3单胞对X射线的散射强度单胞是由多个原子组成的，因此单胞对X射线的散射强度即为单胞中各原子散射强度的合成。光程差：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com假设晶胞中有n个原子，第j个原子的散射因子为fj，则晶胞的散射振幅为各原子散射波幅的合成即：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com为了分析方便，引入一个以单电子散射能力为单位，反映晶胞散射能力的参数—结构振幅FHKL,由于散射波的强度正比于振幅的平方，所以，单胞的散射强度

Ib

与电子的散射强度Ie存在下列关系：当晶胞的结构类型不同时，各原子的位置矢量也不同，位相差也随之变化，

反映了晶胞结构类型对散射结构的影响，称为emegallery结.co构m因子。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com1.常见不拉菲点阵的结构因子计算结构因子的大小取决于晶胞点阵的类型、原子的种类、位置和数目，根据晶胞中阵点的位置不同，将14种不拉菲点阵分为简单点阵、底心点阵、体心点阵和面心点阵四大类。(1)简单点阵简单点阵的晶胞只含有一个原子，坐标为（0,0,0）,即

X=Y=Z=0,设原子的散射因子为f，则。简单点阵的结构因子与HKL无关，且不等于零，故凡是满足布拉格方程的所有HKL晶面均可以产生衍射花样。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com结构消光与系统消光在复杂阵胞中，由于面心或体心上有附加阵点（阵胞中的阵点数大于1）或者每个阵点代表不同类的等同点的复杂结构，会使某些（HKL）反射的FHKL=0虽然这些方向仍然满足布拉格衍射条件，但是，由于衍射强度等于0而观测不到衍射线布拉格公式是产生衍射线的必要条件。产生衍射线的必要条件是同时满足布拉格方程和FHKL≠0由于FHKL=0而使衍射线消失的现象称为系统消光，包括点阵消光和结构消光。由点阵原因引起的消光现象称为点阵消光。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com(2)底心点阵每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为000和1/2

1/2

0，原子散射因子相同，都为f则①当H+K为偶数时，②当H+K为奇数时，结论在底心点阵中，结构因子不受L的影响，只有当H、K全为奇数或全为偶数时，结构因子为

，当H、K奇偶混杂时，H+

K为奇数时，结构因子为零，虽然该晶面满足布拉格方程，但其散射强度为零，无衍射花样出现，出现消光现象。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com(3)体心点阵面心点阵的晶胞有2个原子，其坐标分别(0,0,0)、(1/2,1/2,1/2)子的散射因子均为f,则；。①当H+K+L=奇数时，②当H+K+L=偶数时，结论：体心点阵的晶胞中，仅有H+K+L为偶数时才能发生相干散射增强，emegallery出.co现m衍射花样，而在H+K+L为奇数时，即使满足布拉格方程的晶面也无衍射花样产生，出现点阵消光。洛阳理工学院材料工程基础

tiekunjia@126.com(4)面心点阵面心点阵的晶胞有4个原子，其坐标分别(0,0,0)、(1/2,1/2,0)、(

0,1/2)、(0,1/2,1/2)，各原子的散射因子均为f,则①

当H、K、L全奇或者全偶时，K+L、L+H、H+K全为偶数，所以

；②当H、K、L奇偶混杂时，K+L、L+H、H+K有两个奇数，一个偶数，结论：面心点阵中，晶面指数同奇或者同偶时，将产生衍射花样，而当晶面指数奇偶混杂时，结构因子为零，产生消光现象。洛阳理工学院材料工程基础

tiekunjia@126.com点阵类型简单点阵底心点阵体心点阵面心点阵消光规律简单单斜简单斜方简单正方简单立方简单六方菱方三斜底心单斜底心斜方体心斜方体心正方体心立方面心立方面心斜方无点阵消光H、K奇偶混杂，

L无要求H+K+L=奇数H、K、L奇偶混杂常见的消光规律注意(1)结构因子的大小

的大小与点阵类型、原子种类、原子位置和数目有关，而与点阵参数无关。洛阳理工学院材料工程基础

tiekunjia@126.com消光规律仅与点阵类型有关，同种点阵类型的不同结构具有相同的消光规律，如体心立方、体心正方、体心斜方的消光规律相同，即H+K+L为奇数时三种结构均出现消光。当晶胞中有异种原子时，

的计算与同种原子的计算相同，只是fj分别用各自的散射因子带入即可。以上消光规律反映了点阵类型与衍射花样之间的具体关系一样，它取决于点阵类型。面心立方Al衍射数据洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com复杂点阵的FHKL的计算¿

由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方面要遵循点

阵消光规律，另一方面，因为有附加原子的存在，还有附加的消光，称为结构消光。金刚石、密排六方结构存在结构消光。金刚石结构每个晶胞中有8个同类原子，坐标为000、1/2

