专升本高等数学讲义

专升本高等数学讲义根底部宋云超函数、极限与连续一1、函数函数的概念〔1〕定义：〔2〕三要素：定义域、对应法则、值域〔3〕表示方法：图像法、表格法、公式法函数的性质〔1〕奇偶性：偶；奇〔2〕有界性：〔3〕周期性：〔4〕单调性：推断的符号反函数：复合函数初等函数：常数、幂、指数、对数、三角、反三角函数2、极限极限的概念〔1〕〔2〕极限的四则运算两个重要极限〔1〕〔2〕2、极限无穷小与无穷大〔1〕定义：倒数关系〔2〕无穷小的性质：有限个无穷小的和、差、积是无穷小无穷小乘以有界函数是无穷小〔3〕无穷小的比较：同阶、等价、高阶〔4〕等价无穷小的替换：当时3、连续性连续的定义：连续点及其分类〔1〕第一类连续点：左右极限都存在的连续点，包括可去连续点〔左右极限相等〕、跳动连续点〔左右极限不相等〕〔2〕其次类连续点：左右极限至少有一个不存在，包括无穷连续点、振荡连续点等。闭区间上连续函数的性质〔1〕最值定理〔2〕介值定理〔3〕零点定理〔方程根的存在性定理〕：假设在上连续，且则至少存在一个，使得。〔是方程的一个根〕4、典型例题例1：求的定义域。例2：设，求的定义域。例3：设，求。例4：设，求。

例5：求的奇偶性。例6：设是以3为周期的奇函数，且，求。例7：假设，求。4、典型例题例8：求以下极限〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕例9：假设，求。4、典型例题例10：设，求使在连续。例11：求以下函数的连续点并推断连续点的类型。〔1〕〔2〕例12：证明方程在区间上有唯一实根。例13：设在上连续，，证明：至少存在一点，使得。一元函数的微分学二1、导数导数的概念〔1〕定义：〔对于分段函数在分段点处的导数要用导数的定义来求解〕〔2〕左、右导数：〔3〕几何意义：曲线过点的切线方程：法线方程：1、导数导数的计算〔1〕根本求导公式〔熟记〕〔2〕四则运算法则：〔3〕复合函数链式求导法则〔4〕隐函数求导法〔5〕参数方程求导法：〔6〕对数求导法：幂指函数，连乘、除……高阶导数：2、微分微分的概念〔1〕定义：假设在点处的增量可表示成，则称在点处可微，微分记作：〔2〕可微与可导的关系：可微可导连续有极限微分的计算〔1〕〔2〕

3、应用中值定理〔1〕罗尔定理：假设满足：在连续；可导；则至少存在一点，使得。〔2〕拉格朗日中值定理：洛必达法则〔1〕型〔2〕型〔3〕型，型，型，型，型〔化成型或型〕3、应用导数的应用〔1〕单调性：依据符号〔2〕极值和最值〔3〕凹凸性：依据符号〔4〕拐点〔5〕渐近线：水平渐近线铅直渐近线〔6〕经济应用：边际和弹性问题微分的应用〔1〕近似值公式：〔2〕泰勒公式：4、典型例题例1：设〔1〕求a,b,使在处连续〔2〕求a,b，使在处可导例2：求曲线在点处的切线和法线方程。例3：过点作曲线的切线，求切线方程。例4：假设是可导的偶函数，证明：是奇函数。例5：设，求。例6：设，求。4、典型例题例7：设，求。例8：求的微分。例9：求的导数。例10：设函数在上连续，在可导，且，证明至少存在一点，使得。例11：求以下极限〔1〕〔2〕4、典型例题〔3〕〔4〕〔5〕例12：求的单调性与极值。例13：证明：当时，。例14：求的凹凸区间与拐点。例15：求的渐近线。例16：求的近似值。一元函数的积分学三1、不定积分原函数：假设是的一个原函数。不定积分的概念：的全体原函数，不定积分记作：不定积分的性质〔导数和积分互逆〕〔1〕〔2〕根本积分公式〔熟记〕不定积分的积分方法〔1〕直接积分法〔加项减项、拆项、三角恒等变形等〕如：1、不定积分〔2〕第一换元积分法〔凑微分法〕〔3〕其次换元积分法〔根式代换，三角换元〕如：令

