压杆弯曲平衡微分方程的解析解

压杆弯曲平衡微分方程的解析解

考虑到轴向力效应和附加曲线几何非线性分析，国内外主要采用“精确法”。在杆系统非线性方程的基础上，基于渐进法的基本思想，考虑了各杆单元在各级负荷范围内的几何非线性变化的概率分析。许多科学家基于金元模型进行了大量的研究。在三个插值单元刚矩阵的基础上，增加了几何刚矩阵。在模型中，当组件被划分为几个单元时，模型需要按照三个单元的方法将组件划分为几个单元，以获得所需的精度。kondoh和atuli发展了基于单元模拟的混合单元，不直接考虑位移场，使用剩余能量原理建立了可变场的平衡方程。bahe和ziech提出了基于数值积分的隐式收敛矩阵。chunu提出了基于五种插值点的联合潘基文。虽然精度很高，但仅适用于轴向力小的结构。chen和其他科学家使用稳定函数研究了平面支架的问题。ekhand等人提出了稳定函数表示的空间支柱单元的刚致角矩阵，并考虑了这两个轴向弯曲之间的耦合效应，以获得更精确的边界问题矩阵。然而，当轴向力成为零时，当轴向力成为零时，数值不稳定。上述分析所采用的数值方法,由于单元模型考虑得不全面,导致了对实际结构的模拟存在很多问题;而且对于复杂结构,计算量较大,不便于实际工程应用.而传统的求解压杆弯曲问题是根据边界条件确定方程的积分常数,使问题转变为纯数学上的复杂微分方程求解.但积分常数的物理意义不明确,对于复杂的问题难以求解.笔者通过对压杆的特定受力平衡状态分析,把求解压杆弯曲微分方程问题,转化为根据压杆的边界条件和平衡条件确定挠曲线方程的待定几何参数问题,建立起考虑P-Δ效应(轴力二阶效应)的挠度理论计算公式,使得物理意义明确,概念清晰.最后,对考虑P-Δ效应的体外预应力混凝土结构变形进行了计算分析,计算结果证明,该方法具有较高的可靠性和适用性,对实际工程具有一定的指导意义.1定常态变化的挠曲线方程本文采用刘晚成提出的求解压杆弯曲问题的解析法.其基本原理是:建立压杆弯曲平衡的微分方程,将其解(挠曲线方程)转换成以待定几何参数表达的形式.该挠曲线表达式由一正弦曲线与一多次曲线(多次曲线的次数根据压杆所承受的横向荷载为零,均布荷载或线性变化分布荷载分别为一、二或三而定)叠加而成.通过对正弦曲线和多次曲线相对应压杆的特定受力平衡状态分析,把求解压杆微分方程问题,转化为根据压杆的边界条件和平衡条件确定挠曲线方程的待定几何参数问题.1.1压杆挠曲方程的特征如图1所示,一等截面受压直杆,两端有任意约束,端截面上作用着轴力、剪力及弯矩.图中的虚线表示受荷前的原有位置,实线为加载变形后新的平衡位置.弯曲平衡的微分方程为EId2ydx2+P(y−y0)=M0+Q0x(1)EΙd2ydx2+Ρ(y-y0)=Μ0+Q0x(1)式中:P为轴向力;M0,Q0分别为约束在截面x=0上所产生的弯矩及水平反力;y0为截面x=0处的水平位移;E为弹性模量;I为截面惯性矩.设式(1)的通解为y=A1coskx+A2sinkx+A3x+A4(2)y=A1coskx+A2sinkx+A3x+A4(2)式中:k=P/EI−−−−−√k=Ρ/EΙ;Ai(i=1,2,3,4)为待定的积分常数,可由边界条件确定.引入一个参数φ,令tanφ=−A1/A2(3)−A1sinφ=A2cosφ=A(4)tanφ=-A1/A2(3)-A1sinφ=A2cosφ=A(4)将式(3),(4)代入(式2),可得y=Asin(kx−φ)+A3x+A4(5)y=Asin(kx-φ)+A3x+A4(5)由式(5)可知,压杆挠曲线由两部分组成:正弦曲线Asin(kx-φ)和斜直线A3x+A4.由于压杆的大变形弯曲属于非线性问题,故不能直接用叠加方法求解.上述两个侧移表达式叠加的条件是它们都承受垂直荷载P的作用.如图2所示,压杆侧移的挠曲线图可以分解为两部分:在P和弯矩M0(ML)作用下压杆的正弦变形挠曲线,在P和水平剪力Q0(QL)作用下压杆侧移的倾斜直线.在图2c中,μ为压杆的有效长度系数,ζ为反弯点位置系数,μL表示正弦曲线的两个反弯点之间的距离,ζL表示x轴正方向第一个反弯点到坐标原点的距离.