电大历年离散数学试题汇总

电大历年离散数学试题汇总电大历年离散数学试题汇总/电大历年离散数学试题汇总计算机科学与技术专业级第二学期离散数学试题2012年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．C2．C3．B4．A5．D1．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．10B．100C．1024D2．设{a,b}，{1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>,<a，1>}，R2={<a，1>,<a，2>,<b，1>}，R3={<a，1>,<b，2>}，则（）是从A到B的函数．A．R1和R2B．R2C．R3D．R13．设{1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，{2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为()．A．8、2、8、2B．无、2、无、2C．6、2、6、2D．8、1、6、1 4．若完全图G中有n个结点(n≥2)，m条边，则当（）时，图G中存在欧拉回路．A．n为奇数B．n为偶数C．m为奇数D．m为偶数 5．已知图G的邻接矩阵为则G有（）．A．6点，8边B．6点，6边C．5点，8边D．5点，6边 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A＝{a}，那么集合A的幂集是{,{a}}．7．若R1和R2是A上的对称关系，则R1∪R2，R1∩R2，R12，R21中对称关系有4个．8．设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去1条边后使之变成树．9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为3．10．设个体域D＝{a,b}，则谓词公式(x)(A(x)∧B（x））消去量词后的等值式为(A(a)∧B(b))∧(A（a）∧B（b））．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天有联欢活动，明天有文艺晚会．”翻译成命题公式．设P：今天有联欢活动，Q：明天有文艺晚会，（2分）P∧Q．（6分）12．将语句“如果小王来，则小李去．”翻译成命题公式．设P：小王来，Q：小李去（2分）P→Q．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）abcd图一13．若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，极小元不存在．错误．（3分）对于集合A的任意元素x，均有<x,a>R（或），所以a是集合A中的最大元．（5分）但按照极小元的定义，在集合A中均是极小元．（7分）14．┐P∧（P→┐Q）∨P为永假式．错误．（3分）┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，（5分）如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）另种说明：┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，只要其中一项为真，则整个公式为真．（5分）可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨PT五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设集合{1，2，3，4}，{<x,y>,yA；1或x0}，试（1）写出R的有序对表示；（2）画出R的关系图；（3）说明R满足自反性，不满足传递性．15．（1）{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}（3分）（2）关系图如图二：图二（6分）（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的．（9分）因有<2,3>与<3,4>属于R，但<2,4>不属于R，所以R在A上不是传递的．（12分）16．设图<V，E>，{v1，v2，v3，v4，v5}，{(v1,v2)，(v1,v3)，(v2,v4)，(v3,v5)，(v4,v5)}，试画出G的图形表示；写出其邻接矩阵；v1v2v3v4图三v5(4)画出图G的补图的图形．16．（1）关系图如图三：（3分）（2）邻接矩阵（6分）（3）(v1)=2(v2)=2(v3)=2(v4)=2v1v2v1v2v3v4图四v5（4）补图如图四（12分）17．求PQ∧R的合取范式与主析取范式．P→（R∧Q）┐P∨(R∧Q)（4分）（┐P∨Q）∧（┐P∨R）（合取范式）（6分）P→（R∧Q）┐P∨(R∧Q)(┐P∧(┐Q∨Q))∨(R∧Q)（7分）(┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(R∧Q)（8分）((┐P∧┐Q)∧(┐R∨R))∨(┐P∧Q)∨(R∧Q)（9分）(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q)∨(R∧Q)（10分）(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨((┐P∧Q)∧(┐R∨R))∨(R∧Q)(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(R∧Q)(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨((┐P∨P)∧(R∧Q))(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧R∧Q)（主析取范式）（12分）说明：此题解法步骤多样，若能按正确步骤求得结果，均可给分．六、证明题（本题共8分）18．设连通无向图G有14条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其它顶点的度数均小于3，试说明G中可能有的顶点数．证明：可利用数列可图化与握手定理解答顶点度数和为214=28，（2分）28-（34+43）=4，则知其他顶点度数和为4，（4分）对于有限图，若无零度顶点，则除4度与3度顶点外，可能的顶点情况有：2个2度点；1个2度点和2个1度点；4个1度点，（6分）即对应图的顶点数分别至少为9、10、11．（8分）2011年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．C3．C4．D5．B1．