2023年下学期数值分析考试试卷答案(A)

一、填空题(此题16分，每空2分)

x3,0<%<1

1.假设S(x)=139是三次样条函数,

—(x-1)-+Q(X-1)~+b(x—l)+c,

、2

那么a=3，h=39c=L

2.求积公式”宿)+；/⑴的代数精度为2

3.设A=；;那么p(A)=B5.37,condoc(A)~21

1iiiriooiriii

4.矩阵A=122的LU分解为110011

2311lj[o01

1

X/_cosx“

5.求方程％=cosx根的牛顿迭代格式是加

n

1+sinxn

二、(12分)求不超过4次的多项式P(x),使它满足插值条件

假设上述数据来源于八%),给出误差估计。

解法1：因为2(0)=9(0)=016=h1)=1,那么先构造两点三次埃米特

插值，

............................................8分

又设P(x)=”3(x)+Af(x-1)2,代入P(2)=2,得A=l/2,

余项为R(x)=，5，上(%-1y(1-2).....................12分

解法2：构造带重节点的Newton差商表

00

000

1111

1110-1

221001/28分

...............12分

三、（12分）求/（x）=eT在区间［-1,1］上的最正确平方逼近2次多项式.（用勒让德正交

_1,

多项式｛4（X）/（X），4（X）｝=｛1,X，5（3X2-1）｝）

12

解:用勒让德多项式｛4（幻，6（幻,£@）｝=｛1,羽一（3炉一1）｝,（。用=——

22/+1

..............................................................3分

计算：

（/,玲）=J：exdx=（e1-^1）x2.3504,

.....................................................................8分

故最优平方逼近函数为：

p（x）=-3e-'x+.-35"」（3*2_口

222

»1.1752-1.1036X+0.3758-1（3X2-1）。.........12分

=0.5367/-1.1036x+0.9963

四、（12分）用Romberg求积的方法，计算积分/（计算到龙贝

格序列的第6个近似值）

解:此题只要对积分使用Romberg算法，

4=剑（。）+/⑴］，

.........10分

计算到Ri,结果如下表所示:

kTnSnCn

00.683940

10.6452350.632333

20.6354100.6321350.632122

因止匕/=0.402420........12分

am+ax=t\

五、(12分)设方程组vX22

(a]]a22w0)

gMi+a22x2=b2

证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散.

下)=-1(瓦-//产))

以11

解:Jacobi迭代为.......2分

燎：工电一

a22

其迭代矩阵。-(L+U)

0一」

a

B=}1(B)=白12々21

谱半径为,6分

一也0ana22

.。22

而Gauss-Seidel迭代法为

、a、、

0

aa

其迭代矩阵(。-乃7。=\\22

42〃21

0

41。22

其谱半径为p(G)=310分

«1汹22

由于Q2(8)=0(@,

故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。

.......12分

六、(12分)设方程/(x)=0有根，且(x)<M。试证明由迭代格式

x*+i=4一丸/(X。

”0,1,2,)产生的迭代序列上仁对任意的初值),当。“<焉

时，均收敛于方程的根。

证明：设0(X)=X-4/(X),.......2分

那么0(x)=l—之/'(X),'^1-MA,<(p'(x)<l-mA,,.......5分

2,

从而可知，当。时，T<d(x)<l,......10分

即帆从而由压缩映像定理可知结论成立。.....12分

[,=22

-七、（12分）用经典的四阶龙格-库塔方法求初值问题一耳冷，取步长h=0.4,计算

"（0）=1

y（0.4）,计算过程保存四位小数。

解：评分标准：公式：2分；计算结果：2分/个

八、（12分）设有〃阶矩阵A,p是最接近于A的特征值入的一个常数,

试简述如何用数值方法求4的与p最接近的那个特征值。

答：（每步3分）

第一步：将（A-p/）进行三角分解，（A_pD=LU,（或P（A-m）=LU,其中P为