高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.4 直线、平面平行的判定及其性质课时提升作业 理试题

直线、平面平行的判定及其性质(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设α,β,γ为平面,a,b为直线,给出下列条件:①a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b.其中能推出α∥β的条件是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④【解析】选C.①中条件得到的两个平面α,β,也可能相交,故①不正确;②由α∥γ,β∥γ⇒α∥β,故②正确;③中α⊥γ,β⊥γ,可得α与β相交或平行,故③不正确;④a⊥α,b⊥β,a∥b,得a⊥β,所以α∥β,故④正确.2.下面四个正方体图形中,点A,B为正方体的两个顶点,点M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是()A.①② B.①④ C.②③ D.③④【解析】选A.由线面平行的判定定理知①②可得出AB∥平面MNP.3.(2016·衡阳模拟)设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面.则下列四个命题中,正确的是()A.若a,b与α所成的角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b【解析】选D.对于选项A,当a,b与α均成0°角时,a,b就不一定平行;对于选项B,只需找个平面γ,使γ∥α∥β,且a⊂γ,b⊂γ即可满足题设,但a,b不一定平行;对于选项C,可参考直三棱柱模型排除.故选D.【加固训练】(2016·厦门模拟)已知α,β是两个不同的平面,下列四个条件中能推出α∥β的是()①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;④存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.A.①③ B.②④ C.①④ D.②③【解析】选C.对①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β⇒α∥β,故①正确,排除B,D,对于③,存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,如图所示,不能推出α∥β,故排除A.4.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若α⊥β,则l∥m;③若l∥m,则α⊥β;④若l⊥m,则α∥β.其中,正确命题的序号是()A.①② B.③④ C.①③ D.②④【解析】选C.直线l⊥平面α,α∥β⇒l⊥β⇒l⊥m,①正确;l与m可能平行、异面、相交,故②错;直线l⊥平面α,l∥m⇒m⊥α,又直线m⊂平面β,故α⊥β,③正确;α与β平行或相交,故④错.5.(2016·宿州模拟)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E∈PC,F∈PB,QUOTE=3QUOTE,QUOTE=λQUOTE,若AF∥平面BDE,则λ的值为()A.1 B.3 C.2 D.4【解析】选C.因为AF∥平面BDE,所以过点A作AH∥平面BDE,交PC于点H,连接FH,则得到平面AFH∥平面BDE,所以FH∥BE,OE∥AH,因为E∈PC,F∈PB,QUOTE=3QUOTE,QUOTE=λQUOTE,所以QUOTE=QUOTE=1,所以EC=EH,又因为PE=3EC,所以PH=2HE,又因为QUOTE=QUOTE=2,所以λ=2.【加固训练】1.(2016·南昌模拟)已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.若m⊥n,m⊥α,则直线n与平面α平行或在平面α内,所以①错误;若m⊥α,n⊥β,m∥n,则n⊥α,垂直于同一直线的两平面平行,所以α∥β,所以②正确;若m,n是两条异面直线,过空间内一点O作m′∥m,n′∥n,则m′,n′确定一个平面γ,若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥γ,β∥γ,所以α∥β,则③正确;由线面垂直的判定定理可知④正确.2.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又点H,G分别为BC,CD的中点,则()A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形【解题提示】先由条件得EFQUOTEBD,再证得EF∥平面BCD,进而判断EFGH的形状.【解析】选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EFQUOTEBD,所以EF∥平面BCD.又因为点H,G分别为BC,CD的中点,所以HGQUOTEBD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·开封模拟)已知平面α∥平面β,点P是α,β外一点,过P点的两条直线AC,BD分别交α于点A,B,交β于点C,D,且PA=6,AC=9,AB=8,则CD的长为.【解析】若点P在α,β的同侧,由于平面α∥平面β,故AB∥CD,则QUOTE=QUOTE=QUOTE,可求得CD=20.若点P在α,β之间,则QUOTE=QUOTE=QUOTE,可求得CD=4.答案:20或47.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,点M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,点P是上底面的棱AD上的一点,AP=QUOTE,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ=.【解析】如图,连接AC,易知MN∥平面ABCD,所以MN∥PQ.因为MN∥AC,所以PQ∥AC.又因为AP=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以PQ=QUOTEAC=QUOTE·QUOTEa=QUOTEa.答案:QUOTEa8.设α,β,γ是三个不同平面,a,b是两条不同直线,有下列三个条件:①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是(把所有正确的序号都填上).【解题提示】逐个命题进行验证,从中作出判断.