渗流力学第三章1

第三章

单相液体稳定渗流理论油气层渗流力学

§3.1单相液体稳定渗流微分方程的解及应用§3.2井的不完善性对渗流的影响§3.3油井的稳定试井§3.4井间干扰现象和势的叠加§3.5势叠加原理的典型应用§3.6考虑边界效应的镜像反映法§3.7等值渗流阻力法§3.8复变函数理论在平面渗流问题中的应用§3.9平面渗流场的保角变换求解方法主要内容

◆单相流动：只有一种流体的流动叫单相流动。基本概念多相流动：有两种或两种以上流体同时流动，叫两相或多相流动。

◆稳定渗流：渗流的运动要素P、v等只是空间坐标的函数，与时间t无关。不稳定渗流：渗流的运动要素不仅是空间坐标的函数，也是时间的函数。即：

刚性水压驱动；忽略油水性质的差别。§3.1单相液体稳定渗流微分方程的解及其应用渗流方式单向流平面径向流球面径向流▲典型解：指三种简化的典型渗流方式下的解。§3.1单相液体稳定渗流微分方程典型解一、单向渗流（平面单向流）1.数学模型供给边界排液道单向渗流模型（供给边界）（排液道）2.求解数学模型渗流微分方程积分再分离变量积分代入边界条件或：单向渗流压力分布公式积分常数为：2.求解数学模型渗流速度：流量：压力梯度：3.结果分析●压力沿

方向线性分布，压力梯度为常数，说明单位长度上的能量损耗为定值；●单向稳定渗流时，流速和流量与位置坐标无关，为常数；●流过渗流段的渗流阻力为：。单向渗流压力分布曲线4.单向渗流的渗流场图（水动力场图）◆渗流场图：由一组等压线和一组流线按一定规则构成的图形。◆等压线：渗流场中压力相同点的连线。◆等压面：渗流场中压力相同的空间点组成的面。⊙规则：各相邻两条等压线间的压差值相等；各相邻两条流线间通过的流量相等。等压线流线单向渗流渗流场图★等间距的水平线和垂线构成的均匀网格任意常数

渗流场图描述渗流规律：直观、生动、具体。●渗流场图中，流线给出了流体质点的运动轨迹，描述了流体流向和流速分布规律；●等压线形象地描绘了能量损耗规律和压力分布规律；●同一渗流场中，流线密的地方流速大，等压线密的地方压力变化急剧（压力梯度大）。§3.1单相液体稳定渗流微分方程典型解二、平面径向渗流1.数学模型（供给边界）（井底处）平面径向渗流模型2.求解数学模型＊降阶法求解＊直接积分法积分再积分代入边界条件得：①③②②-③②-①或①-③并代入边界条件平面径向流压力分布公式令渗流速度：压力梯度：产量公式：平面径向流产量公式（裘比公式）又由产量公式变形：代入压力分布公式得：或3.结果分析●压力分布公式表明：压力与坐标r呈对数关系，从整个地层看，地层各点压力分布是此对数曲线绕井轴旋转构成的曲面，此曲面形似漏斗，习惯称为“压降漏斗”。平面径向流压力分布曲线●表明在井底附近，渗流截面积减小，渗流速度大，压力梯度大，能量损耗也越大；●平面径向流的渗流场图，可以直观地反映出平面径向流的渗流规律：越靠近井壁，等压线和流线越密集，渗流速度和压力梯度也越大。等压线流线平面径向流渗流场图一组与井轴同心的同心圆。以井为中心的径向线。等压线：流线：例3-1圆形均质等厚地层中为单相液体稳定渗流，中心一口井井半径米，供给半径米，试计算从供给边缘到距井1000、100、10、1米处的能量（压力）损耗百分数。解：由得：则计算结果如表所示：0.111010010001000010.80.60.40.20从1米至0.1米处的压力损耗与从一万米至一千米处的压力损耗相等，同为20﹪，说明能量损耗主要集中在井底附近。●产量公式可写为：其中为平面径向流渗流阻力。①要增加产量，可采用增大生产压差或减小渗流阻力的方法即：★提高地层压力（通常难于做到）或降低井底压力，放大压差；★改善地层渗透率可提高产量，如油井压裂、酸化等；★降低原油粘度可提高产量，如热力采油等；★供给半径和油井半径均在对数内，其变化对产量影响较小。★可以实测；★用目前地层压力代替；★一般根据实际井网形状确定，如图所示则：在井网中确定油井泄油面积方法示意图——泄油面积②实际应用时，产量公式中各物理量可如下确定：有时可取井距之半→泄油面积：→将换算成等值的圆面积：→由此得供给半径：4.平均地层压力

◆平均地层压力：假想边界封闭，油井关井，整个地层中的压力达到平衡后，这时地层中任一点的压力称为平均地层压力。平均地层压力反映了整个地层的能量大小，是进行油田动态分析的一个重要参数。面积加权平均示意图其中：对单向流：由于：所以：上式简化整理得：5.液体质点移动规律在现场实际中，有时需要了解液体质点从甲地运移到乙地需要的时间。对单向流：由渗流速度：分离变量积分：§3.1单相液体稳定渗流微分方程典型解三、球面径向渗流