若集合{1，{1}，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是()．A．{2}AB．{1，2}AC．1AD．22．设G为无向图，则下列结论成立的是()．A．无向图G的结点的度数等于边数的两倍．B．无向图G的结点的度数等于边数．C．无向图G的结点的度数之和等于边数的两倍．D．无向图G的结点的度数之和等于边数．abcdabcdefA．{(a，b)}是边割集B．{a，c}是点割集C．{d}是点割集D．{(c，d)}是边割集图一 4．设集合{1}，则A的幂集为()．A．{{1}}B．{1，{1}}C．{，1}D．{，{1}} 5．设A(x)：x是人，B(x)：x犯错误，则命题“没有不犯错误的人”可符号化为（）．A．┐(x)(A(x)→┐B(x))B．┐(x)(A(x)∧┐B(x))C．┐(x)(A(x)∧B(x))D．(x)(A(x)∧B(x)) 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．命题公式的真值是真（或T，或1）．7．若无向图T是连通的，则T的结点数v与边数e满足关系1时，T是树．8．无向图G是欧拉图的充分必要条件是G是连通的且结点度数都是偶数．9．设集合{1，2}上的关系R＝{<2,2>,<1,2>}，则在R中仅需加入一个元素<1,1>，就可使新得到的关系为自反的．10．(x)(P(x)→R(y)∨S(z))中的约束变元有x．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“雪是黑色的．”翻译成命题公式．设P：雪是黑色的，（2分）则命题公式为：P．（6分）12．将语句“如果明天下雨，则我们就在室内上体育课．”翻译成命题公式．设P：如果明天下雨，Q：我们在室内上体育课，（2分）则命题公式为：PQ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．设集合{1，2}，{3，4}，从A到B的关系为{<1,3>，<1,4>}，则f是A到B的函数．错误．（3分）因为A中元素1有B中两个不同的元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）14．设G是一个连通平面图，有5个结点9条边，则G有6个面．正确．（3分）因G是一个连通平面图，满足欧拉定理，有2，所以2-（）=2-（5-9）=6（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．试求出P→（R∧Q）的合取范式．P→（R∧Q）┐P∨（R∧Q）（6分）(┐P∨R)∧（┐P∨Q）（合取范式）（12分）16．设{{1},{1,2}，1}，{1,2,{2}}，试计算（1）（A∩B）（2）（A∪B）（3）（A∩B）A．（1）（A∩B）={1}（4分）（2）（A∪B）={1,2,{1},{2},{1,2}}（8分）（3）（A∩B）A=（12分）17．试画一棵带权为2,3,3,4,5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．最优二叉树如图二所示．23345510717（10分）图二权为23+33+32+42+52=39（12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明：若R与S是集合A上的对称关系，则R∩S也是集合A上的对称关系．证明：设x，yA，因为R对称，所以若<x,y>R，则<y,x>R．（2分）因为S对称，所以若<x,y>S，则<y,x>S．（4分）于是若<x,y>R∩S则<x,y>R且<x,y>S即<y,x>R且<y,x>S（6分）也即<y,x>R∩S，故R∩S是对称的．（8分）中央广播电视大学2010—2011学年度第一学期“开放本科”期末考试离散数学（本）试题2011年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．D3．B4．D5．C1．若集合A＝{a，{1}}，则下列表述正确的是()．A．{1}AB．{1}AC．{a}AD．A2．设图G＝<V,E>，vV，则下列结论成立的是()．A．(v)=2EB．(v)=EC．D．3．如图一所示，以下说法正确的是()．A．(e,c)是割边B．(d,e)是割边abcd图一abcd图一e4．命题公式（P∨Q）的合取范式是()．A．PB．（P∧Q）C．（P∨P）D．（P∨Q）5．下列等价公式成立的为()．A．PQPQ B．QPPQC．PPQQD．PPQ 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合{0,1,2}，{1,2,3,4,}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为{<1,1>，<1,2>，<2,1>，<2,2>}．7．设G是连通平面图，v,e,r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式2．8．设G＝<V,E>是有20个结点，25条边的连通图，则从G中删去6条边，可以确定图G的一棵生成树．9．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G所有结点的度数全为偶数且连通．10．设个体域D＝{1,2}，则谓词公式消去量词后的等值式为A(1)A(2)．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩．”翻译成命题公式．12．将语句“小张学习努力，小王取得好成绩．”翻译成命题公式．11．设P：小李学习努力，Q：小李会取得好成绩，（2分）PQ．（6分）12．设P：小张学习努力，Q：小王取得好成绩，（2分）PQ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1R2是自反的．14．如图二所示的图中存在一条欧拉回路．图二13．正确．（3分）R1和R2是自反的，xA，<x,x>R1，<x,x>R2，则<x,x>R1R2，所以R1R2是自反的．（7分）14．正确．（3分）因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设{{2},1,2}，{1,{1,2}}，试计算（1）（AB）；（2）（A∩B）；（3）A×B．16．设<V，E>，{v1，v2，v3，v4，v5}，{(v13)，(v23)，(v24)，(v34)，(v35)}，试（1）给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．17．设谓词公式，试（1）写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．15．