圆锥曲线的综合问题

第八节锥曲线的综合应用一、基本知识概要：1知识精讲：圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合,灵活运用解析儿何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.2重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用.3思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等.4特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。二、例题：例LA,B是抛物线V=2px（p〉0）上的两点，且OA_LOB（0为坐标原点）求证:（1）A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；（2）直线AB经过一个定点2 2证明・（1）设4为，%），8（%2，丁2），贝物1=2处,y2=2p%2，,/0A_LOB.xxx2+yxy2-0两式相乘得必为=一4〃2,玉々=4p2（2）y2一为2（2）y2一为2=2p（x,一々）,当天w*2,左AB2〃y+8所以直线A3的方程y-y=3—（x-xj化简得y= （x-2夕）,y+% y+打过定点（2小0），当天=々时，显然也过点（2P.O）所以直线AB过定点（2p,0）例2、（2005年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线/在x轴和y轴上的截距分别是。和人（〃>0/，0）,且交抛物线F >0）于M（%],必），N（々，为）两点。（1）写出直线/的截距式方程（2）证明：—+—y乃b（3）当。=2〃时、求NMON的大小。（图见教材P135页例1）解：（1）直线/的截距式方程为二+上=1。 （1）ab(2)(2)、由(1)及y2=2px消去x可得 +2pQy—2paZ?=0(2)点M,N的坐标M，力为（2）的两个根。故必+为=20a，必,乃=-2〃⑦b-2pa所以L= ='=Ly>2 y>2—2pab（3）、设直线OM、ON的斜率分别为匕/2,则匕=工也=&■xxx2当〃=2〃时，由（2）知，y为=-2〃。=一4〃2,由y；=2g，4=2〃%2,相乘凝必当尸=4〃2%x百％2='’?=*?=4p2,J. ~ ~ ~4P4p2因此A/2=型2=二^-=—1.所以OM_LON,即/MON=90°。XjX24p说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。2 2例3、（2005年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为二十二=1（。>8〉0）,双曲线crb~2 21-2r=1的两条渐近线为/1」2,过椭圆c的右焦点F作直线/,使又/与，2交ab于P点，设/与椭圆C的两个交点由上而下依次为A、Bo（图见教材P135页例2）当人与乙夹角为60°,双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程当fX=%47时，求2的最大值。TOC\o"1-5"\h\zA A解：（1）・.•双曲线的渐近线为y=±±x,两渐近线的夹角为60°,又2<1,a ah c/POx=30，即一=tan30=——=>a= .又/+/?2=4,a 3/.a1=3万=1.故椭圆c的方程为一十9=1.3(3)由已知/:”沁琮与尸白解得(3)由已知/:”沁琮与尸白解得pna2.abC+AA由党=乂A得A(f,—J),将A点坐标代入椭圆方程得1+A1+2(C2+/?ZZ2)2+04=(1+2)2〃2。2,.(/+㈤2+22=e2Q+2)24Z r\・・・尤—「二—(2")+——+3<3-2V2."2L2—2」・•/的最大值为\历一1。说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。2例4、A,F分别是椭圆1厂+("一1厂=1的一个上顶点与上焦点,位于x轴的正半轴16 12上的动点T(t,0)与F的连线交射线0A于Q,求：点A,F的坐标及直线TQ的方程；三角形OTQ的面积S与t的函数关系式及该函数的最小值写出该函数的单调递增区间，并证明.解:⑴由题意得A(1,3),F(1,1)直线TQ得方程为x+(tl)yt=O(2)射线0A的方程y=3x(x>0),代入7。的方程，得玄=」一3r-2TOC\o"1-5"\h\z7 1 *由q〉0,得”天贝1儿=^~7，「・= ——-j ji—乙z 一z)1 3 2 3 4 4=丁丁= —^・.・"才・・.3(。2互=,(当"］时取等号)2(二二)—4「)2+? 3 3 3t3产 t4 4 44所以S(t)的最小值为］-4 1(3)S(t)在-,+oo上是增函数1_3 )2 2 44 1 «2_4)(/I—1)。？一］)..设£(乙<占那么S(G—s(%)=…=弓・J5 亿--)(^24 2 2 22・・・，2>AN］,..・(。一§)2§J?一］〉］，…，♦・S«2)>SQ］)所以该函数在g,+o>)上是增函数三、课堂小结：1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的