【解析】①a∥γ,b⊂β,可以,由a∥γ得a与γ没有公共点,由b⊂β,α∩β=a,b⊂γ知,a,b在面β内,且没有公共点,故平行.②a∥γ,b∥β,不可以.举出反例如下:使β∥γ,b⊂γ,a⊂β,则此时能有a∥γ,b∥β,但不一定a∥b.这些条件无法确定两直线的位置关系.③b∥β,a⊂γ,可以,由b∥β,α∩β=a知,a,b无公共点,再由a⊂γ,b⊂γ,可得两直线平行.答案:①③(15分钟30分)1.(5分)(2015·太原模拟)已知点E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1上的点,且AE=QUOTEAB,AF=QUOTEAA1,点M,N分别为线段D1E和线段C1F上的点,则与平面ABCD平行的直线MN有()A.1条 B.3条C.6条 D.无数条【解析】选D.取BH=QUOTEBB1,连接FH,则FH∥AB,连接HE,在D1E上任取一点M,过点M在平面D1HE中,作MG∥HO,交D1H于点G,其中点O满足线段OE=QUOTED1E,再过点G作GN∥FH,交C1F于点N,连接MN,由于GM∥HO,HO∥KB,KB⊂平面ABCD,GM⊄平面ABCD,所以GM∥平面ABCD,同理由NG∥FH,可推得NG∥平面ABCD,由面面平行的判定定理得,平面MNG∥平面ABCD,则MN∥平面ABCD,由于M为D1E上任意一点,故这样的直线MN有无数条.【加固训练】(2015·福州模拟)如图,在正四棱锥S-ABCD中,点E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:①EP∥BD;②EP⊥AC;③EP⊥平面SAC;④EP∥平面SBD中恒成立的为()A.②④ B.③④ C.①② D.①③【解析】选A.如图所示,连接AC,BD相交于点O,连接EM,EN,SO,在①中:由异面直线的定义可知:EP与BD是异面直线,不可能EP∥BD,因此不正确.在②中:由正四棱锥S-ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,所以SO⊥AC,因为SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,因为点E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,所以EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=M,BD∩SD=D,所以平面EMN∥平面SBD,所以AC⊥平面EMN,所以AC⊥EP,故正确.在③中:由②同理可得:EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC,则EP∥EM,与EP∩EM=E相矛盾,因此当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直,即不正确.在④中:由②可知平面EMN∥平面SBD,所以EP∥平面SBD,因此正确.2.(5分)如图所示,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,设点D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD,则A1D∶DC1的值为.【解析】设BC1∩B1C=O,连接OD,因为A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD,所以A1B∥OD,因为四边形BCC1B1是菱形,所以点O为BC1的中点,所以点D为A1C1的中点,则A1D∶DC1=1.答案:13.(5分)(2016·长沙模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点P是棱AD上一点,且AP=QUOTE,过B1,D1,P的平面交底面ABCD于PQ,点Q在直线CD上,则PQ=.【解析】如图,因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD,而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ,平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥PQ,又因为B1D1∥BD,所以BD∥PQ,设PQ∩AB=M,因为AB∥CD,所以△APM∽△DPQ,所以QUOTE=QUOTE=2,即PQ=2PM,又知△APM∽△ADB,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以PM=QUOTEDB,又DB=QUOTEa,所以PQ=QUOTEa.答案:QUOTEa4.(15分)(2016·洛阳模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=2AD,AC与BD交于点O,点M,N分别在线段PC,AB上,QUOTE=QUOTE=2.(1)求证:平面MNO∥平面PAD.(2)若平面PAD⊥平面ABCD,∠PDA=∠BCD=60°,且PD=DC=BC=2,求几何体M-ABC的体积.【解析】(1)在梯形ABCD中,因为AD∥BC,所以QUOTE=QUOTE=2.又因为QUOTE=2,所以ON∥BC∥AD.因为AD⊂平面PAD,ON⊄平面PAD,所以ON∥平面PAD,在△PAC中,QUOTE=QUOTE=2,所以OM∥AP,因为AP⊂平面PAD,OM⊄平面PAD,所以OM∥平面PAD,因为OM⊂平面OMN,ON⊂平面OMN,且OM∩ON=O,所以平面MNO∥平面PAD.(2)在△PAD中,PA2=PD2+AD2-2PD·AD·cos∠PDA=22+12-2×2×1×cos60°=3,所以PA2+AD2=PD2,即PA⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD,又由(1)知OM∥AP,所以OM⊥平面ABCD,且OM=QUOTEAP=QUOTE,在梯形ABCD中,DC=BC=2AD=2,∠BCD=60°,∠BAD=90°,所以AB=QUOTE,所以△ABC的面积S=QUOTEAB·BC=QUOTE,所以几何体M-ABC的体积V=QUOTES·OM=QUOTE.【加固训练】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.【解析】方法一:当AF=3FC时,FE∥平面A1ABB1.证明如下:在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG.因为B1E=3EC1,所以EG=QUOTEA1C1,又因为AF∥A1C1,且AF=QUOTEA1C1,所以AFEG,所以四边形AFEG为平行四边形,所以EF∥AG,又因为E