（1）AB={2,{2}}（4分）（2）A∩B={1}（8分）（3）A×{<{2},1>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,{1,2}>，<2,1>，<2,{1,2}>}（12分）v1v2v1v2v3v4图三v5（3分）（2）邻接矩阵：（6分）（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，2，1（9分）v1v2v3v4图四v5（12分）17．（1）x量词的辖域为，（2分）z量词的辖域为,（4分）y量词的辖域为．（6分）（2）自由变元为中的y，以与中的z（9分）约束变元为中的x与中的z，以与中的y．（12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC)．18．证明：设A(BC)，(AB)(AC)，若x∈S，则x∈A或x∈BC，（1分）即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．（2分）也即x∈AB且x∈AC，（3分）即x∈T，所以ST．（4分）反之，若x∈T，则x∈AB且x∈AC，（5分）即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，（6分）也即x∈A或x∈BC，即x∈S，所以TS．（7分）因此．（8分）2011年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D2．B3．C4．A5．B1．若集合{a，b}，{a，{a，b}}，则（）．A．ABB．ABC．ABD．AB 2．集合{为小于10的自然数}，集合A上的关系{<x，y>10且x,yA}，则R的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的 3．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是()．图一A．（a）仅为弱连通的B．（b）仅为弱连通的C．（c）仅为弱连通的D．（d）仅为弱连通的 4．设图G的邻接矩阵为 则G的边数为()． A．5B．6C．7D． 5．下列公式()为永真式．A．PQPQB．(P(QP))(P(PQ))C．(Q(PQ))(Q(PQ))D．(P(PQ))Q 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A＝{1，2，3}，那么集合A的幂集是{,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}．7．设{a，b}，{1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为4．8．若{1,2}，{<x,y>A,yA,<4}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>}．9．无向连通图在结点数v与边数e满足1关系时是树．10．(x)(A(x)→B(x))∨C(x，y)中的自由变元为C(x，y)中的x与y．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“他们去旅游，仅当明天天晴．”翻译成命题公式．12．将语句“今天没有下雪．”翻译成命题公式．11．设P：他们去旅游，Q：明天天晴，（2分）P→Q．（6分）12．设P：今天下雪，（2分）P．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．汉密尔顿图一定是欧拉图．图二存在汉密尔顿图不是欧拉图．（5分）反例见图二．（7分）14．下面的推理是否正确，试予以说明．(1)（x）（F（x）→G（y））前提引入(2)F（y）→G（y）（1）．1、错误．（3分）（2）应为F（a）→G（y），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设{0，1，2，3，4，5，6}，{<x，y>A，yA且<1}，{<x，y>A，yA且3}，试求R，S，RS，1，1，r(R)．{<0,0>}（2分）{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>}（4分）R{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>}（6分）1={<0,0>}（8分）1=S（10分）r(R)．（12分）16．画一棵带权为1,2,2,3,6的最优二叉树,计算它们的权．14最优二叉树如图四：148866535332322121图四（10分）权为：13+23+23+33+61=30（12分）注:其他正确的最优二叉树参照给分．17．求（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式，合取范式．（P∨Q）→（R∨Q）（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）(P∧Q)∨（R∨Q）(P∨R∨Q)∧(Q∨R∨Q)(P∨R∨Q)析取、合取范式（12分）注:其他正确答案参照给分．六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC)．证明：设∩(B∪C)，(A∩B)∪(A∩C)，若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C，也即x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈T，所以ST．（4分）反之，若x∈T，则x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以TS．因此．（8分）2010年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B2．D3．B4．C5．B1．若集合{1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是()．A．2AB．{1}C．1AD．22．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为()．A．6B．4C．3D 3．设无向图G的邻接矩阵为 ,则G的边数为()． A．1B．7C．6D． 4．设集合{a}，则A的幂集为()．A．{{a}}B．{a，{a}}C．{，{a}}D．{，a} 5．下列公式中()为永真式．A．ABABB．AB(AB)C．ABABD．AB(AB) 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．命题公式的真值是假（或F，或0）．7．若无向树T有5个结点，则T的边数为4．8．设正则m叉树的树叶数为t，分支数为i，则(1)1．9．设集合{1，2}上的关系R＝{<1,1>,<1,2>}，则在R中仅需加一个元素<2,1>，就可使新得到的关系为对称的．