2024届中考数学压轴题攻略（湘教版）专题10 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路（解析版）

专题11解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路类型一已知两边对应相等解题思路类型二已知两角对应相等解题思路类型三已知一边一角对应相等解题思路典型例题典型例题类型一已知两边对应相等基本解题思路：已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；②找第三边对应相等（SSS）.例题：（2022·江苏宿迁·七年级期末）如图，，，．(1)求证：；(2)若，AE平分，求的度数．【答案】(1)见解析(2)35°【解析】【分析】（1）根据，可得，进而证明，即可得证；（2）根据角平分线的定义可得，根据（1）的结论可得，即可求解．(1)证明：，，在与中，，；(2)解：，AE平分，，【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．（2021·新疆·七年级期末）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，，．求证：．【答案】证明见详解【解析】【分析】由已知可知AF=CE，从而根据SSS判定定理可证明△ADF≌△CBE即可．【详解】证明：∵AE=CE，∴AE+EF=CE+EF，即AF=CE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SSS），∴∠D=∠B．【点睛】本题考查三角形全等碰与性质，掌握三角形全等判定方法与性质是解题关键．2．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度数．【答案】(1)见解析(2)102°【解析】【分析】（1）证明∠BAF＝∠ECD，AF＝CE，再结合AB＝CD，可得结论；（2）利用三角形的外角的性质先求解∠AFB＝102°，结合△ABF≌△CDE，可得∠CED＝∠AFB＝102°．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠ECD，∵AE＝CF，∴AE-EF＝CF-EF∴AF＝CE，又∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（SAS）．(2)解：∵∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，∴∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝30°+72°＝102°，∵△ABF≌△CDE，∴∠CED＝∠AFB＝102°．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握“利用SAS证明三角形全等”是解本题的关键．类型二已知两角对应相等基本解题思路：已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；②找非夹边的边对应相等（AAS）.例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．【详解】证明：在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD（AAS），∴BC=BD．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．【答案】证明见解析．【解析】【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．【详解】证明：∵BF=CE∴BF+EF=CE+EF，即：BE=CF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB=DC．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知：．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】证明∠CAD=∠BAE；直接运用SAS公理，证明△CAD≌△EAB，即可解决问题．【详解】证明：如图，∵，∴，即，∵在和中，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．类型三已知一边一角对应相等基本解题思路：（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);②找另一角对应相等(AAS或ASA).例题：（2021·四川南充·一模）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】利用推出，通过“边角边”证明，利用全等三角形的性质即可证明AF＝DE．【详解】证明：，，，在和中，，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，属于简单题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC和△DCE中，，，点A，C，D依次在同一直线上，且．(1)求证：△ABC≌△DCE．(2)连结AE，当，时，求△ACE的面积．【答案】(1)见解析(2)30【解析】【分析】（1）利用AAS可证明结论；（2）由（1）得：△ABC≌△DCE，则BC＝CE＝5，即可求出△ACE的面积．(1)证明：∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（AAS）；(2)解：由（1）得：△ABC≌△DCE，∴BC＝CE＝5，∴△ACE的面积为×12×5＝30．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O．(1)求证：；(2)若，，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断；（2）根据，，求出，根据，即可求出．(1)解：证明：和相交于点，．在和中，，．又，，．在和中，，；(2)解：，，，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．一、解答题1．（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）已知：如图所示，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，∠ACB=∠F，AC=DF．求证：BE=CF．【答案】见解析【分析】利用AAS证明△ABC≌△DEF即可得到BE=CF．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且，，，△ABC与△CDE全等吗？为什么？【答案】全等，理由见解析【分析】利用SAS可以判定△ABC≌△CDE．【详解】解：全等，理由是：∵ABCD，∴，在和中，，∴△ABC≌△CDE（SAS）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，延长BA至F使AF＝AB，连接EF；延长CA至G使AG＝AC，连接DG，当∠G＝∠F时，猜想线段BD与线段CE的数量关系？并说明理由．【答案】BD＝CE，理由见解析．【分析】证明△BEF≌△CDG（ASA），由全等三角形的性质可得出BE＝CD，则可得出结论．【详解】解：BD＝CE．