第23课相似多边形（教师版）-九年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（浙教版）

第23课相似多边形目标导航目标导航学习目标1.1.了解相似多边形的概念和性质.2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.知识精讲知识精讲知识点01相似多边形的概念1.一般地,对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比也叫做相似比.知识点02相似多边形的性质1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.2.相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方.能力拓展考点01相似多边形的概念能力拓展【典例1】下列多边形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个五边形C．两个正方形D．两个等腰三角形【思路点拨】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．【解析】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、五边形、等腰三角形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；而两个正方形，对应角都是90°，对应边的比也都相当，故一定相似，C正确．故选：C．【点评】本题考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．【即学即练1】在如图所示的三个矩形中，相似的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙【思路点拨】由都是矩形，可得所有对应角相等；然后由对应边成比例，即可判定三个矩形中相似的是甲和乙．【解析】解：∵都是矩形，∴所有对应角相等；∵甲与乙：＝，故相似；甲与丙：≠，故不相似；∴乙与丙也不相似．故选：A．【点评】此题考查了相似多边形的判定．注意对应角相等，对应边成比例，则可判定多边形相似．考点02相似多边形的性质【典例2】如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′．（1）∠B＝69°．（2）求边x、y的长．【思路点拨】（1）直接利用相似多边形的性质得出对应角相等，进而得出答案；（2）直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值相等，进而得出答案．【解析】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴∠C＝∠C'＝135°，∴∠B＝360°﹣135°﹣96°﹣60°＝69°；故答案为：69°；（2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D，∴＝＝，∴＝＝，解得：x＝4，y＝18．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确掌握相似多边形的性质是解题关键．【即学即练2】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小．【思路点拨】根据相似多边形的性质求出∠F，∠G，BC，根据四边形内角和等于360°计算，求出∠H．【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠B＝77°，∠C＝83°，∴∠F＝∠B＝77°，∠G＝∠C＝83°，＝，∵∠E＝117°，∴∠H＝360°﹣77°﹣83°﹣117°＝83°，∵AB＝18，EF＝4，FG＝6，∴＝，解得：BC＝27．【点评】本题考查的是相似多边形的性质、四边形内角和等于360°，掌握相似多边形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键．分层提分分层提分题组A基础过关练1.已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（）A．B．C．D．【思路点拨】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，由此即可判断．【解析】解：A、因为3：4≠4：5，故A不符合题意；B、因为3：4≠4：8，故B不符合题意；C、因为3：6＝4：8，故C符合题意；D、因为3：6≠4：9，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查相似多边形的判定，关键是掌握相似多边形的判定方法．2.已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（）A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm【思路点拨】根据相似多边形面积之比等于相似比的平方求出相似比，根据相似多边形周长之比等于相似比去周长比，列式计算即可．【解析】解：两个相似多边形的面积比是9：16，∴两个相似多边形的相似比是3：4，∴两个相似多边形的周长比是3：4，设较大多边形的周长为为xcm，由题意得，18：x＝3：4，解得，x＝24，故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．3.两个相似五边形，一组对应边的长分别为4cm和6cm，若它们的面积之和为260cm2，则较大五边形的面积是（）A．100cm2 B．180cm2 C．75cm2 D．30cm2【思路点拨】两个相似五边形的一组对应边的长分别是4cm，6cm，则相似比为2：3，设较大的五边形的面积为xcm2，则较小的五边形的面积为（260﹣x）cm2，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方列式计算即可．【解析】解：∵两个相似五边形的一组对应边的长分别是4cm，6cm，∴这两个相似五边形的相似比为2：3，设较大的五边形的面积为xcm2，依据它们的面积之和为260cm2，∴m+m＝260，解得x＝180，即较大的五边形的面积为180cm2．故选：B．【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方．4.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【思路点拨】根据相似多边形的性质求解即可．【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴相似比＝＝＝2，故选：C．【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．5.如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（）A．a＝2 B．m＝2n C．x＝2 D．∠α＝60°【思路点拨】根据相似图形的对应角相等，对应边的比相等得到答案．【解析】解：∵两个四边形相似，∴相似比为：2：4＝1：2，∴：a＝x：4＝m：n＝1：2，解得：a＝2，x＝2，2m＝n，则∠α＝360°﹣45°﹣90°﹣165°＝60°，综上所述：只有选项B符合题意．故选：B．【点评】本题考查了相似多边形的性质，牢记相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等．6.如图，已知四边形ABFE∽四边形EFCD，AB＝2，EF＝3，则DC的长是（）A．6 B． C． D．4【思路点拨】根据四边形ABFE∽四边形EFCD列出比例式解答即可．【解析】解：∵四边形ABFE∽四边形EFCD，∴，∵AB＝2，EF＝3，∴，解得DC＝．故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据性质列出正确的比例式．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．