1/2

0，1/2

0

1/2，0

1/2

1/2，1/4

1/4

1/3/4

3/4

¼，3/4

¼

3/4

，1/4

3/4

3/4com洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com用欧拉公式，写成三角形式：emegallery.讨论洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com。当H、K、L奇偶混杂时，FF=0，故当H、K、L全奇时，

。当H、K、L全偶，且H+K+L=4n（n为整数）时，当H、K、L全偶，H+L+K≠4n，H+L+K=2(2n+1)，小结：由上述分析可知，金刚石除了遵循面心立方点阵的消光规律外，还有附加消光，即H、K、L全偶，H+L+K=2(2n+1)，洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com金刚石结构属于面心立方点阵，凡是

H、K、L不为同性数的反射面都不能产生衍射由于金刚石型结构有附加原子存在，有另外的3种消光条件emegallery.com洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com结构消光(2)密排六方结构每个平行六面体晶胞中有2个同类原子，其坐标为000，1/3

2/3

1/2洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.comÄ小结：Ä密堆六方结构的单位平行六面体晶胞中的两个原子，分别属于两类等同点。所以，它属于简单六方结构，没有点阵消光。只有结构消光洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com结构消光密堆六方结构不能出现(H+2K)/3为整数且L为奇数的晶面衍射洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com(3)NaCl结构一个晶胞中由四个Cl原子和四个Na原子，Cl原子的散射因子为fCl，其坐标为(½,½,½)，(0,0,½),(0,½,0),(½,0,0)；Na原射原子fNa，其坐标(0,0,0),(½,½,0),(½,0,½),(0,½,½)，则。。H+K+L,H、K、L必为两奇两偶，故②当H、K、L同奇时，③当H、K、L同偶，讨论：①当H、K、L奇偶混杂时，H+K、K+L、H+L必为两奇一偶，洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com(3)超点阵结构有些合金在一定的温度会发生无序与有序的可逆转变。AuCu3为例：AuCu3顶点和面心上的原子均有可能出现六面体的顶点和面心，其出现的概率为各自的原子的百分数，因此顶点和面心的原子可以看成一个平均原子，原子散射因子f平均=（0.25fAu+0.75fCu），四个平均原子组成了面心点阵，其消光规律与面心点阵规律相似，即HK、L奇偶混杂时，结构因子为零，出现消光。当温度低于395oC时，为有序的面心点阵，Au位于六面体的顶点，坐标为(0,0,0),Cu的子位于六面体的面心，坐标为(½,½,0),(½,0,½),(0,½,½)，设散射因子分别为fAu和fCu,则洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com①当H、K、L为全奇或全偶时，

。②当H、K、L奇偶混杂时，

。Ä小结：Ä由上述分析可知，AuCu3有序化后，H、K、L奇偶混杂时的结构因子不为零，出现衍射，不过此时的结构因子较小为弱衍射，有序化使无序的固溶体因消光而不出现的衍射线二从先出现，这种重现出现的衍射线称为超点阵线，具有这种特征的结构称为超点阵结构。Ä

由上述复杂点阵的结构因子讨论可知，阵点不是一个单原子，而原子集团时，基元内原子散射波之间相互干涉也可能导致消光，此外，不拉菲点阵通过套构形成的复式点阵，出现了不拉菲本身没有的消光规律，称为结构消光，结构消光和点阵消光合成系统消光。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com¿

衍射矢量方程解决了衍射的方向问题，满足衍射矢量方程是发生衍射的必要条件，能否产生衍射花样还要取决于结构因子，当 ,

(H,

K,

L)才能产生衍射，因此(H,

K,

L)产生衍射的充分必要条件有两条：满足矢量方程，

。2.2.4单晶体的散射强度与干涉函数¿

单晶体是由晶胞在三维方向上堆垛而成，设单晶体为平行

六面体，三维方向的晶胞数分别为N1、N2、N3，晶胞总数为

N=N1×N2×N3,晶胞的基矢量分别为a,b,c。晶胞的散射振幅为各原子的散射振幅的合成，与此相似，单晶体的散射振幅为各单晶胞的散射振幅的合成。emegallery.co¿m单晶体的合成振幅：材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com洛阳理工学院¿

设

：，则：¿令：¿G2

：称为干涉函数，由于散射强度正比于散射振幅的平方，有emegallery.¿co干m涉函数G2

：的物理意义为单晶体的散射强度与晶胞的散射强度之比，G2的空间分布代表了单晶体的散射强度

，

，在三维空间的分布规律。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com¿1.干涉函数G2的分布¿

具体见课本P76¿2.单晶体的散射强度¿ 单晶体的散射强度 主要取决于G2，由于实际晶体都有一定的大小，即G2的主峰有一个存在范围，且晶体的尺寸越小，G2的主峰存在的范围就越大，实际散射强度Im应是主峰强度范围内的积分强度，其积分强度为：2.2.5多晶体的衍射强度emegallery.¿com多晶体由许多单晶体（细小晶粒）组成，因此，X射线在多晶体产生的衍射可以看成是各单晶体衍射的合成。多晶体材料中每洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com¿