令，其中是的最小公倍数令令令〔4〕分部积分法〔依据对、反、幂、三、指选择u〕2、定积分定积分的概念〔1〕定义：，为常数。其中：〔2〕几何意义：曲边梯形的面积定积分的性质〔1〕〔2〕假设，则2、定积分变限积分〔1〕变上限积分的概念：是关于上限的函数。〔2〕变限积分求导定理：2、定积分牛顿-莱布尼茨定理设在区间上连续，是它的任一个原函数，则定积分的积分方法〔1〕直接积分法〔2〕换元积分法〔换元必换限〕〔3〕分部积分法：反常〔广义〕积分定积分的应用〔1〕求平面图形的面积〔2〕求旋转体的体积3、典型例题例题1：的一个原函数为，求。例题2：求以下不定积分〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕3、典型例题〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕〔16〕〔17〕〔18〕3、典型例题〔19〕例3：求以下定积分〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕3、典型例题例4：设是连续的奇函数，且证明：是偶函数。例5：设连续，且，令，证明：〔1〕

〔2〕在内有唯一的根。例6：设是连续函数，且，求。假设改成：呢？例7：求极限。3、典型例题例8：求的极值。例9：设，求。例10：求由抛物线与直线围成的图形面积。例11：求由抛物线、直线及轴围成的平面图形分别绕轴、轴旋转所得立体的体积。常微分方程四1、微分方程的根本概念微分方程的定义含有未知函数的导数〔或微分〕的方程。形如：微分方程的分类〔依据阶、线性性〕微分方程的解假设把函数代入微分方程后，能使方程成为恒等式，则称该函数为该微分方程的解。解的分类〔1〕通解假设微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数一样，则称这样的解为微分方程的通解。〔2〕特解与初始条件初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件。如：等。特解：满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。2、一阶微分方程可分别变量的微分方程〔1〕定义：形如的微分方程。〔2〕解法：分别变量，得，两边积分。一阶线性微分方程〔1〕定义：形如的微分方程。〔2〕解法：常数变易法公式法：3、二阶常系数线性微分方程二阶线性微分方程解的构造〔1〕齐次线性微分方程解的叠加原理假设和是齐次方程的两个解，则也是该方程的解；且当和线性无关时，就是方程的通解。〔2〕非齐次线性微分方程解的叠加原理假设是非齐次方程的一个特解，是该方程所对应的齐次方程的通解，则就是该非齐次方程的通解。〔3〕非齐次线性微分方程解的分别定理假设是的解，是的解，则是非齐次方程的解。3、二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性齐次微分方程〔1〕定义：形如的微分方程。〔2〕解法特征方程的根微分方程的通解二个不相等的实根二重根一对共轭复根3、二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程〔1〕定义：形如的方程。〔2〕解法：对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解，就是非齐次方程的通解，即：〔3〕特解的形式自由项的形式特解的形式的设法多项式不是特征根是特征单根是特征重根

不是特征根是特征根4、高阶微分方程

型降阶法方程左右两端连续积分n次，可得到一个含有n个任意常数的通解。型降阶法〔方程中不显含〕设化成，为一阶微分方程，可解出；再积分一次，可得到原方程的通解。5、典型例题例1：求以下微分方程的通解〔1〕〔2〕〔3〕〔用常数变易法和公式法〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕

