同济大学高等数学第七版闭区间上连续函数的性质课件

第十节一、最值定理二、零点定理与介值定理闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值举例：最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0

I，使得对于任一x

I都有f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）函数f(x)=1+sinx在区间[0，2p]上有最大值2和最小值0．012函数f(x)=sgnx

在区间(-

，+

)内有最大值1和最小值-1．一、最大值与最小值最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0

I，使得对于任一x

I都有f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）举例：一、最大值与最小值最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0

I，使得对于任一x

I都有f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）

在开区间(0，+

)内，sgnx的最大值和最小值都是1．举例：

但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值．xyOy=xab一、最大值与最小值最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有x0

I，使得对于任一x

I都有f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）举例：注1

：定理1说明，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么至少有一点x1

[a，b]，使f(x1)是f(x)在[a，b]上的最大值，又至少有一点x2

[a，b]，使f(x2)是f(x)在[a，b]上的最小值．abxyf(x1)xx1Of(x2)x2y=f(x)

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．注2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值．

在开区间(a，b)考察函数y=x．

函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值．xyOy=xab

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．注2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值．

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．

在闭区间[0，2]考察函数yx2112O

函数y=f(x)在开区间[0，2]内既无最大值又无最小值．

证明设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续．由定理1，函数f(x)在区间[a，b]上有最大值M

和最小值m

，使任一x

[a，b]满足

m

f(x)

M．上式表明，f(x)在[a，b]上有上界M和下界m

，因此函数f(x)在[a，b]上有界．

定理1（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．二、零点定理与介值定理注:1.如果x0使f(x0)=0

则x0称为函数f(x)的零点

几何解释定理2(零点定理)使得二、零点定理与介值定理定理2(零点定理)使得

例1

证明方程x3-4x2+1=0在区间(0

1)内至少有一个根

证明设f(x)=x3-4x2+1

则f(x)

C[0

1]

并且f(0)=1>0

f(1)=-2<0

根据零点定理

在(0

1)内至少

x

使得f(x)=0

即x3-4x2+1=0

这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0

1)内至少有一个根是x

12定理3(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

且f(a)

f(b)

那么

对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C

在开区间(a

b)内至少有一点x

使得几何意义:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少有一个交点13定理3(介值定理)证零点定理设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

且f(a)

f(b)

那么

对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C

在开区间(a

b)内至少有一点x

使得设j(x)=f(x)-C

则j(x)在闭区间[a

b]上连续

14几何意义:之间的任何值(不会有任何遗漏).推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值15例证由零点定理,历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯的变化资料精品课件欢迎使用[自读教材·填要点]一、铁路，更多的铁路1．地位铁路是

建设的重点，便于国计民生，成为国民经济发展的动脉。2．出现1881年，中国自建的第一条铁路——唐山

至胥各庄铁路建成通车。1888年，宫廷专用铁路落成。交通运输开平

3．发展(1)原因：①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的

。②修路成为中国人

的强烈愿望。(2)成果：1909年

建成通车；民国以后，各条商路修筑权收归国有。4．制约因素政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入正轨。修筑权救亡图存京张铁路

二、水运与航空1．水运(1)1872年,

正式成立，标志着中国新式航运业的诞生。(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是在列强排挤中艰难求生。2．航空(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始研制

。(2)发展：1918年，北洋政府在交通部下设“

”；此后十年间，航空事业获得较快发展。轮船招商局水上飞机筹办航空事宜处三、从驿传到邮政1．邮政(1)初办邮政：1896年成立“大清邮政局”，此后又设

，邮传正式脱离海关。(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站；1920年，中国首次参加

。邮传部万国邮联大会2．电讯(1)开端：1877年，福建巡抚在

架设第一条电报线，成为中国自办电报的开端。(2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变化。3．交通通讯变化的影响(1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和

，

转变了人们的思想观念。(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便捷。(3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活

。台湾出行方式多姿多彩[合作探究·提认知]

电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家，从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。

提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车，近代的小火轮、火车同时使用)。

原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；政府及各阶层人士的提倡与推动。[串点成面·握全局]

一、近代交通业发展的原因、特点及影响1．原因(1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促进中国社会发展。(2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。(3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供了物质条件。2．特点(1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和航空都获得了一定程度的发展。(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。(3)地域之间的发展不平衡。3．影响(1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的联系，丰富了人们的生活。(2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立之势”。这说明该企业的创办 (

)A．打破了外商对中国航运业的垄断B．阻止了外国对中国的经济侵略C．标志着中国近代化的起步D．使李鸿章转变为民族资本家解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家；洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D三项表述都有错误。答案：A二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影响(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社会生活。2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 (

)A．电话B．汽车C．电报 D．火车解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。答案：D[典题例析][例1]

上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 (

)A．江南制造总局的汽车B．洋人发明的火车C．轮船招商局的轮船D．福州船政局的军舰[解析]由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。[答案]

C[题组冲关]1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是(

)A．公路运输 B．铁路运输C．轮船运输 D．航空运输解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。答案：C2.右图是1909年《民呼日报》上登载的一幅漫画，其要表达的主题是(

)A．帝国主义掠夺中国铁路权益B．西方国家学习中国文化C．西方列强掀起瓜分中国狂潮D．西方八国组成联军侵略中国解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状，20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时间上不一致。答案：A[典题例析][例2]

(2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海出口价格同步变动的现象。与这一现象直接相关的近代事业是(

)A．电报业 B．大众报业C．铁路交通业 D．轮船航运业[解析]材料主要反映了信息交流的快捷，故选A。[答案]

A[题组冲关]3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信息，可采用的最快捷的方式是 (

)A．乘坐飞机赴各地了解B．通过无线电报输送讯息C．通过互联网D．乘坐火车赴各地了解解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现，互联网出现在20世纪90年代。答案：B4．下列不属于通讯工具变迁和电讯事业发展影响的是(

)A．信息传递快捷简便B．改变着人们的思想观念C．阻碍了人们的感情交流D．影响着人们的社会生活解析：新式通讯工具方便快捷，便于人们感情的沟通和交流。答案：C关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应