专题19平面直角坐标系（4个知识点4种题型1个易错点1个中考考点）八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

专题19平面直角坐标系（4个知识点4种题型1个易错点1个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.平面直角坐标系知识点2点的坐标表示（重点）知识点3.坐标平面内点的坐标特征（重点）（难点）知识点4.建立平面直角坐标系表示点的位置（难点）【方法二】实例探索法题型1.由点的位置确定坐标中字母的值或取值范围题型2.求坐标平面内图形的面积【方法三】差异对比法易错点确定点的坐标时误判横、纵坐标【方法四】仿真实战法考法.点的坐标特征【方法五】成果评定法【学习目标】能画出平面直角坐标系，会根据所要表示的图形的需要建立平面直角坐标系，并用坐标表示图形是的点。在给定的平面直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。会用确定坐标、描点、连线的方法在平面直角坐标系中作出简单图形。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：要点：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：①x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：①坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．②x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1x2|；y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1y2|．③平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1x2|；平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1y2|．利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补【例1】（2023上·山西晋中·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查关于轴的对称点的坐标特点，正确记忆横坐标纵坐标的变化规律是解题关键．根据平面直角坐标系中，关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变进行求解即可．【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是．故选：A．【变式】（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，学校体育节伞操表演时，小军位置用表示，小华位置用表示，那么小刚位置可以表示成（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，以小军为坐标原点建立平面直角坐标系解答即可．【详解】解：如图所示平面直角坐标系，则小刚的位置可以表示为．故选：B．【点睛】本题考查了坐标确定位置，关键是建立平面直角坐标系．知识点2点的坐标表示（重点）从点开始向两条坐标轴作垂线，与x轴对应的数即为横坐标，与y轴对应的数即为纵坐标【例2】（2023上·广东河源·八年级校考期中）如图，如图所在的位置坐标为，所在的位置坐标为，那么所在位置坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知坐标判断出坐标系的位置，从而求出最终结果．本题主要考查了利用点的坐标确定坐标系的位置，根据已知得出原点的位置是解题的关键．【详解】解:士和相在同一直线上，且横坐标分别是坐标系位置如图所示炮所在的位置为：故选：D．知识点3.坐标平面内点的坐标特征（重点）（难点）3.(1）各个象限内点的特征第一象限：（+,+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；第二象限：（,+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；第三象限：（,）点P（x,y），则x＜0,y＜0；第四象限：（+,）点P（x,y），则x＞0,y＜0；（2）坐标轴上点的坐标特征x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0,0）；两坐标轴的点不属于任何象限。（3）点的对称特征已知点P（x,y）,关于x轴的对称点坐标是（x,y）,

横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是（x,y）,

纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是（x,y）,

横，纵坐标都反号（4）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。（5）各象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。【例3】已知点P在第二象限，点P到轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征即可解答．【详解】解：点在第二象限内，到轴的距离是4，到轴的距离是3，那么点的坐标是，故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征是解题的关键．【变式】（2023上·安徽蚌埠·八年级校考期中）下列各点中，位于第三象限内的点是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据各象限内点的坐标特征即可解答．掌握第一象限；第二象限；第三象限；第四象限是解答本题的关键．【详解】解：A、在y轴上，故本选项不合题意；B、在第二象限，故本选项不合题意；C、在第一象限，故本选项不合题意；D、在第三象限，故本选项符合题意．故选：D．知识点4.建立平面直角坐标系表示点的位置（难点）4.在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．【例4】如图，网格格点上三点A、B、C在某平面直角坐标系中的坐标分别为、、，则下列判断错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据A、C两点在网格中的位置，求出，即可得B点坐标，再据此建立坐标系，表示出A点坐标，据此分别对各项进行判断即可．【详解】A、B、C在某平面直角坐标系中的坐标分别为、、由图可知，据此建立坐标系，可得，，所以，A、B、D正确，C错误故选：C．【点睛】本题考查了点与坐标，平面直角坐标系，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．