第04讲 一元二次方程的判别式、根与系数（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第04讲一元二次方程的判别式、根与系数1.理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情况；2.理解一元二次方程根与系数的关系知识点1：一元二次方程的判别式根的判别式：①时，方程有两个不相等的实数根；②时，方程有两个相等的实数根；③时，方程无实数根，反之亦成立知识点2：一元二次方程的根与系数根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如解题技巧：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理【题型1判断一元二次方程的根的情况】【典例1】（2022秋•沈河区期末）一元二次方程3x2﹣6x+4＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【答案】B【解答】解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝4，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×4＝﹣12＜0，∴该方程没有实数根．故选：B．【变式1-1】（2023•中原区校级一模）关于一元二次方程x2+3x＝4根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【解答】解：原方程可化为：x2+3x﹣4＝0，∵Δ＝32﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【变式1-2】（2023•伊川县一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【解答】解：方程化为一般式为x2﹣2x﹣4＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【变式1-3】（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0 C．x2﹣bx+1＝0（b为常数） D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）【答案】D【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，当b＝0时，Δ＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0时，则方程有两个不相等的实数解，所以CD项符合题意．故选：D．【题型2根据一元二次方程的实数根求含参数的取范围】【典例2】（2022秋•甘井子区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＝﹣1 D．k＞﹣1且k≠0【答案】C【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k•（﹣1）＝0，解得k＝﹣1．故选：C．【变式2-1】（2022秋•滕州市校级期末）若关于x的一元二次方程x2+2m＝4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m≥0 D．m＜0【答案】A【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2m＝4即x2+2m﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（2m﹣4）＝16﹣8m＞0，解得：m＜2．故选：A．【变式2-2】（2023春•蜀山区校级期中）若一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，则m的取值范围是（）A．m＜4 B．m≤4 C．m≤4且m≠2 D．m＜4且m≠2【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，∴m﹣2≠0且（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×2≥0，解得m≤4且m≠2，故m的取值范围m≤4且m≠2．故选：C．【典例3】（2022秋•武汉期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，所以方程总有两个不相等的实数根．（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，整理，得2﹣k＝0．解得k＝2，此时方程可化为x2﹣4x+3＝0．解此方程，得x1＝1，x2＝3．所以方程的另一根为x＝1．【变式3-1】已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；．（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．【答案】（1）a>-13且a≠0（2）【解答】（1）解：由题意得：a≠0，△=4+12a>0，解得a>-13且（2）解：由题意得：a+2-3=0，解得：a=1，∴x2+2x-3=0，(x-1)(x+3)=0，解得x=1或-3，∴另一个实数根为：-3.【变式3-2】已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；．（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．【答案】（1）a>-13且a≠0（2）【解答】（1）解：由题意得：a≠0，△=4+12a>0，