两个反弯点之间的杆段是一个典型的二力杆的欧拉弯曲模型,故有P=π2EI/(μL)2(6)Ρ=π2EΙ/(μL)2(6)将式6)代入k的表达式,可得k=π/μL(7)k=π/μL(7)由图2b可知,压杆任意截面的弯矩表达式为M=PAsin(kx−φ)(8)Μ=ΡAsin(kx-φ)(8)在反弯点处,由于x=ζL,M=0,可得φ=ζπ/μ(9)φ=ζπ/μ(9)把式(7),(9)代入式(5),得到用几何参数所表达的压杆弯曲的挠曲线方程y=Asin(xμL−ζμ)π+A3x+A4(10)y=Asin(xμL-ζμ)π+A3x+A4(10)式(10)即为挠曲线微分方程(1)的通解,适用于任意边界条件的压杆.对于给定边界条件的压杆,可将求特解问题转化为根据杆端的变形连续条件和力的平衡条件确定挠曲线方程的几何参数问题.由式(10)可以得出压杆挠曲线上任意一点的切线方向为tanθ=AπμLcos[(xμL−ζμ)π]+A3(11)tanθ=AπμLcos[(xμL-ζμ)π]+A3(11)压杆挠曲线上任意一点的弯矩为M=PAsin[(x/μL−ζ/μ)π](12)Μ=ΡAsin[(x/μL-ζ/μ)π](12)现分析式(10)的组成.可知,Asin[(x/μL-ζ/μ)π]是以x轴为基线的正弦曲线,曲线的两个反弯点间距为μL,正方向最近的反弯点到原点的距离为ζL;A3x+A4是在杆的两端同时作用有P和Q0(QL)的情况下,保持平衡状态的倾斜直线,A3的几何意义为斜直线与x轴夹角的正切,即杆0端P和Q0的合力作用线与x轴夹角的正切,其值为A3=Q0/P;A4的几何意义为斜直线在y轴上的截距.在一般情况下,A3≠0,ζ≠0,可将直角坐标系的原点设在杆变形前的一个端点,直角坐标系的x轴与杆轴重合,杆的另一端为x轴的正方向,y轴方向与杆0端挠曲方向一致.此时,A4=A3ζL;如果A3或ζ为零,则A4必须由边界条件确定.在特殊条件下,如杆的某一端弯矩为零,可将直角坐标系的原点设在该杆端.此时,A4=0,ζ=0,计算简化.1.2实用公式根据上面提出的压杆弯曲问题的解析法,分别推导出不同受力情况的实用公式.(1)横向集中荷载作用于跨中的yl/lymax=QP[(μL/π)sin(xπ/μL)cos(aπ/μL)−sin(aπ/μL)⋅cot[(a/μL−1/μ)π]−bLx](0≤x≤a)(13)ymax=QΡ[(μL/π)sin(xπ/μL)cos(aπ/μL)-sin(aπ/μL)⋅cot[(a/μL-1/μ)π]-bLx](0≤x≤a)(13)若横向集中荷载作用于跨中,可得跨中最大侧移为yL/?2=QLP(μ2π⋅tanπ2μ−14)(14)yL/?2=QLΡ(μ2π⋅tanπ2μ-14)(14)(2)杆端有一个与曲线一样作用的简支压杆ymax=yL/2=MP(1cos(π/2μ)−1)(15)ymax=yL/2=ΜΡ(1cos(π/2μ)-1)(15)(3)ql28p16y干部y干部ymaymax=yL/2=EIqP2(1cos(π/2μ)−1)−qL28P(16)ymax=yL/2=EΙqΡ2(1cos(π/2μ)-1)-qL28Ρ(16)2梁的变形分析一根跨径24.0m的后张预应力混凝土T形受弯构件,截面尺寸及布置如图3所示.在跨中承受的集中力Q=404kN,混凝土采用C50级,弹性模量Ec=34.5GPa.通过对10根模拟梁分别施加预加轴向力,扣除全部预应力损失后,有效预加力为Npc;分别对Npe为1769kN,1869kN,1969kN,2069kN,2169kN,2269kN,2369kN,2469kN,2569kN,2669kN时的梁进行分析.程序设计时,一种情况是考虑轴向力影响的变形f1,按规范计算;另一种情况是不考虑轴向力影响的变形f2,按几何非线性问题计算.图3a中,梁的变形由两部分叠加而成,第一部分如图3b所示,为跨中作用集中力的简支梁的变形(按式(14)计算);另一部分如图3c所示,为两端作用等弯矩的简支梁的变形(按式(15)计算).通过分析、计算、整理,结果如表1所示.从表中可以看出,对体外预应力混凝土结构考虑几何非线性的计算结果,与按规范计算变形的结果存在一定的差异,这种差异随着预加轴向力的增大而增大,已经超出了工程上所允许的范围.所以,在实际工程设计中,当预加轴向力较大时,应考虑P-Δ效应的几何非线性影响,按本文推导的压杆弯曲问题的求解公式进行计算是必要的.3结