【变式】下列选项中各坐标对应的点，落在如图所示平面直角坐标系阴影区域内的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别描出四个选项中点的坐标在坐标系中的位置，然后判断即可．【详解】解：如图所示，点A（1，2），点B（2，0），点C（0，3），点D（1，1），∴落在阴影区域内的点只有点A（1，2），故选A．【点睛】本题主要考查了在坐标系中描点，解题的关键在于能够熟练掌握平面直角坐标系的相关知识．【方法二】实例探索法题型1.由点的位置确定坐标中字母的值或取值范围1．（2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）若点在第二象限内，则b可以是（）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】根据点在第二象限内，横坐标小于零，纵坐标大于零即可判断．【详解】解：∵点在第二象限内，∴，∴b可以为1，故选：D．【点睛】本题考查了根据点的位置求点的坐标，解题关键在于能够熟记每个象限点的坐标特征．2．（2023上·山西太原·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，点在第三象限内，则m的值可以是（

）A． B．0 C． D．3【答案】A【分析】本题考查了点的坐标，根据题意可得，然后进行计算即可解答．【详解】解：点在第三象限内，．故选：A．题型2.求坐标平面内图形的面积3．（2023上·福建福州·八年级统考期中）如图，轴于点，点在线段上运动（点不与重合），，且．(1)如图1，当点的坐标为时，①求点的坐标；②设与轴交于点，求的面积；(2)如图2，是的中点，过点作于点，与交于点，求证：．【答案】(1)；(2)见解析【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定与性质、三角形面积计算，熟练掌握三角形全等的判定与性质、添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）①作轴于点，由同角的余角相等可得，证明得到，即可得到答案；②连接，根据，代入数据进行计算即可得到答案；（2）延长交轴于点，证明和即可得证．【详解】（1）解：①作轴于点，∵轴，轴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，，∴，∵，∴，∴，∴；②连接，∵，∴，由①知，，∴，∴，∴，（2）证明：延长交轴于点，是的中点，∴，∵轴，，∴，∴，∴，在和中，，，∴，∴，在和中，，，∴，．4.（2023下·福建莆田·七年级统考期末）七（1）班同学到绶溪公园开展劳动实践活动，李想和陈臻根据景区示意图描述延寿桥的位置，图中小正方形的边长表示．李想：“延寿桥在森林秘境西北方向约处．”陈臻：“我通过建立平面直角坐标系，得到延寿桥的坐标是．(1)根据信息画出平面直角坐标系；并用方位和距离描述山地公园相对于森林秘境的位置．(2)写出公园内状元码头、绶溪水街的坐标．【答案】(1)见解析，山地公园在森林秘境的正南方向，距离；(2)状元码头的坐标为、绶溪水街的坐标．【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，再描述山地公园的位置即可；（2）根据（1）中的直角坐标系，即可得出对应坐标．【详解】（1）解：如图，以森林秘境为原点建立直角坐标系，由景区示意图可知，山地公园在森林秘境的正南方向，距离；（2）解：由（1）直角坐标系可知，状元码头的坐标为、绶溪水街的坐标．【点睛】本题考查了方位、坐标与图形，根据题意正确建立直角坐标系是解题关键．5．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，在直角坐标系中，边长为2的等边三角形的一条边在x轴的正半轴上，O为坐标原点，将沿x轴正方向依次向右移动4个单位（即……），依次得，……则顶点的坐标是【答案】【分析】此题考查了点的坐标变化规律，等边三角形的性质，根据题意得出前几个点的坐标，总结出一般变化规律是解题的关键．【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为B，∵为等边三角形，轴，∴根据勾股定理可得：，∴，∵，∴，，同理可得：，，，∵，∴由向右平移个单位长度得到，∴，故答案为：．【方法三】差异对比法易错点确定点的坐标时误判横、纵坐标6．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，，，．(1)作出关于轴对称的；(2)写出的各顶点的坐标；(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)，，．(3)【分析】本题考查了坐标，三角形的面积，画轴对称图形；（1）根据轴对称的性质画出（2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解；（3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）根据坐标系可得，，．（3）的面积【方法四】仿真实战法考法.点的坐标特征7．（2016·湖北荆州·中考真题）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．【详解】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．试题解析：解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为．（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离==．②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）点到轴的距离是（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】A【分析】本题考查坐标点的几何意义，熟记点到轴的距离是指横坐标的绝对值是解决问题的关键．【详解】解：点到轴的距离是，故选：A．2．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）已知点，则点到轴的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．12【答案】B【分析】先根据A纵坐标的特点，再根据点A到坐标轴距离的意义即可求出．【详解】点的纵坐标为4，点A到x轴的距离是4，故答案为B．【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离与坐标之间的关系，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．3．（2023上·广西贺州·八年级统考期中）若点在第一象限，则点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数求出m、n的正负情况，再进行判断即可．