专题4.17角的比较（知识梳理与考点分类讲解）-七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.17角的比较（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】角的单位及换算1.角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作;把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作2.角的换算：1周角=360°,1平角=180°,==特别提醒：角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的。【知识点二】角的大小比较度量法用量角器量出角的度数，然后比较大小。叠合法把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一边叠合在一起，通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如下图所示特别提醒：使用叠合法比较角的大小时要注意两点：重合，即顶点重合，一条边重合；同侧，即另一条边放在重合边的同一侧。【知识点三】角平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。2.角的n等分线类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，叫做角的n等分线，例如三等分线，四等分线等等。特别提醒：角平分线的“三要素”（1）是从角的顶点引出的射线；（2）在角的内部；（3）将已知角平分，而角的n等分线有(n1)条。【考点目录】【考点一】角的概念的理解；【考点二】角的表示方法；【考点三】角的分类；【考点四】钟面角；【考点五】方位角的表示；【考点六】方位角的有关计算；【考点一】角度的运算及大小比较【例1】（2021上·福建漳州·七年级校考阶段练习）若，，则．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】将转换为度、分格式，然后比较大小即可．解：∵，，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查了角的大小比较，理解并掌握角度换算法则是解题关键．【变式1】（2023下·山东东营·六年级校考阶段练习）下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】按照角的度量单位进行转化即可判断．解：A.，不符合题意；B.，不符合题意；

C.，不符合题意；D.，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确．【变式2】（2023上·七年级课时练习）计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】根据角的四则混合运算法则计算即可，注意：；（1）解：原式==（2）解：原式==【点拨】本题主要考查角的四则混合运算，明确是正确计算本题的关键．【考点二】角的比较【例2】（2022上·广东茂名·七年级统考期末）如图，用“＞”或“＜”填空：（1）在图①中，；（2）在图②中，．【答案】【分析】（1）由角的和差即可比较大小；（2）由图可知是锐角，是直角，即可求解．解：（1），，故答案为：；（2）由图可知是锐角，是直角，，故答案为：．【点拨】本题考查了角的大小比较，解题关键是灵活运用角的大小比较方法．【变式1】（2023上·湖南郴州·七年级校联考期末）如图，若，则与的大小关系是（

）．A． B．C． D．不能确定【答案】C【分析】列出不等式，等量代换，即可求得结果．解：，，且，．故选：C．【点拨】本题考查了比较角的大小，解题关键是列出不等式进行等量代换．【变式2】（2021上·七年级课时练习）把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中的度数及其大小关系．【答案】．【分析】首先要知道一副三角板的各角度数，然后求出∠AEB，最后比较大小．解：∠B=30°，∠E=60°，∠BAD==90°+45°=135°，∠DCE=90°∴∠B＜∠E＜∠DCE＜∠BAD．【点拨】本题考查了角的比较与运算，要知道一副三角板各角的度数，比较简单．【考点三】三角板中角度的计算【例3】（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是．【答案】【分析】根据题目的已知可求出的度数，再利用减去的度数即可解答．解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了角的和差运算，理解、、之间的关系是解决问题的关键．【变式1】（2023上·云南昆明·九年级云南省昆明市第二中学校考阶段练习）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转图2的位置，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，再由，可得，即可求解．解：根据题意得：，∵，∴，∴．故选：B【点拨】本题主要考查了三角板中角的计算，熟练掌握三角板特殊角的度数是解题的关键．【变式2】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．（1）当时，求的大小；（2）若时，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据角的和差运算求解即可；（2）首先根据题意表示出，，然后作差求解即可．（1）解：当时，，∵，∴．∵，∴．（2）解：当时，∵，∴．∵，∴．∴．【点拨】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键．【考点四】几何图形中角度的计算【例4】（2023上·黑龙江大庆·七年级校考阶段练习）已知，平分，，则．【答案】或．【分析】需要分两种情况讨论：射线位于下方；射线位于上方分别进行求解．解：∵，平分，∴．①如图所示，射线位于下方．．②如图所示，射线位于上方时．．综上所述，或．故答案为：或．【点拨】本题主要考查角的平分线和角的运算，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．【变式1】（2021上·江西九江·七年级校考期中）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，利用正方形的角都是直角，即可求得和的度数从而求解．解：如图，根据题意得：，，又∵，∴．故选：C．【点拨】本题主要考查了角度的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键．【变式2】（2023上·河北唐山·七年级统考期中）如图1，已知长方形的纸片．操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______；操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数：操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由折叠知，再根据即可求解；（2）由折叠知，，再根据即可求解；（3）由折叠知，，再根据即可求解．解：（1）由折叠知，由题意得：；故答案为：；（2）由折叠可知：，，，，，，；（3）由折叠知：，，．【点拨】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再由角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键．【考点五】角平分线中角度的计算【例5】（2023·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考自主招生）如图，平分，平分．若，，则．【答案】/度【分析】根据角平分线的定义得出，，再根据已知条件得出，即可求出的度数，从而求出的度数．解：平分，平分，，，，，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．【变式1】（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题．解：平分，，，，，，，故选：C．【点拨】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式2】（2022上·云南红河·七年级统考期末）如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分．（1）当时，求的度数．（2）请你猜想和的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2），理由见分析【分析】（1）先求解，再证明结合，从而可得答案；（2）证明，，结合，从而可得答案．（1）解：∵，∴∵平分∴∴∴（2），理由如下：∵∴，∵平分，∴∴∴【点拨】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解本题的关键．【考点六】实际问题中角度的计算【例6】（2020下·山东淄博·六年级统考期中）已知，都是钝角，甲，乙，丙，丁四位同学计算的结果依次是50°，26°，72°，90°，其中计算结果正确的同学是：．【答案】甲【分析】根据钝角的取值范围，得到两个钝角和的取值范围，除以6后看所给的哪个角在这个范围内即可．解：∵，都是钝角，∴，，∴，∴，∴算得正确的是甲．故答案为：甲．【点拨】本题主要考查了角的有关计算的应用，解决本题的关键是得到所求角的取值范围．【变式1】（2023上·河北保定·七年级统考期末）已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（

）A．整个运动过程中，不存在的情况B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒C．当t值为36秒时，射线恰好平分D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒【答案】C【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误．解：由题意知，；当时，；当时，；令，即，解得秒，∴存在的情况；故A错误，不符合题意；令，即，解得秒，令，即，解得秒，∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；故B、D错误，不符合题意；当时，，∴，∵，∴射线恰好平分，故C正确，符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度．【变式2】（2020上·河南漯河·七年级统考期末）如图（1）,点为直线上一点，过点作射线,将一直角的直角顶点放在点处，即反向延长射线,得到射线.（1）当的位置如图（1）所示时，使，若，求的度数.（2）当的位置如图（2）所示时，使一边在的内部，且恰好平分,问:射线的反向延长线是否平分请说明理由：注意:不能用问题中的条件（3）当的位置如图所示时，射线在的内部，若.试探究与之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论.【答案】为；平分，理由见分析；【分析】（1）∠NOB+∠BOC+∠COD=180°，根据题目已知条件代入即可求解；（2）∠MON=∠MOD=90°，利用互余的性质可以得出∠DOC=∠BON，由对顶角的性质得出∠BON=∠AOD，即可得出结果；（3）根据∠BOC=120°，得出∠AOC=60°，再利用∠MON∠AOC=30°即可得出结论.解：（1）∵∠NOB=20°，∠BOC=120°∠NOB+∠BOC+∠COD=180°∴∠COD=180°20°120°=40°（2）OD平分∠AOC∵∠MO