用二分法求方程的近似解

跟踪知识梳理1、二分法直观想法：知道函数在内有零点，我们可以逐步将零点所在的范围尽量缩小，根据精确度要求，我们可以得到零点的近似值。为此，我们可以采用分段截取的办法，可以选取中点、三等分点、……定义:(取中点)对于区间上连续不断且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间缩小，使区间的两个端点逐渐接近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.二分法及步骤对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：eq\o\ac(○,1)若=，则就是函数的零点；eq\o\ac(○,2)若·<，则令=（此时零点）；eq\o\ac(○,3)若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤（2）~（4）.核心能力必练一、选择题1.下列函数中不能用二分法求零点的是()A．f(x)＝3x−1B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx【答案】C【解析】结合函数f(x)＝|x|的图象可知，该函数在x＝0左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．2.已知在区间(1，2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度为，则最少需要将区间等分的次数为()A．3B．4C．5D．6【答案】A3．函数f(x)＝2x＋m的零点落在(−1，0)内，则m的取值范围为()A．(−2，0)B．(0，2)C．[−2，0]D．[0，2]【答案】B【解析】由题意知f(−1)·f(0)＝(m−2)m<0，∴0<m<2.4.关于用二分法求近似解的精确度ε的说法，正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关【答案】B【解析】由精确度ε的定义知，ε越大，零点的精确度越低．5.若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)f(b)<0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0【答案】D【解析】由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B可通过反例“f(x)＝x(x−1)(x＋1)在区间[−2，2]上满足f(−2)f(2)<0，但其存在三个零点：−1，0，1”推翻；选项C可通过反例“f(x)＝(x−1)(x＋1)在区间[−2，2]上满足f(−2)f(2)>0，但其存在两个零点：−1，1”推翻，故选D.6.设函数的图象与轴的交点为，则所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】C7.用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，则函数的一个精确度为的正实数零点的近似值为()【答案】C【解析】因为，，所以零点在区间内，又精确度为，所以为.8．已知x0是函数的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0【答案】B【解析】，f(x)由两部分组成，y=2x在(1，＋∞)上单调递增，y=−eq\f(1,x－1)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1<x0，∴f(x1)<f(x0)＝0，又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0，故选B.二、填空题9．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上零点的近似解，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．【答案】(2，3)【解析】∵x1＝3，且f(2)·f(3)<0，∴x0∈(2，3)．10．用二分法求方程lnx−2＋x＝0在区间[1,2]上根的近似值，先取区间中点c＝eq\f(3,2)，则下一个含根的区间是________．【答案】11．用二分法求方程x2−5＝0在区间(2，3)内的近似解，经过________次二分后精确度能达到.【答案】7【解析】区间(2，3)的长度为1，当7次二分后区间长度为eq\f(1,27)＝eq\f(1,128)<eq\f(1,100)＝.三、解答题12.利用计算器，求方程lgx＝2−x的近似解(精确度．【答案】5（不唯一）【解析】作出y＝lgx，y＝2−x的图象可以发现，方程lgx＝2−x有唯一解，设为，设f(x)＝lgx＋x−2，用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒∈(1，2)；f<0，f(2)>0⇒∈，2)；f<0，f(2)>0⇒∈，2)；f<0，f>0⇒∈，；f<0，f5)>0⇒∈，5)．因为|5－|＝5<，所以方程的近似解可取为5.13.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10km的线路，电线杆的间距为100m．请你设计一个方案，能够迅速查出故障所在.【答案】略【解析】如图所示，首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100m左右，查7