烟台大学概率课件

概率论与数理统计2023/12/51概率论与数理统计第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量第三节连续型随机变量第四节随机变量函数的分布习题课2023/12/52概率论与数理统计第1节随机变量及其分布函数一、随机变量概念的产生三、随机变量的分类五、分布函数的性质二、引入随机变量的意义四、随机变量的分布函数2023/12/53概率论与数理统计六、小结与作业一、随机变量概念的产生

在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.

例如，掷一颗骰子面上出现的点数；

四月份哈尔滨的最高温度；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.

这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.称这种定义在样本空间Ω上的实值单值函数X=X(e)为随量机变简记为r.v.

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z,w,n等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N等表示

有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义

如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.

事件{收到不少于1次呼叫}{没有收到呼叫}{X1}{X=0}

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律我们将研究两类随机变量：

如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.三、随机变量的分类

这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.随机变量连续型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法.

解：分析例1一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当0.15X<1000×0.1时，报童赔钱故{报童赔钱}{X666}{报童赔钱}{卖出的报纸钱不够成本}四、分布函数的定义

如果将X

看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的概率.设

X

是一个r.v，称为X

的分布函数,记作F

(x)

.(1)在分布函数的定义中,X是随机变量,x是参变量.

(2)F(x)

是r.vX取值不大于

x

的概率.(3)

对任意实数x1<x2，随机点落在区间(x1,x2]内的概率为：P{x1<Xx2}

因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)请注意:

分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.当x<0时，{X

x}=，故F(x)=0例1设随机变量X的分布律为当0x<1时，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X的分布函数F(x).当1x<2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=当x2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1故注意右连续下面我们从图形上来看一下.的分布函数图设离散型r.vX

的分布律是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)

是X

取的诸值xk

的概率之和.一般地则其分布函数五、分布函数的性质(1)

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX

的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.(3)F(x)

右连续，即

(2)试说明F(x)能否是某个r.v

的分布函数.例2

设有函数F(x)

解

注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v

的分布函数.或者

解设F(x)

为X

的分布函数，当x<0时，F(x)=P(Xx)=00a当x>a

时，F(x)=1

例3在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X

表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X

的分布函数.当0xa

时，P(0Xx)=kx

(k为常数)由于P(0Xa)=1

ka=1，k=1/a

F(x)=P(Xx)=P(X<0)+P