7.如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（）A．120° B．87° C．75° D．60°【思路点拨】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解析】解：∵两个四边形相似，∴∠1＝138°，∵四边形的内角和等于360°，∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，故选：B．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．8如图所示，长为10，宽为8的矩形中．截去一个矩形（图中阴影部分）．如果剩下矩形与原矩形相似，那么截去短形的面积是（）A． B． C． D．【思路点拨】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．【解析】解：如图，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则＝，设DF＝xcm，得到：＝，解得：x＝6.4，×8＝（cm2）．故选：B．【点评】本题考查了相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．9.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠a的度数是100°．【思路点拨】利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠B＝∠B′＝70°，∴∠C′＝360°﹣130°﹣60°﹣70°＝100°∴∠α＝∠C′＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．10.两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为36cm2，则较大的多边形的面积为64cm2．【思路点拨】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．【解析】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，∴两个相似多边形的相似比是3：4，∴两个相似多边形的面积比是9：16，∵较小多边形的面积为36cm2，∴较大多边形的面积为64cm2，故答案为：64cm2．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．11.在一张比例尺为1：30000的地图上，一多边形地区的周长为70cm，面积为340cm2，那么该地区的实际周长为21km，面积为30.6km2．【思路点拨】利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．【解析】解：地图与该地区的实际图形相似，相似比就是比例尺为1：30000，周长的比就是相似比，设实际周长是xcm，则70：x＝1：30000，解得：x＝2100000cm＝21km，面积的比等于相似比的平方，则设实际面积是ycm2，得到340：y＝（1：30000）2解得y×1011cm2km2，∴地区的实际周长为21kmkm2．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．12.已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为49；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是．【思路点拨】根据相似形的对应边的比相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．【解析】解：∵两个相似多边形的相似比为5：7，较小的一个多边形的周长为35．∴较大的一个多边形的周长为35×＝49；∵面积之比等于相似比的平方，即＝．则较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是4×＝．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．13.如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．（1）求原矩形的长和宽的比．（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积．【思路点拨】（1）设原矩形的长边是a，短边是b，根据原矩形的长：宽＝剩下矩形的长：宽，可列出a2﹣ab﹣b2＝0，用公式法解关于a的方程，即可得出结论；（2）根据（1）中结论和相似多边形的性质，棵求出AD的长，再利用矩形的面积公式，即可求出矩形ABCD的面积．【解析】解：（1）设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是a﹣b，根据题意得：a：b＝b：（a﹣b），∴a2﹣ab﹣b2＝0，用公式法解关于a的方程得：a1＝b，a2＝b（不符合题意，舍去），∴原矩形的长和宽的比为；（2）由（1）得：，∵AB＝4，∴，∴．【点评】本题考查相似多边形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及公式法解一元二次方程，掌握相似多边形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．14.如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，3AE＝2AD．（1）求证：∠1＝∠2．（2）若两个矩形的面积之和为650cm2，求矩形ABCD的面积．【思路点拨】（1）根据相似多边形的性质得到＝，∠DAB＝∠EAG，证明△DAE∽△BAG，根据相似三角形的对应角相等证明结论；（2）根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出方程，解方程即可．【解析】（1）证明：∵矩形AGFE∽矩形ABCD，∴＝，∠DAB＝∠EAG，∴∠DAB﹣∠EAB＝∠EAG﹣∠EAB，即∠DAE＝∠BAG，∴△DAE∽△BAG，∴∠1＝∠2．（2）解：∵3AE＝2AD，∴＝，∴＝（）2＝，∴＝，解得：S矩形ABCD＝450（cm2）．【点评】本题考查的是相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．15.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点．（1）试说明四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH与▱ABCD相似吗？说明理由．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得到EF＝HG，FE∥HG，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）根据平行线的性质定理、相似多边形的判定定理证明．【解析】证明：（1）∵E、F分别是OA、OB的中点，∴FE＝AB，FE∥AB，G、H分别是OC、OD的中点，∴HG＝CD，HG∥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴EF＝HG，FE∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）由（1）得，FE∥AB，∴∠OEF＝∠OAB，同理∠OEH＝∠OAD，∴∠HEF＝∠DAB，同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA，＝＝＝＝，∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD．【点评】本题考查的是相似多边形的判定、三角形中位线定理，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．题组B能力提升练16.