5、典型例题〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕例2：以下非齐次方程应如何设特解〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕5、典型例题〔5〕〔6〕例3：求满足的特解。例4：可导函数满足，求。例5：求过点且切线斜率处处为的曲线方程。向量代数与空间解析几何五1、空间直角坐标系坐标轴在空间，使三条数轴相互垂直相交于一点，这三条数轴分别称为〔横〕、〔纵〕轴、〔竖〕轴，三条坐标轴成右手系。坐标平面每两轴所确定的平面称为坐标平面，如面，面，面。坐标空间中的一点与一组有序数一一对应，有序数组称为点的坐标，分别为横坐标，纵坐标，竖坐标。卦限坐标面将空间分成八个局部，每一局部称为一个卦限，其中第一卦限的坐标全正。空间两点的距离空间两点之间的距离：2、向量向量的根本概念〔1〕向量：既有大小，又有方向的量称为向量，用有向线段或表示。〔2〕模：向量的大小或有向线段的长度称为向量的模，记作：或。〔3〕单位向量：模为1的向量，记作。〔4〕零向量：模为0的向量，方向任意，记作：。〔5〕自由向量：在空间任意地平行移动后不变的向量，称为自由向量。向量的坐标表示〔1〕以原点为始点，为终点的向量：〔2〕模：〔3〕方向余弦：向量与轴，轴，轴的正向夹角分别为，则

且。2、向量向量的运算设，则〔1〕加、减法：〔2〕数乘：〔3〕数量积：，是常数。其中：〔4〕向量积：，是向量。其中：①以为邻边的平行四边形的面积；②方向：既垂直于，又垂直于，且依次成右手系。2、向量向量的关系〔1〕垂直：〔2〕平行：〔假设，则商定〕〔3〕两向量的夹角：〔4〕向量在向量上的投影：〔5〕与同向的单位向量：〔6〕与平行的单位向量：3、平面和直线平面方程〔1〕点法式方程：过点，且垂直于向量的平面：，称为法线向量。〔2〕一般式方程：以为法向量的平面：。〔3〕截距式方程：，分别为平面在轴上的截距。〔4〕点到平面的距离：3、平面和直线空间直线方程〔1〕点向式〔标准式〕方程：过点，且平行于向量的直线：，称为方向向量。〔2〕一般式方程：两张不平行平面的交线表示的直线：

，其中方向向量为。〔3〕参数式方程：，其中为参数。3、平面和直线平面、直线的位置关系〔1〕平面和平面的夹角：其中：〔2〕直线和直线的夹角：其中：〔3〕平面和直线的夹角：其中：落在内且既在上，又在内。4、二次曲面柱面圆柱面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面球面，圆心：，半径：椭球面

锥面椭圆抛物面，和同号5、典型例题例1：空间中的三点，求：〔1〕在轴上的投影以及在轴上的分向量；〔2〕的方向余弦；〔3〕与同向的单位向量；〔4〕；〔5〕；〔6〕在上的投影；5、典型例题〔7〕；〔8〕以为顶点的三角形的面积；〔9〕与和都垂直的单位向量；〔10〕通过三点的平面方程。例2：求以下平面方程〔1〕过点，且平行于平面；〔2〕平行于轴，且过点；5、典型例题〔3〕过点，且垂直于直线；〔4〕过点和直线。例3：求以下空间直线方程〔1〕过点和；〔2〕过点且与直线和都垂直；5、典型例题〔3〕过点，且与直线垂直相交。例4：设，求。例5：求两平行平面和之间的距离。例6：推断平面和直线的位置关系。多元函数的微积分六1、多元函数的根本概念多元函数的定义〔二元函数〕，其中：定义域是个平面点集，通常要写成集合的形式，如：满足的条件二元函数的极限说明点沿任何路径〔方式〕趋向于点时，均无限接近于常数。二元函数的连续性，二元函数可能有连续线。2、多元函数的微分学偏导数〔1〕偏导数的定义：〔对于分段函数在分段点处的偏导数要用偏导数的定义来求解〕〔2〕多元复合函数的链式求导法则〔3〕多元隐函数的求导法则：设方程确定了隐函数，则隐函数的偏导数：2、多元函数的微分学〔4〕二阶偏导数全微分〔1〕全微分的定义：