10．(x)(A(x)→B(x，z)∨C(y))中的自由变元有z，y．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．设P：今天上课，（2分）则命题公式为：P．（6分）12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．设P：他去操场锻炼，Q：他有时间，（2分）则命题公式为：PQ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．设集合{1，2}，{3，4}，从A到B的关系为{<1,3>}，则f是A到B的函数．14．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．13．错误．（3分）因为A中元素2没有B中元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）14．错误．（3分）不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤36．”（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．试求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．（P∨Q）→（R∨Q）┐(P∨Q)∨（R∨Q）（4分）(┐P∧┐Q)∨（R∨Q）（8分）(┐P∧┐Q)∨R∨Q（析取范式）（12分）16．设{{1},1,2}，{1,{2}}，试计算（1）A∩B（2）A∪B（3）A（A∩B）．（1）A∩{1}（4分）（2）A∪{1,2,{1},{2}}（8分）（3）A（A∩B）={{1},2}（12分）17．图<V,E>，其中{a,b,c,d}，{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}，对应边的权值依次为1、2、3、1、4与5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树与其权值．图一a图一abcd112453（3分）（2）邻接矩阵：图二图二abcd112453（3）最小的生成树如图二中的粗线所示：（10分）权为：1+1+3=5（12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．证明：设xA，因为R自反，所以xRx，即<x,x>R；又因为S自反，所以xRx，即<x,x>S．（4分）即<x,x>R∩S（6分）故R∩S自反．（8分）2010年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．C3．B4．B5．D1．若集合A＝{a，{a}}，则下列表述正确的是()．A．{a}AB．{{{a}}}AC．{a，{a}}AD．A2．命题公式（P∨Q）的合取范式是()A．（P∧Q）B．（P∧Q）∨（P∨Q）C．（P∨Q）D．（P∧Q）3．无向树T有8个结点，则T的边数为()．A．6B．7 C．8 D． 4．图G如图一所示，以下说法正确的是()．A．a是割点B．{b,c}是点割集C．{b,d}是点割集D．{c}是点割集 图一 5．下列公式成立的为()．A．P∧QP∨QB．PQPQC．QPPD．P∧(P∨Q)Q 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合{2,3,4}，{1,2,3,4}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为{<2,2>，<2,3>，<2,4>，<3,3>}，<3,4>，<4,4>}．7．如果R是非空集合A上的等价关系，aA，bA，则可推知R中至少包含<a,a>，<b,b>等元素．8．设G＝<V,E>是有4个结点，8条边的无向连通图，则从G中删去5条边，可以确定图G的一棵生成树．9．设G是具有n个结点m条边k个面的连通平面图，则m等于2．10．设个体域D＝{1,2}，A(x)为“x大于1”，则谓词公式的真值为真（或T，或1）．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式．设P：今天考试，Q：明天放假．（2分）则命题公式为：P∧Q．（6分）12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．设P：我去旅游，Q：我有时间，（2分）则命题公式为：PQ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G是欧拉图．错误．（3分）当图G不连通时图G不为欧拉图．（7分）14．若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元是f．图二错误．（3分）集合A的最大元与最小元不存在，a是极大元，f是极小元，．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设谓词公式，试（1）写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．（1）x量词的辖域为，（3分）z量词的辖域为,（6分）（2）自由变元为中的y，（9分）约束变元为x与z．（12分）16．设集合{{1},1,2}，{1,{1,2}}，试计算（1）（AB）；（2）（A∩B）；（3）A×B．（1）AB={{1},2}（4分）（2）A∩B={1}（8分）（3）A×{<{1},1>，<{1},{1,2}>，<1,1>，<1,{1,2}>，<2,1>，<2,{1,2}>}（12分）17．设<V，E>，{v1，v2，v3，v4}，{(v13)，(v23)，(v24)，(v34)}，试（1）给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．（1）G的图形表示为(如图三)：（3分）图三（2）邻接矩阵：（6分）（3）v1，v2，v3，v4结点的度数依次为1，2，3，2（9分）（4）补图如图四所示：（12分）图四六、证明题（本题共8分）18．设A，B是任意集合，试证明：若AB，则．证明：设xA，则<x，x>AA，（1分）因为AB，故<x，x>BB，则有xB，（3分）所以AB．（5分）设xB，则<x，x>BB，（6分）因为AB，故<x，x>AA，则有xA，所以BA．（7分）故得．（8分）2009年10月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D2．C3．B4．C5．A1．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是()．A．平面图B．对偶图C．欧拉图D．连通图 2．集合{1,2,3,4}上的关系{<x，y>且x,}，则R的性质为（）．