浅谈数学建模讲义课件

我们毕业啦其实是答辩的标题地方浅谈数学建模山东科技大学数学与建模协会副会长宋佳润2016/04/24数学模型到底有哪些？分别该怎么学习？我想告诉大家，现实生活中的问题有哪些类，数学模型就有哪些类，因为说到底，数学模型是用来解决实际问题的，解决那些当我们缺乏某一方面足够的经验时，定量化地依靠数字来解决问题的办法。于是我们可以想想，在现实生活中，我们能够遇到哪些需要定量化解决的问题，而这些问题能否利用数学工具加以解决长江水质的综合评价嫦娥三号登月问题眼科病床的合理安排太阳影子定位互联网时代出租车资源配置国赛题目列举优化类问题评价类问题预测类问题CONTANTS优化类问题Itwasthebestoftimes,itwastheworstoftimes;itwastheageofwisdom,itwastheageoffoolishness.优化类问题评价类问题预测类问题我们常常需要对某些行为进行决策，这些是我们可以控制的因素，这些因素一般来说会定量化地影响我们的某些目标值，比如投入决定产出，价格决定销量等等。这时，如何确定我们的决策变量，进而使得我们的目标值达到最优就是我们利用数学模型来解决的问题。有一些是标准化过了的数学规划问题，而实际问题往往会更加复杂，这时候就需要我们凭借经验将这些问题化简，进而达到我们能够处理的地步，这中间往往没有统一的处理办法，具体问题具体分析，而这个也体现了一个数模人的实力“”1线性规划2动态规划3优化类问题评价类问题预测类问题多目标规划评价类问题Itwasthebestoftimes,itwastheworstoftimes;itwastheageofwisdom,itwastheageoffoolishness.优化类问题评价类问题预测类问题每个行业都有它的评价标准和准则，那么这些标准应该有其自身的形成机制，数学模型就是形成这一机制的方法。如何根据成分指标评价一瓶葡萄酒？如何根据员工表现评价年终奖评定？如何评价一名NBA球员在球场上的效率？这些问题都需要设计评价算法来对这些对象进行评价。数学模型的评价方法的一个优势在于，它能够最大程度上客观地反映被评价对象的优劣程度以及符合评价指标的多少，能够体现公平的原则。优化类问题评价类问题预测类问题123层次分析法模糊综合评价动态加权综合评价预测类问题Itwasthebestoftimes,itwastheworstoftimes;itwastheageofwisdom,itwastheageoffoolishness.评价类问题预测类问题TEXT优化类问题未来的情况往往可以根据当前的一些量予以推测和判断，这些当前的量再加上失去发展的机制，就能够推算出未来可能的情况。预测的方法有很多，大多是前人总结的经典模型，可以拿来直接套用，而自己推断事物发展的机制进行算法设计然后预测有时候能够更加真实地反映未来的可能趋势，当然，有的模型根据事物发展的机理，有的直接通过数据分析的手段，这些都是可行的，关键看你有没有定量地把握事物的本质。时间序列（或称动态数列）是指将同一统计指标的数值按其发生的时间先后顺序排列而成的数列。时间序列分析的主要目的是根据已有的历史数据对未来进行预测。时间序列灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。灰色预测评价类问题预测类问题优化类问题模拟退火算法算法简介模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。如果用粒子的能量定义材料的状态，Metropolis算法用一个简单的数学模型描述了。退火过程。假设材料在状态i之下的能量为E(i)，那么材料在温度T时从状态i进入状态j就遵循如下规律：（1）如果E(j)≤E(i)，接受该状态被转换。（2）如果E(j)>E(i)，则状态转换以如下概率被接受：其中K是物理学中的波尔兹曼常数，T是材料温度。在应用时，我们将目标函数定义为能量，决策变量的可行解为状态。算法基本步骤：

（1）令即开始退火的初始温度，随机生成一个初始解，并计算相应的目标函数值。

（2）令T等于冷却进度表中的一个值

（3）根据当前解进行扰动，产生一个新解，计算相应的目标函数值，得到

（4）若，则新解被接受，作为新的当前解；若，则新解按照概率接受，为当前温度。

（5）在温度下，重复Markov链长度次的扰动和接受过程，即执行（3）与（4）。

（6）判断T是否已到达，是，则终止算法；否，则转到（2）继续执行。

算法实质分为两循环，在任一温度随机扰动产生新解，并计算目标函数的变化，决定是否被接受。由于算法初始温度比较高，这样使得E增大的新解在初始是也可以被接受，因而能跳出局部最小值然后通过缓慢地减低温度，算法最终可能得到全局最优解。

新解产生的机制的基本要求是能够尽量遍及解空间的各个区域，这样在某一恒定温度，不断产生新解时，就可能跳出当前区域的极小值，以搜索其他区域，这是模拟退火算法能够进行广域搜索的一个重要条件。控制函数T的衰减函数有多种形式，一个常用的衰减函数是：

其中是一个常数，可以取为0.5~0.99，它的取值，决定了降温的过程。

Markov链长度

Markov链长度的选取原则是：在控制参数T的衰减函数已选定的前提下，应能使在控制参数T的每一取值上达到平衡。从经验上看，对简单的情况可以令，n为问题规模。

旅行商问题(TSP)代表一类组合优化问题，在物流、计算机网络、电子地图、交通疏导等方面都有重要的工程和理论价值，引起许多学者的关注。TSP简单描述为：一个商人要到n个不同的地方去推销商品，每2个城市i和j之间的距离为，如何选择一条路径使得商人每个城市走一遍后回到起点，所走的路径最短。

该问题当城市数目在100以上，一般很难精确的求出其全局最优解。

说明：工程中许多实际优化问题的目标函数都是非凸的，存在许多局部最优解，特别是随着优化规模的增大，局部最优解的数目将迅速增加。有效地求出一般非凸目标函数的全局解至今仍是一个难题。一般确定性算法往往容易陷入局部而非全局最优。

模拟退火算法是一种通用概率算法，用来在一个大的搜寻空间内寻找问题的最优解。具有高效、鲁棒、通用、灵活的优点。将模拟退火算法引入TSP求解，可以避免在求解过程中陷入TSP的局部最优。

算法设计步骤：

1.ＴＳＰ问题的解空间和初始解

ＴＳＰ问题的解空间Ｓ是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合，即

其中每一个排列表示遍访n个城市的一个路径，表示第i次访问城市j.

初始解为随机生成一个的随机排列作为。

2.目标函数

TSP问题的目标函数即为访问所有城市的路径的总长度，也可以称为代价函数;

现在TSP问题的求解就是通过模拟退火算法求出目标函数的最小值。相应地，即为TSP问题的最优解。3.新解的产生

新解的产生对问题的求解非常重要。新解可通过分别或者交替使用以下两种方法来产生:

(1)二变换法：任选序号u,v(设u<v<n),交换u和v之间的访问顺序

（2）三变换法：任选序号u,v，w(设u<=v<w),将u和v之间的路径插到w之后访问。

4.新解产生

计算变换前的解和变换后目标函数的差值：

5.Metropolis接受准则

以新解与当前解的目标函数差定义接受概率，即

随温度变化的目标函数值变化情况99度时热平衡过程中目标函数变化情况50度时热平衡过程