理由如下：∵AF＝AB，AG＝AC，AB＝AC，∴AF＝AG，∴AB+AF＝AC+AG，∴BF＝CG，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠G＝∠F，∴△BEF≌△CDG（ASA），∴BE＝CD，∴BE﹣DE＝CD﹣DE，∴BD＝CE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BEF≌△CDG是解题的关键．4．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）（1）如图，AC与BD交于点E，且AC=DB，AB=DC，求证：∠A=∠D．（2）如图，AC=DB，∠A=∠D，求证：AB=DC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先连接BC，由AC=DB，AB=DC，利用SSS，即可证得△ABC≌△DCB，继而可证得∠A=∠D；（2）延长BA和CD，相交于点O，证明△AOC≌△DOB，继而可证得AB=DC．【详解】（1）证明：连接BC，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠A=∠D；（2）延长BA和CD相交于点O，∵∠BAC=∠BDC，∴∠OAC=∠ODB，在△AOC和△DOB中，，∴△AOC≌△DOB（AAS），∴OA=OD，OC=OB，∴OB-OA=OC-OD，∴AB=DC．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质．掌握辅助线的作法是解题的关键．5．（2021·安徽·风华中学八年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，并延长AE交BC的延长线于点F．(1)求证：FC=AD；(2)若AB=BC+AD，∠ABE=30°，求∠F的度数．【答案】(1)见解析(2)∠F＝60°．【分析】（1）求出∠ADC＝∠ECF，DE＝EC，利用“ASA”证明△ADE≌△FCE即可得出结论；（2）由全等三角形的性质可得AE＝EF，FC＝AD，由等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠FBE＝30°，BE⊥AF，即可求解．（1）证明：∵ADBC，∴∠ADC＝∠ECF，∵E是CD的中点，∴DE＝EC，∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD；（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，FC＝AD，∵AB＝BC＋AD，BF＝BC＋CF＝BC＋AD，∴AB＝BF，∴∠ABE＝∠FBE＝30°，BE⊥AF，∴∠F＝60°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明△ADE≌△FCE是解题的关键．6．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作，交ED的延长线于点F．(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)当AD⊥BC，AE＝2，CF＝1时，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是由“AAS”即证得结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝1，求得AB＝AE+BE＝3，于是由等腰三角形的判定和定义得到结论．（1）证明：∵，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)；（2）∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝1，∴AB＝AE+BE＝2+1＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和定义．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．7．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF＝∠ADF．(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)连接EG，求证：EG平分∠FGD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∵E为AB的中点，∴AE=BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：如图，连接EG理由为：连接EG，∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，由（1）△ADE≌△BFE得：DE=FE，即GE为DF上的中线，∴EG平分∠FGD【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．8．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．(1)求证：△ADB≌△ADC；(2)小明说△ABE是等腰三角形，小华说△ABE是等边三角形．则______的说法更准确，说明理由．【答案】(1)见解析(2)小华，理由见解析【分析】（1）先说明△DBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得DB＝DC，然后根据SSS即可证明结论；（2）先证明△ABD≌△EBC，再根据全等三角形的性质可得AB＝BE，再结合∠ABE＝60°即可说明△ABE是等边三角形．（1）证明：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，∴△DBC是等边三角形，∠DBC=∠BDC=60°，∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS）．（2）解：结论：小华更准确，理由如下：∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB＝BE，∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等边三角形．

故答案为：小华．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键．9．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图①所示．(1)求证：FD＝AC．(2)若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图②，已知CG＝1，求BC的长．【答案】(1)证明见解析，(2)BC=4．【分析】（1）证明△ADF≌△ACE即可；（2）易证△FDG≌△BCG，则可得出CD的长度，由（1）可得△ADF≌△ACE，点E为BC中点则点D为AC中点，求出AC即可得到BC的长度．（1）∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠CAE=90°，∴∠AEC=∠FAD，∵FD⊥AC，∴∠FAD=90°，在△ADF和△ACE中，∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，∴△ADF≌△ACE，∴FD＝AC．（2）由（1）可知，FD=AC，∵AC=BC，∴FD=BC，在△FDG和△BCG中，∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，FD=BC，∴△FDG≌△BCG，∴CG=DG，则CD=2CG=2，∵△ADF≌△ACE，∴AD=CE，∵AC=BC，点E为BC中点，∴点D为AC