多晶体由许多单晶体（细小晶粒）组成，因此，X射线在多晶体产生的衍射可以看成是各单晶体衍射的合成。多晶体材料中每个晶体的（HKL）对应于倒空间中的一个倒易球，由于晶体取向随机，个晶粒汇总同名（HKL）所对应的倒易点分布于半

径为1/dHKL的倒易球面上，倒易球的致密性取决于晶粒数。多晶中并非每个晶粒都能参与衍射，只是反射球（厄瓦尔德球）与倒易球相交的交线圆，即交线圆上的倒易阵点对应的（HKL）晶面参与了衍射。（1）由于试样中晶粒的数目是足够多的，所以，可以认为这些晶面的倒易阵点是均匀分布在半径为r*的球面上，通常把这个球面称为倒易阵点球面，简称为倒易球。¿

（2）从交线圆向倒易球心连线形成反射面法线圆锥，半锥顶角为90°-θ，入射线为两个圆锥的公共轴洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com¿

(3)如果在与入射线垂直的位置放一张照相底片，则在底片上记录的衍射花样为强度均匀分布的衍射圆环。衍射强度公式推导从干涉函数的分析中知道，每条衍射线的强度都有一定的角度。当某（HKL）晶面满足衍射条件时，衍射角有一定的波动范围，反射面法线圆锥的顶角也有一定的波动范围。因此，反射面的法线圆锥与倒易球面相交成一个具有一定宽度的环带只有那些法线穿过环带的晶面才能满足衍射条件，其余方向上的晶面则不能参加衍射。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com可以用环带的面积ΔS与倒易球的面积S之比来表示参加衍射晶面数的百分比。而指数一定的晶面数与晶粒数是一一对应的，即有一个晶面参加衍射，就意味着有一个晶粒参加衍射。所以，参加衍射晶面数的百分比等于参加衍射晶粒数的百分比。用Δq代表参加衍射的晶粒数，用q代表试样中被X射线照射体积中的晶粒总数，则：¿设多晶体的衍射强度为I多，则洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com¿

式中项仅与散射半角θ有关，称为角因子。2.2.6影响多晶体的其他因数洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com多重因数P同一晶面族中{HKL}中包含多个同等的晶面，具有相同的晶面间距，当晶面族中的某个晶面满足衍射条件时，其他的晶面同样参与衍射，均对强度有贡献。晶面族所包含的晶面数称为多重因子，记为P，不同结构时的多重因子见附录I，衍射强度为：吸收因子A(θ)试样对X射线的吸收使衍射强度衰减，在衍射强度中引入吸收因子：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com修正后的样品吸收对衍射强度的影响，修正后的衍射强度时：3.温度因子e-2M上述的讨论中，假定原子是静止不动的，发生衍射时，原子所在的晶面满足衍射条件。晶体中的原子绕其平衡位置不停地做热振动，且温度越高，其振动幅度越大，在热振动的过程中，原子离开原来的平衡位置，破坏了原来满足衍射条件使原来的该原子在反射面的衍射强度减弱，因此需要引入温度因子。温度因子用来修正原子热振动对衍射的影响，表示为e-2M洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com温度越高，原子的振动幅度越大，偏离衍射条件越远，衍射的强度下降也就越大，当温度一定时，θ越高，M越大，e-2M越小，这表明同一衍射花样中，θ越高，衍射强度下降的也多。另外，由于入射X射线的波长λ一般为定值，因此，布拉格方程可知θ

的影响，同样也反映了晶面间距对衍射强度的影响。由于原子的热振动偏离了衍射条件，使衍射强度下降，同时增加了背底噪声，且所衍射角的增加而增加，对于衍射花样分析不利。洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com比较同一物相的相对强度：比较同一衍射花样中不同物相的相对强度，需要考虑各物相被照射的体积（V）以及各自的单胞体积（V0），相对强度：洛阳理工学院材料研究与测试方法

tiekunjia@126.com例题1：已知钼的λKα

＝0.71Å，铁的λK

α

＝1.93Å及钴的λK

α

＝1.79Å，试求光子的频率和能量。试计算钼的K激发电压，已知钼的λK＝0.619Å。已知钴的K激发电压UK＝7.71kv，试求其λK。解：⑴由公式VKa=c/λKa

及E＝hν有：对钼，V＝3×108

/(0.71×10-10

)＝4.23×1018

（Hz）E=6.63×10-34

×4.23×1018

＝2.80×10-15

（J）对铁，V＝3×108

/（1.93×10-10

）＝1.55×1018

（Hz）E=6.63×10-34

×1.55×1018

＝1.03×10-15（J）对钴，V＝3×108

/(1.79×10-10

)＝1.68×1018

（Hz）E=6.63×10-34

×1.68×1018

＝1.11×10-15

（J）⑵由公式λK