A．不是自反的B．不是对称的C．传递的D．反自反 3．设集合{1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．A．最大元B．极大元C．最小元D．极小元 4．图G如图一所示，以下说法正确的是()．A．{(a,d)}是割边 B．{(a,d)}是边割集C．{(a,d),(b,d)}是边割集D．{(b,d)}是边割集图一 5．设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A．(x)(A(x)∧B(x))B．(x)(A(x)∧B(x))C．┐(x)(A(x)→B(x))D．┐(x)(A(x)∧┐B(x)) 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．若集合{1，3，5，7}，{2，4，6，8}，则A∩空集（或）．7．设集合{1，2，3}上的函数分别为：{<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，{<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数gf={<1,2>,<2,3>,<3,2>,}．8．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和为2（或“边数的两倍”）．9．无向连通图G的结点数为v，边数为e，则G当v与e满足1关系时是树．10．设个体域D＝{1,2,3}，P(x)为“x小于2”，则谓词公式(x)P(x)的真值为假（或F，或0）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．设P：他是学生，（2分）则命题公式为：P．（6分）12．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．设P：明天下雨，Q：我们就去郊游，（2分）则命题公式为：PQ．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1)（x）F（x）→G（x）前提引入(2)F（y）→G（y）（1）．错误．（3分）（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）14．如图二所示的图G存在一条欧拉回路．图二错误．（3分）因为图G为中包含度数为奇数的结点．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P∨Q）→R的析取范式与合取范式．（P∨Q）→R（P∨Q）∨R（4分）(P∧Q)∨R（析取范式）（8分）(P∨R)∧(Q∨R)（合取范式）（12分）16．设{0，1，2，3}，{<x，y>A，yA且<0}，{<x，y>A，yA且2}，试求R，S，RS，S-1，r(R)．,{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>}（3分）R，（6分）S-1=S，（9分）r(R){<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}．（12分）17．画一棵带权为1,2,2,3,4的最优二叉树,计算它们的权．1223347512（10分）图三权为13+23+22+32+42=27（12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC)．证明：设A(BC)，(AB)(AC)，若x∈S，则x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．也即x∈AB且x∈AC，即x∈T，所以ST．（4分）反之，若x∈T，则x∈AB且x∈AC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，也即x∈A或x∈BC，即x∈S，所以TS．因此．2009年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．B3．B4．D5．C1．若集合{a，b}，{a，b，{a，b}}，则（）．A．AB，且ABB．AB，但ABC．AB，但ABD．AB，且AB 2．集合{1,2,3,4,5,6,7,8}上的关系{<x，y>10且x,}，则R的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的 3．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R12中自反关系有（）个．A．0B．2C．1 4．如图一所示，以下说法正确的是()．A．{(a,e)}是割边 B．{(a,e)}是边割集C．{(a,e),(b,c)}是边割集D．{(d,e)}是边割集图一 5．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(x)(A(x)∧B(x))B．┐(x)(A(x)∧B(x))C．┐(x)(A(x)→B(x))D．┐(x)(A(x)∧┐B(x)) 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为1024．7．设{a，b，c}，{1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为8．8．若{1,2}，{<x,y>A,yA,10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}．9．结点数v与边数e满足1关系的无向连通图就是树．10．设个体域D＝{a,b,c}，则谓词公式(x)A(x)消去量词后的等值式为A(a)∧A(b)∧A（c）．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．设P：他接受了这个任务，Q：他完成好了这个任务，（2分）PQ．（6分）12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．设P：今天下雨，（2分）P．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1)（x）F（x）→G（x）前提引入(2)F（y）→G（y）（1）．错误．（3分）（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）14．若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．图二错误．（3分）集合A的最大元不存在，a是极大元．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P∨Q）→（R∨Q）的合取范式．