正比例函数教案人教版数学八年级下册

正比例函数教学内容分析正比例函数是特殊的一次函数，也是初中学生接触到的第一种函数，要通过对正比例函数内容的学习，为后续类比学习一般一次函数打好基础，更好的体现函数概念的实际背景，反映数学与实际的关系，即数学理论来源于实际又服务于实际.在正比例函数的图象及其性质研究中蕴含数形结合思想、分类讨论思想和观察、表征、类比、归纳等数学认知活动.学生在这节课中如果能内化和感悟数形结合的思想，将为后续研究较为复杂的一次函数，更为复杂的反比例函数及二次函数的图象和性质打下坚实的基础，在教材地位上具有承上启下的作用.教学目标1.理解正比例函数的概念，并会求正比例函数的解析式；2.掌握正比例函数的图象和性质，并能灵活运用解答有关问题.教学重难点【重点】掌握正比例函数的概念和图像性质.【难点】能根据实际情况运用正比例函数的知识来解决相关问题.教学方法问题启发法、观察归纳法、探究法.教学过程（一）视频导入多媒体播放《数青蛙》的手指操视频：如果设青蛙的数量为x，y分别表示青蛙嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？y=x，y=2x，y=4x……意图：运用《数青蛙》的手指操视频，可以吸引学生的注意力，之后用问题引发学生数量关系的思考，从而引出课题.效果：引发了学生思考，激发了学生学习正比例函数的兴趣.新课讲授正比例函数的概念问题12011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？（2）京沪高铁的行程y（km）与时间t（h）之间有何数量关系？（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？解：（1）1318÷300≈4.4（h）y=300t（0≤t≤4.4）y=300×2.5=750（km），这时列车尚未到达距始发站1100km的南京站.思考下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l随半径r的变化而变化．3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．问题2认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！知识要点一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．追问：这里为什么强调k是常数，k≠0呢？学生交流，讨论，互相补充.意图：通过观察这四个函数的解析式，使学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.效果：学生通过思考、观察和归纳，得出了正比例函数的概念.例1已知函数y=(m1)是正比例函数，求m的值.解：∵函数∴即∴方法归纳：正比例函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式.变式训练若是正比例函数，则m=2；若是正比例函数，则m=1；做一做列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.y=4x是正比例函数（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．y=12x是正比例函数（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm，体积为ycm3.y=3x是正比例函数意图：通过题目讲解和练习，使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.效果：学生通过实际问题理解了正比例函数的概念.正比例函数的图象我们知道函数的表示形式分为三种：图象法，列表法，解析式法．那么如果已知一个正比例函数，该如何制作它的图象呢？列表、描点、连线.例2画出下列正比例函数的图象：y=2x，；（2）yx，y=4x.解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.①列表②描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；③连线同样可以画出函数的图象.（2）用同样的方法，依次可画出函数yx，y=4x的图象观察与思考这四个函数图象有什么共同特征，又有什么区别？归纳总结两点作图法：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点(1，k)，连线即可.意图：让学生回忆函数图象的作法，并在坐标系中画出四个正比例函数图象，目的是让学生熟练画图，在动手操作中感知数学直观，并探究正比例函数图象的性质，体会自我探究的喜悦感和成就感.效果：学生在教师的引导下经历了画图、观察、思考、归纳的数学探究过程，得出了正比例函数的图象特征.做一做用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：y=3x；（2）例3已知正比例函数y=(k+1)x.（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________.解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+1>0，解得k>1.（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k+1)·2，解得k=1.意图：通过题目，让学生加深对正比例函数图象的理解，体会数形结合思想.效果：学生加深了对正比例函数图象的理解和运用.正比例函数的性质问题：在函数y=x，y=3x，y=x和y=4x中，随着x的增大，y的值分别如何变化？分析：对于函数y=x，当x=1时，y=1；当x=1时，y=1；当x=2时，y=2；不难发现y的值随x的增大而增大.我们还可以借助函数图象分析此问题.观察图象可以发现：直线y=x，y=3x向右逐渐上升，即y的值随x的增大而增大；直线y=x，y=4x向右逐渐下降，即y的值随x的增大而增大而减小.总结归纳在正比例函数y=kx中：当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.议一议（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？（2）正比例函数y=x和y=4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.练一练（1）已知正比例函数y=2x的图象上有两点（3，y1），（5，y2），则y1<y2.（2）已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点（3，y1），（1，y2），则y1>y2.分析：因为k<0，所以y的值随着x值的增大而减小，又3<1，则y1<y2.意图：教师从正比例函数解析式，图象草图，自变量取值范围，图象位置，增减性这五个方面引导学生进行列表总结，使得学生在探究正比例函数性质这环节的学习上，更加完整，在探究的基础上总结，学生易于接受，并且升华认识.效果：学生经过思考探究得出了正比例函数的性质，为以后一次函数的性质探究打下了基础.课堂练习1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（B）S与它的半径rB.行驶速度不变时，行驶路程s与时间tS与边长aD.工作总量（看作“1”）一定，工作效率w与工作时间ty=x的图象（B）y=（k2）x，当x增大时，y随x的增大而增大，则k的取值范围（C）A．k＜2B．k≤2C．k＞2D．k≥2y=7x的图象经过第二、四象限，经过点（0，0）与点（1，7），y随x的增大而减小.y=(2m+4)x.（1）当m>2，函数图象经过第一、三象限；（2）当m<2，y随x的增大而减小；（3）当m，函数图象经过点（2，10）.y3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.解：依题意，设y3与x之间的函数关系式为y3=kx，∵x=4时，y=7，∴73=4k，解得k=1.∴y3=x，即y=x+3.意图：巩固加深学生对正函数的概念、图象、性质的理解和运用情况.效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.课堂小结教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，通过相互交流分享观点：1.正比例函数的概念：形式：y=kx（k≠0）2.正比例函数的图象：图象：经过原点的直线.3.正比例函数的性质：性质：当k>0时，过一、三象限，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，过二、四象限，y的值随x值的增大而减小.意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能，升华思想认识.效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.作业布置完成配套练习板书设计1.正比例函数的概念：形式：y=kx（k≠0）2.正比例函数的图象：图象：经过原点的直线.3.正比例函数的性质：性质：当k>0时，过一、