如图，选项中与它相似的是（）A．B． C．D．【思路点拨】求出四边形的四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可．【解析】解：已知四边形的四条边之比为1：：：2，A、四条边之比为2：2：2：4＝1：：：2，且对应角相等，与所给四边形相似，符合题意；B、四条边之比为2：：：4≠1：：：2，与所给四边形不相似，不符合题意；C、四条边之比为：2：2：≠1：：：2，与所给四边形不相似，不符合题意；D、四条边之比为：2：：4≠1：：：2，与所给四边形不相似，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的定义：对应边的比相等，对应角相等，则这两个多边形是相似多边形，是解题的关键．17.把一根铁丝首尾相接围成一个长为3cm，宽为2cm的矩形ABCD，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形A′B′C′D′，使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则这根铁丝需增加（）cm B．5cm C．7cm D．10cm【思路点拨】由图形知，扩张后的长方形宽为4cm，设长为xcm，根据相似长方形的性质列式计算求得x＝6，再计算即可求解．【解析】解：原长方形的长和宽分别为3cm和2cm，由图形知，扩张后的长方形宽为4cm，设长为xcm，∵矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，∴，∴x＝6，经检验，x＝6是分式方程的解，∴扩张后的长方形长为6cm，原长方形的周长为2×（2+3）＝10（cm），扩张后长方形的周长为2×（4+6）＝20（cm），20﹣10＝10，∴这根铁丝需增加10cm．故选：D．【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解是解题的关键．18.如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（）A． B． C． D．【思路点拨】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值【解析】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，∵各种开本的矩形都相似，∴，∴．故选：A．【点评】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键．19.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，四边形ABEF是正方形，矩形ABCD∽矩形ECDF，则DF：AD的值为．【思路点拨】根据相似多边形的性质可得＝，设正方形ABEF的边长为x，EC＝y，那么＝，求出x＝y，代入DF：AD＝计算即可．【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，∴＝，设正方形ABEF的边长为x，EC＝y，则＝，∴x2﹣yx﹣y2＝0，∴x＝，∵x＞0，y＞0，∴x＝y，∴DF：AD＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边的比相等．20.如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为1.5或9时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？【思路点拨】根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【解析】解：当＝时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，解得，x＝1.5，当＝时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，解得，x＝9，故答案为：1.5或9．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．21.如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20．（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？【思路点拨】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等；（2）如果两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，对应边成比例．就可以求出x的值．【解析】解：（1）不相似，理由如下：AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，而≠，∴图中两个矩形不相似；（2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则＝，则：＝，解得x＝1.5，或＝，解得x＝9．综上所述，x＝1.5或9时，图中的两个矩形相似．【点评】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立．题组C培优拔尖练22.小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如图所示，关于两个矩形，下列说法正确的是（）A．两个矩形相似 B．两个矩形不一定相似 C．两个矩形一定不相似 D．无法判断两个矩形是否相似【思路点拨】根据相似多边形对应边比值相等，即可得出判定方法，只要判断出对应边的比值即可得出答案．【解析】解：∵小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，∴设原矩形长为x，宽为y，花边宽度为a，两矩形相似时：＝，根据比例性质可知，≠，∴两个矩形一定不相似，故选：C．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，利用对应边比值得出是解题很关键．23如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）A．B． C． D．【思路点拨】此题考查相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例．【解析】解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形．故选：B．【点评】考查了相似多边形的性质，关键是熟练掌握相似多边形的性质及判定24.善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，AD＝2，MN是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似；（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形不相似；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？（1）从特殊平行线入手探究．梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形不相似；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，AD＝2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由；（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定存在（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是＝．（不妨设AD＝a，BC＝b，AB＝c，CD＝d．不要求证明）【思路点拨】两个梯形相似，因而两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相