（P∨Q）→（R∨Q）（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）(P∧Q)∨（R∨Q）(P∨R∨Q)∧(Q∨R∨Q)(P∨R∨Q)∧R合取范式（12分）16．设{0，1，2，3，4}，{<x，y>A，yA且<0}，{<x，y>A，yA且3}，试求R，S，RS，1，1，r(R)．,（2分）{<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>}（4分）R，（6分）1=，（8分）1=S，（10分）r(R)．（12分）17．画一棵带权为1,2,2,3,4的最优二叉树,计算它们的权．1223347512权为13+23+22+32+42=27（12分）六、证明题（本题共8分）18．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明G与中的奇数度顶点个数相等(是G的补图)．证明：因为n是奇数，所以n阶完全图每个顶点度数为偶数，（3分）因此，若G中顶点v的度数为奇数，则在中v的度数一定也是奇数，（6分）所以G与中的奇数度顶点个数相等．（8分）2008年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B2．B3．A4．C5．D1．设{a,b}，{1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>,<b，2>}，R2={<a，1>,<a，2>,<b，1>}，R3={<a，1>,<b，2>}，则（）不是从A到B的函数．A．R1和R2B．R2C．R3D．R12．设{1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，{2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为()．A．8、2、8、2B．无、2、无、2C．6、2、6、2D．8、1、6、1 3．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024B．10C．100D 4．设完全图K有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，K中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数 5．已知图G的邻接矩阵为，则G有（）．A．5点，8边B．6点，7边C．6点，8边D．5点，7边 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A＝{a，b}，那么集合A的幂集是{,{},{a},{b}}．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R12中自反关系有2个．8．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去4条边后使之变成树．9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为3．10．设个体域D＝{a,b}，则谓词公式(x)A(x)∧（x）B（x）消去量词后的等值式为(A(a)∧A(b))∧(B（a）∨B（b）)．三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分）11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．设P：所有人今天都去参加活动，Q：明天的会议取消，（1分）PQ．（4分）12．将语句“今天没有人来．”翻译成命题公式．设P：今天有人来，（1分）P．（4分）13．将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，（1分）(x)(P(x)Q(x))．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．14．┐P∧（P→┐Q）∨P为永真式．15．若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．图一14．正确．（3分）┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，（5分）如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）另种说明：┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，只要其中一项为真，则整个公式为真．（5分）可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨PT15．正确．（3分）对于集合A的任意元素x，均有<x,a>R（或），所以a是集合A中的最大元．（5分）按照最小元的定义，在集合A中不存在最小元．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）16．设集合{1，2，3，4}，{<x,y>,yA；1或x0}，试（1）写出R的有序对表示；（2）画出R的关系图；（3）说明R满足自反性，不满足传递性．（1）{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}（3分）1234（6分）（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的。（9分）因有<2,3>与<3,4>属于R，但<2,4>不属于R，所以R在A上不是传递的。（12分）17．求PQR的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．P→（R∨Q）┐P∨(R∨Q)┐P∨Q∨R（析取、合取、主合取范式）（9分）(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）（12分）18．设图<V，E>，{v1，v2，v3，v4，v5}，{(v1,v2)，(v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5)}，试画出G的图形表示；写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数；v1v2v1v2v3v4v5（1）关系图（3分）（2）邻接矩阵（6分）（3）(v1)=2(v2)=3(v3)=4(v4)=3v1v2v3v4v1v2v3v4v5（4）补图（12分）六、证明题（本题共8分）19．试证明（x）（P（x）∧R（x））（x）P（x）∧（x）R（x）．证明：（1）（x）（P（x）∧R（x））P（2）P（a）∧R（a）(1)（2分）（3）P（a）