解得a>-13且（2）解：由题意得：a+2-3=0，

解得：a=1，

∴x2+2x-3=0，

(x-1)(x+3)=0，

解得x=1或-3，

∴另一个实数根为：-3.【变式3-3】（2022秋•和平区校级期末）关于x的一元二次方程：．（1）当k＝1时，求方程的根；（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【解答】解：（1）把k＝1代入得：x2+3x+＝0，（x+）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣；（2）∵此方程有两个不相等的实数根，∴k≠0，且Δ＝（2k+1）2﹣4k•（k+）＝1﹣k＞0，解得：k＜1且k≠0，即k的取值范围为k＜1且k≠0．【题型2一元二次方程的根与系数的关系】【典例4】（2021•贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【答案】B【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，∴α+β﹣αβ＝﹣1+2＝1，故选：B．【变式4-1】设α,β是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根，则αβA．2 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【解答】解：∵α,β是一元二次方程，∴αβ=-1.故答案为：D.【变式4-2】（2023春•涡阳县期中）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α+β的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，∴α+β＝﹣＝﹣＝3．故选：D．【变式4-3】若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则m+nmm的值为．【答案】-2【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，所以原式=4-2=-2故答案为：-2【典例5】已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m（1）求实数m的取值范围；（2）若x1【答案】（1）m≤3【解答】（1）解：因为一元二次方程有两个实数根，所以Δ=∴∴-∴即实数m的取值范围为m≤（2）解：∵x1∴∴∴∴m=3（舍去）或【变式5-1】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值．【答案】（1）k≤【解答】（1）解：△=由于方程有实数根，所以根的判别式△≥0-解得k（2）解：由一元二次方程根与系数关系得x而x解得k=4由于k=4≤【变式5-2】已知关于x的一元二次方程x（1）求证：不论k为何实数,方程总有实数根;（2）若方程的两实数根分别为x1,x2,且满足【答案】（1）略（2）k=-1.【解答】（1）证明：∵Δ=∵∴无论k取何值,该方程总有实数根（2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=-（k-1）=1-k，x1x2=-k，∵1x∴1x∴整理，解得：k=-1.【变式5-3】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当时，求m的值．【答案】（1）m＞﹣1且m≠0；（2）4【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且m≠0，即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，解得：m＞﹣1且m≠0；（2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1，即（x1+x2）2＝3x1x2+1，∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0，解得：m1＝4，m2＝﹣1，经检验，m1，m2都是分式方程的解，∵m＞﹣1且m≠0，∴m的值为4．1．（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【答案】B【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2.（2022•河南一模）方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根【答案】D【解答】解：∵Δ＝（）2﹣4×1×1＝﹣1＜0，∴方程没有实数根．故选：D．3.（2022•罗平县一模）已知关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜ B．a＞ C．a＜且a≠1 D．a＞且a≠1【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣a）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴22﹣4（1﹣a）×（﹣2）＞0且1﹣a≠0，整理得：4+8﹣8a＞0且a≠1解得：a＜且a≠1．故选：C4.（2022•太湖县校级一模）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠﹣2 D．k＞﹣2且k≠2【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，∴k+2≠0且Δ＝42﹣4（k+2）×1＞0，解得：k＜2且k≠﹣2．故选：C．5．（2023•天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7【答案】A【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故选：A．6．（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故选：C．7.（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（）A．2016 B．2018 C．2020 D．2022【答案】B【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，∴m2﹣5m﹣1＝0，∴m2﹣5m＝1，∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝5，∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．故选：B．8．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【答案】k＜2且k≠1【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，解得k＜2且k≠1，所以k的取值范围是k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．9．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．【答案】6【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，故答案为：6．10．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是．【答案】3【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴x1•x2＝3，故答案为：3．11.（2022•西城区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．【答案】（1）略(2)m的值为或﹣【解答】（1）证明：∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）＝36，∵不论m取何值时，36恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根；（2）解：将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0，解得：m＝或﹣．∴m的值为或﹣．12.（2022•南海区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．【答案】（1）m＜．（2）x1＝0，x2＝3【解答】解：（1）由题意可知：△＝9﹣4（m+1）＞0，∴m＜．（2）当m＝﹣1时，∴△＝9，由求根公式可知：x＝，∴x1＝0，x2＝313.（2022•珠海二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值．【答案】（1）k≤5（2）4【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤5；（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1•x2＝k﹣1，∵x12+x22＝10，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝42﹣2（k﹣1）＝10，解得k＝4，∵k≤5，∴k＝4．故k的值是4．1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断【答案】A【解答】解：∵根的判别式Δ=(∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：A．2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（）A．x2+kx﹣1＝0B．x2+kx+1＝0C．x2+x﹣k＝0D．x2+x+k＝0【答案】A【解答】解：A、△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；B、△＝k2﹣4×1×1＝k2﹣4，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；C、△＝12﹣4×1×（﹣k）＝1+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；D、△＝12﹣4×1×k＝1﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意.故答案为：A.3．（2022秋•大冶市期末）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k≤5 B．k＜5 C．k≤5且k≠1 D．k＜5且k≠1【答案】D【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＜5且k≠1．故选：D．4．（2022秋•漳州期中）若a*b＝ab2﹣2ab﹣3．则方程3*x＝0的根的情况为（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定【答案】C【解答】解：方程利用题中的新定义化简得：3x2﹣6x﹣3＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝36+36＝72＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．5．（2022秋•丰台区期末）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．【答案】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×k＝1﹣4k＝0，解得：k＝，故答案为：A．2 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【解答】解：∵α,β是一元二次方程，∴αβ=-故答案为：D6．已知x1,x2是方程A．1 B．-1 C．±1 D．0【答案】B【解答】解：∵x1与x2是方程x2∴x1∴1x故答案为：B.7．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（）A．-2014 B．2014 C．2013 D．-2013【答案】D【解答】解：∵a是方程的根∴a2+a+2012=0∴a2=-a-2012∴a2+2a+β=-a-2012+2a+β=a+β-2012∵a和β是方程的两个实数根∴a+β=-1∴a+β-2012=-1-2012=-2013故答案为：D.8．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则m+nmm的值为【答案