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．【详解】∵点在第一象限，∴，∴，∴点在第三象限．故选：C．4．（2023上·河北保定·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点B的坐标是（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】本题考查平面直角坐标系，与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等，当时，点B可能在点A的左侧，也可能在点A的右侧，由此求解即可，注意分情况讨论是解题的关键．【详解】解：轴，点，点B的纵坐标是，，当点B在点A的左侧时，点B的横坐标是，当点B在点A的右侧时，点B的横坐标是，点B的坐标是或．故选D．5．（2023上·安徽合肥·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限内点的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，进行判断即可．【详解】解：∵，符号为，∴点在第四象限；故选D．6．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了点的坐标．根据到两坐标轴距离相等的点满足横纵坐标相等或互为相反数列出方程，解之即可．【详解】解：由点到两坐标轴的距离相等，得，或，解得，或，则该点的坐标为或，故选：．7．（2023上·陕西西安·八年级西安市第八十五中学校考期中）平面直角坐标系中，点P位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题考查了象限内点的符号特征，根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，即可解答．【详解】解：∵点P的符号为，∴点P位于第二象限，故选：B．8．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）下列各点中位于第二象限的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据第二象限的符号，即可得解．【详解】解：位于第二象限，故选：B．9．（2023上·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）已知点，记关于直线m（直线m上各点的横坐标都为0）的对称点为，关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为1）的对称点为，关于直线p（直线p上各点的横坐标都为）的对称点为，关于直线q（直线q上各点的纵坐标都为3）的对称点为，关于直线m的对称点为，关于直线n的对称点为，……依此规律的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了轴对称的性质，点坐标的规律探究．根据轴对称的性质写出点坐标，然后推导一般性规律是解题的关键．由题意求得，在第一象限；，在第四象限；，在第三象限；，在第二象限；，在第一象限；，在第四象限；在第三象限；观察点坐标可知每四个点坐标所在象限为一个循环，由，可知与在同一象限，由，，可知，第三象限的点坐标的特征为，然后代入求解即可．【详解】解：∵直线m上各点的横坐标都为0，即直线m为y轴，∴，在第一象限，∵直线n上各点的纵坐标都为1，即直线n为直线；∴，在第四象限，∵直线p上各点的横坐标都为，即直线p为直线，∴，在第三象限，∵直线q上各点的纵坐标都为3，即直线q为直线，∴，在第二象限，∴，在第一象限，，在第四象限，在第三象限，∴每四个点坐标所在象限为一个循环，∵，∴与在同一象限，∵，，∴可知，第三象限的点坐标的特征为，∴，故选：B．10．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）10月中旬，小曲星们迎来了重量级嘉宾——曼联传奇球星德怀特·约克，下列表述中可以向嘉宾准确介绍铁一曲江校园位置的是（

）A．登殿路 B．西北妇女儿童医院东南方向C．距离曲江大城·雍城1公里处 D．东经，北纬【答案】D【分析】本题主要考查了方向角确定位置，根据方向角的定义，确定一个位置需要两个数据，即可获得答案．【详解】解：A、登殿路，不能准确表示我们学校地理位置，故不符合题意；B、西北妇女儿童医院东南方向，不能准确表示我们学校地理位置，故不符合题意；C、距离曲江大城·雍城1公里处，不能准确表示我们学校地理位置，故不符合题意；D、东经，北纬，能准确表示我们学校地理位置，故符合题意．故选：D．二、填空题11．（2023上·吉林松原·八年级统考期中）如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点作轴的垂线，点的坐标为，则线段的长为．【答案】7【分析】由等腰直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案．【详解】解：，，为等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，故答案为：7．【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．12．（吉林省名校调研20232024学年八年级上学期期中数学试题）点关于轴对称的点的坐标是．【答案】【分析】根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数进行解答即可．【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．13．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）天文学家以流星雨辐射所在的天空区域中的星座给流星命名，狮子座流星雨就是流星雨辐射点在狮子座中．如图，把狮子座的星座图放在正方形网格中．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是．【答案】【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据题意，找到原点，建立平面直角坐标系，根据坐标系写出点的坐标，即可求解．【详解】解：如图所示，根据坐标系可得：故答案为：．14．（2023上·广西贺州·八年级统考期中）在平面直角坐标系内，已知点在第一象限的角平分线上．则．【答案】【分析】本题考查了点的坐标，根据第一象限的角平分线上点的横、纵坐标相等，即可求解．【详解】解：点在第一象限的角平分线上，，解得：，故答案为：．15．（2023上·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，点A、B在坐标轴上，的平分线过点与x轴交于点C．下列结论：①平分的外角；②；③；④．其中正确的结论有．