偏导数存在〔2〕可微的条件：偏导数连续可微连续有极限〔3〕全微分的求法：2、多元函数的微分学多元函数的极值〔1〕极值存在的必要条件：设在点处取得极值，且该点的偏导数存在，则。称使同时成立的点为的驻点。〔2〕极值存在的充分条件：设的一、二阶可导，且点是驻点。设，则：①当时，点是极值点。且当时，点是极大值点；当时，点是微小值点。②当时，点不是极值点。③当时，点可能是极值点也可能不是极值点。2、多元函数的微分学条件极值〔1〕定义：求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加肯定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值。〔2〕拉格朗日乘数法：求函数在满足约束条件下的条件极值，步骤如下：①构造拉格朗日函数，其中为拉格朗日乘数。②求的驻点，即方程组的解，则驻点有可能是极值点。③在实际问题中，假设驻点唯一，则该点就是最值点。3、多元函数的积分学二重积分的定义其中：为积分区域，为面积元素。在直角坐标系下计算时；在极坐标系下计算时。二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积二重积分的性质〔1〕〔2〕其中：。

3、多元函数的积分学二重积分在直角坐标下的计算〔1〕X-型积分区域假设则〔2〕Y-型积分区域假设则3、多元函数的积分学二重积分在极坐标下的计算〔1〕极点在积分区域外假设则〔2〕极点在积分区域边界上假设则3、多元函数的积分学〔3〕极点在积分区域内假设则〔4〕适用范围：积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域，或被积函数为、形式，利用极坐标计算二重积分更简便。交换积分次序〔1〕画出积分区域的外形，依据新的次序确定积分区域的积分限，写出结果；〔2〕交换二次积分次序有时需要合并积分区域，有时需要分割积分区域。4、典型例题例1：求以下函数的定义域并画出定义域的图形〔1〕〔2〕例2：，求。例3：求极限。例4：求以下函数的偏导数〔1〕在点处〔2〕例5：求的二阶偏导数。4、典型例题例6：求以下函数的全微分〔1〕在点处〔2〕〔3〕确定的隐函数例7：设，其中有连续的偏导数，证明：。例8：求的极值。例9：要造一个体积为的有盖长方体水箱，水箱的长、宽、高如何设计，才能使用料最省？4、典型例题例10：求以下二重积分〔1〕〔2〕〔3〕由围成〔4〕由围成〔5〕围成的第一象限内的区域〔6〕求半球体在圆柱内那局部的体积4、典型例题〔7〕例11：交换积分次序〔1〕〔2〕无穷级数七1、数项级数数项级数的根本概念〔1〕定义：称为常数项级数，为通项。〔2〕局部和：前n项和称为局部和。假设存在，称收敛于；假设不存在，称发散。数项级数的性质〔级数收敛的必要条件〕假设收敛，则；假设，则发散。1、数项级数正项级数〔1〕定义：假设〔不全为零〕，则称为正项级数。〔2〕比较判别法设和都是正项级数，且，则①假设收敛，则收敛；②假设发散，则发散。〔3〕比较判别法的极限形式设和都是正项级数，且〔的常数〕，则两个级数具有一样的敛散性。1、数项级数〔4〕比值判别法设是正项级数，且，则①假设，则级数收敛；②假设，则级数发散；③假设，则级数可能收敛，也可能发散。任意项级数〔1〕定义：假设为任意实数，则称为任意项级数。假设，则称为穿插级数。1、数项级数〔2〕莱布尼茨判别法假设穿插级数满足条件：①；②，则该级数收敛。〔3〕确定收敛和条件收敛设为任意项级数，则①假设收敛，则确定收敛；②假设发散，而收敛，则条件收敛。1、数项级数几个重要级数〔1〕等比〔几何〕级数：当时，级数收敛于；当时，级数发散。〔2〕P-级数：当时，级数收敛；当时，级数发散。特殊地，当时，为调和级数，是发散的。〔3〕莱布尼茨级数：