平方差公式-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级八年级学期秋季课题平方差公式教科书书名：义务教育教科书数学八年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月教学人员姓名单位授课教师赵霞商丘市实验中学指导教师教学目标教学目标：1.理解平方差公式，能利用公式进行计算；2.在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想.教学重点：平方差公式教学难点：平方差公式结构的认识与平方差公式的变式运用教学过程时间教学环节主要师生活动3min8min10min1.5min2min0.5min新知引入探究新知.例题讲解例题讲解归纳总结拓展提升课后作业新知引入阅读小故事，并回答问题小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a米的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样.”你觉得小明说的对吗？为什么？不妨我们来算一下：，这是多项式乘以多项式，应如何计算呢？前面我们已经学过法则：小明说的不对，长方形面积比正方形面积少了25平方米.【设计意图】：一方面通过小故事激发学生的学习兴趣，让学生真正动手计算得到结论.另一方面引出本节课的要学习的公式，为后续公式的代数推导和几何推导做铺垫.二．探究新知1.自主探究计算下面多项式的积，你发现什么规律？问题1：根据以上算式的结构和所得结果，你能发现什么规律吗？（等式的左边是两个多项式相乘，这两个多项式分别是两个数的和与这两个数的差；等式的右边是这两个数的平方之差）问题2：你能否用含字母的式子来表示你所发现的一般规律呢？（不妨设这两个数分别为a,b,则一般形式可以表示为：这种形式）【设计意图】：通过计算得出结果后，进一步分析所给这3个式子的结构，通过比较可以总结出等式两边的特点.学生根据所观察到的特点，表达成一般形式，自然而然的引出新知，衔接紧凑，过程流畅.2.归纳新知由上面的几个例子不难发现，都是形如的多项式和的多项式相乘，运用多项式乘以多项式的运算法则，可以得到：，乘完后是四项，而化简之后仅剩两项。所以，这类式子是多项式乘法中比较特殊的一类，在遇到具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即：让我们的计算更加的快速和准确。对于这个公式，它有自身的结构特点，用语言来描述，就是“两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差”。所以我们称这个公式为乘法的平方差公式。问题3：观察上述公式，其结构上有什么特征？我们不难发现，等号左边的两个多项式中，“第一个数”a符号相同，“第二个数”b符号相反，等号右边是符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.所以，我们若想利用平方差公式进行计算，可以先观察多项式中是否有符号相同项，相反项，若满足公式结构，便可以直接使用公式计算，而无需再运用多项式乘以多项式的法则.3.深入探索大家想一下，我们除了可以从多项式乘法的法则角度来说明平方差公式，还能从什么角度说明呢？还记得引例中的面积问题吗？我们可以尝试利用长方形面积，从几何角度说明平方差公式.图2图1图2图1如图1，是一个长为宽为的长方形，其面积是，而这块面积可以分割成两长方形，将其中长为，宽为的长方形剪下，拼到如图2的位置，在剪切的过程中，总面积不变。我们发现在图2中的面积是边长为的大正方形面积，减去空白部分，即边长为的小正方形面积.利用面积的方法，我们再次从几何的角度证明了平方差公式【设计意图】：从几何角度再次证明平方差公式，有利于让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想.三.例题讲解例1.运用平方差公式计算（2）（3）（4）【分析】：能否利用平方差公式进行计算，我们需要观察所给式子是否满足平方差公式的结构.也就是说我们需要找到公式中的相同项a，相反项b，所得结果应为相同项的a的平方减去相反项b的平方.（1）观察可知，x为相同项,相当于公式中的a，为相反项，相当于公式中的b，利用公式即为（2）中为相同项，这个整体看成，2为相反项，看成.最后应为，是；为4，最终结果为.（3）中首先要进行观察，这里-x是相同项，这个整体相当于a，而2y相当于b，最后化简完是x2-4y2.（4）中相同项为(-2a)，相反项为3，所以最终结果为解:(1)练习：下列各式中，不能运用平方差公式的是（）【分析】：若能利用平方差公式，则需要在式子中找到相同项a，相反项b,若两项均为相同项，或者均为相反项，则无法利用公式计算.通过观察可知C项中-m和m，n和-n都为相反项，不符合平方差公式的结构特点，因此选择C.【设计意图】：例1和练习可以帮助学生正向认识公式的结构，辨析使用公式所需的条件，为下面应用公式计算打下基础.例2：计算：(1)(2)（3）（4）【分析】：（1）中只有前半部分符合公式条件，可以利用平方差公式简便运算，其余的运算仍按照乘法法则进行；（2）是两个数字相乘，通过观察发现这两个数字很有特点，一个是102=100+2,98=100-2，可以利用平方差公式进行简便运算；（3）中相同项为，相反项为，最终结果为；（4）需要先把前两项利用平方差公式计算出来，然后利用结果二次利用平方差公式，从而得到最终结果.【设计意图】：这两道例题的选取目的是让学生理解公式的结构特征.公式中的a,b既可以表示具体的数字，也可以表示单项式，甚至可以表示多项式.只要符合公式的结构，就可以利用它简便运算.例题从不同角度强化了公式的灵活运用，让学生对公式中的字母含义有了更深刻的理解，同时培养学生利用类比迁移解决问题.例3：在括号中填入适当的整式（1）(2)(3)(4)【分析】：观察此题左右，可以利用平方差公式.根据给出化简后的结果，及等号右边的式子，可从化简后的形如结果入手，找出谁相当于原公式的.对应公式，我们发现是两个多项式中相同的项，而是多项式中相反的项，由此可推断出括号中的多项式.（1）中相同项为a，相反项为b，故括号里应该为(a-b)（2）中结果为，故相同项为n，相反项为m，故括号里应该为(-n-m)（3）中结果为，相同项为1，相反项为3x，故括号里应该为(-1+3x)（4）中相同项为a2，相反项为b2，故括号里应该为(a2-b2)解：【设计意图】：此题从反方向考察对平方差公式结构的理解和掌握，再次强化了公式的结构。公式的反向运用本质为因式分解，所以此题也为后续利用平方差公式因式分解做一个铺垫.例4：已知则【分析】：此题给出和的值，由，求出。已知了，即得到一个方程组，可求得的值，从而的值也可以求出.解：由，且得：，所以又因为，解得，所以四.归纳总结本节课我们学习了平方差公式，和公式推导.1.平方差公式：文字描述：“两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差”.2.平方差公式的推导代数推