（填序号）【答案】①②④【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及正确作出辅助线．【详解】解：过点D作轴于点E，作轴于点H，作的延长线于点F，如图所示：平分，①在和中，平分平分的外角，故①正确；②由①可知轴于点H，平分，为直角三角形，又，故②正确，③无法得出③的结论，故错误；④设在和中，，，即，故④正确，故答案为：①②④．16．（2023上·山东枣庄·九年级统考期中）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，则顶点的坐标为．【答案】【分析】本题考查位似变换、点的变化规律，根据坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答，仔细观察图形、数形结合，总结出点的坐标的变化规律是解决问题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵，∴顶点的坐标为，故答案为：．17．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为．【答案】【分析】首先由折叠的性质可知，，然后根据勾股定理可解得，易得点的坐标，设点坐标为，则有，，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案．【详解】解：由折叠可知，，∵，，∴，，∴，∴，∴点的坐标为，设点坐标为，则，，在中，可有，即，解得，∴．故答案为：．18．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，若要使与全等，则点的坐标为．【答案】或或【分析】根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”解得即可．【详解】解：如下图，∵，，，要使与全等，∴的坐标为：或或．故答案为：或或．三、解答题19．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．(1)在图中作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的图形；(2)线段上有一点，直接写出点关于直线对称的点的坐标；(3)线段上有一点，直接写出点关于直线对称时与满足的数量关系；(4)若直线交轴于点，直接写出点坐标．【答案】(1)见解析(2)(3)(4)【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质、坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质，采用数形结合的思想，是解此题的关键．（1）首先确定、、关于直线的对称点、、，再顺次连接即可得到答案；（2）根据轴对称的性质即可得到结论；（3）根据，，，，可得，进行计算即可得到答案；（4）设点的坐标为，由题意得：，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：如图，即为所作，（2）解：线段上有一点，直线为，点关于直线对称的点的横坐标为，纵坐标为4，点关于直线对称的点的坐标为；（3）解：线段上有一点，线段上有一点，，，，；（4）解：设点的坐标为，由题意得：，解得：，．20．（2023上·安徽蚌埠·八年级校考期中）已知平面直角坐标系中一点，根据下列条件，求点M的坐标．(1)若点M在x轴上；(2)若点M的横坐标比纵坐标小2．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点，解题的关键是：（1）根据轴上点的纵坐标为0列出方程求解；（2）根据横坐标比纵坐标小2列出方程求解．【详解】（1）解：∵在x轴上，∴，解得∶，此时，∴；（2）∵点M的横坐标比纵坐标小2，∴，解得，此时，，∴．21．（2023上·湖北恩施·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，，是轴负半轴上一动点，是轴负半轴上一动点，且，，．(1)求证：；(2)若，试用含的式子表示点的坐标；(3)如图2，作轴交的延长线于，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）过点C作于H，通过证明，可得；（2）由可证，可得，，即可求解；（3）过点A作交DB延长线于点E，作交DB的延长线于点F，由可证，可得，由可证，可得，，由可证，可得，由线段的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：过点作于，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴点，∴，∵，∴，∴，∴，∴点C的坐标为；（3）证明：如图2，过点作交延长线于点，作交的延长线于点，∵，，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，坐标与图形等等，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．22．（2023上·湖北随州·八年级统考期中）如图1，在直角坐标系中，点在第一象限，且为等腰直角三角形，，已知点，点，且，满足．(1)______，______；(2)求点的坐标；(3)如图2，点在轴上，且，连接与相交于点，延长与相交于点，判断与的位置与数量关系，并证明．【答案】(1)1；2(2)(3)且，证明见解析【分析】（1）由算术平方根和偶次方的非负性质求解即可得答案；（2）过作于，如图所示，利用三角形全等的判定与性质求出相关线段长，由即可得到；（3）由题意判断，，为等腰直角三角形，可得，，由可得，，利用三角形内角和及对顶角，可证，由等腰三角形性质可证，可得，即可判断与的位置与数量关系．【详解】（1）解：，，，，，；故答案为：1，2；（2）解：由（1）可知，，，则，，过作于，如图所示：则，，为等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，则，；（3）解：且，理由如下：过作于，如图所示：，为等腰直角三角形，即，又由（1）中知；由（2）中知，，则，，为等腰直角三角形，即，又由（2）知，，为等腰直角三角形，，，则，，，，即，在和中，，，，综上，且．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等求解是解题的关键．23．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点的“2级关联点”点Q的坐标为，即．(1)已知点的“3级关联点”为B，求点B的坐标；(2)已知点的“2级关联点”为，求P的坐标；(3)已知点的“级关联点”在第三象限，求m的范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；（3）根据关联点的定义和点关于“级关联点”在第三象限，即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可．【详解】（1）解：∵点的“3级关联点”为B，∴B的坐标