▲数学模型球面径向渗流模型▲压力分布：▲产量公式：▲研究空间一点：例3-2在一水平均质等厚圆形地层中心有一口完善井，地层边缘有充足的液源供给，地层由单相不可压缩液体饱和且按达西定律渗流。已知：

试求：（1）井产量；（2）离井轴线0.1、100、10000米处的渗流速度和压力梯度值。解：（1）由产量公式得：（2）渗流速度和压力梯度计算结果如下表：渗流速度压力梯度0.10.30.87100100000.000030.00000030.000870.0000087四、渗透率突变地层中的单向流和平面径向流K1K2PeL1L2Pw求产量公式和压力分布曲线的表达式。x1、突变地层中的单向流在刚性水压驱动下单相均质液体向井作平面径向流，地层模型如图所示，渗透率分区发生突变，求产量公式和压力分布曲线的表达式。渗透率突变的圆形地层2、渗透率突变地层中的平面径向流

方法Ⅱ：由达西定律微分形式积分求。渗透率突变的圆形地层区间内压力分布规律为：区间内压力分布规律为：分离变量积分得：积分：积分：产量为：积分：

方法Ⅲ：由等值渗流阻力法求。渗透率突变的圆形地层区间内压力分布规律为：区间内压力分布规律为：产量为：整理得：T

1.刚性水压驱动的均质水平圆形地层中心一口生产井，油井以定产量q生产，已知井半径rw，供给边界半径re，井底压力Pwf，边界压力Pe，地层厚度h，渗透率k，原油粘度，若在r1（地层中某点）到re之间服从线性渗流规律，r1到rw之间服从非线性渗流规律，其中A、B为常数，试推出地层中压力分布的表达式。T

2.如图所示，地层渗透率与井距r成线性规律变化。在井底rw处，在供给边界re处，且井底压力Pwf

，边界压力Pe

，试推出地层中流体满足达西线性渗流定律作平面径向流时的产量表达式。§3.2井的不完善性对渗流的影响一、基本概念◆水动力学完善井：井钻穿全部油层厚度，而且井壁是裸露的，即整个井壁都有流体通过，流线在井壁附近仍符合平面径向流，这种井就称为水动力学完善井。◆水动力学不完善井：凡是井底结构和完善井的井底结构不同，或井底附近油层性质发生变化的井，称为水动力学不完善井。水动力学完善井§3.2井的不完善性对渗流的影响二、井的不完善类型打开程度不完善▲四种类型：打开性质不完善小孔直径D单位油层厚度孔数n则：§3.2井的不完善性对渗流的影响双重不完善特殊不完善井底附近油层性质发生变化，如：泥浆污染、压裂、酸化等。§3.2井的不完善性对渗流的影响三、井的不完善性对渗流的影响不完善井井底附近流线分布示意图§3.2井的不完善性对渗流的影响流线弯曲并集中；渗流截面积减小。井底附近不再是平面径向流，而是一种空间流动；井底附近区域渗流阻力变化。油井生产能力变化

◆表皮效应：油井的不完善性可以减小或增大油井生产能力的效应，称为“表皮效应”。§3.2井的不完善性对渗流的影响四、油井不完善程度的表示方法▲两种表示方法1.表皮因子

附加压力降示意图完善井井底压力实际不完善井井底压力附加压力降实际不完善井生产压差相对应完善井生产压差§3.2井的不完善性对渗流的影响◆表皮因子：用无量纲的附加压力降来表征一口井表皮效应的性质和严重程度的物理量，称为表皮因子。利用表皮因子，不完善井的产量公式可写为：整理得：§3.2井的不完善性对渗流的影响2.折算半径

折算半径示意图附加压力降

◆折算半径：把实际不完善井用一产量与之相等，但半径改变的假想完善井来代替，这一假想完善井的半径称为实际不完善井的折算半径。实际不完善井井底压力利用折算半径，不完善井的产量公式可写为：折算半径与表皮因子的关系:⊙矿场实际中常利用不稳定试井方法确定折算半径与表皮因子。§3.3油井的稳定试井一、试井的概念◆试井：是研究井及地层特性的一种矿场试验。它包括试井测试和试井解释两部分。◆试井测试：就是通过一定的测试工艺和测试手段对油井、气井或水井进行测试。测试内容包括产量、压力、温度和取样等等。§3.3油井的稳定试井◆试井解释：就是以渗流力学理论为基础，通过对油、气、水井测试信息的研究，确定反映测试井和地层特性的各种物理参数、生产能力，以及油、气、水层之间及井与井之间连通关系的方法。试井稳定试井不稳定试井§3.3油井的稳定试井◆稳定试井：就是通过人为地改变井的工作制度，在稳定情况下测出相应稳定产量和压力值，然后利用稳定渗流理论对其进行解释（绘出指示曲线），从而了解油井的生产能力和求地层参数的矿场试验。又称“系统试井”。§3.3油井的稳定试井二、指示曲线

◆指示曲线：油井的产量与相应的生产压差之间的关系曲线就称为指示曲线。

一般来说，油井的指示曲线有如下三种情况:ⅠⅡⅢ采油指数正常情况下的指示曲线方程为：渗流指数第一种情况：指示曲线是直线（曲线Ⅰ），表明是单相不可压缩液体按达西定律稳定渗流。

第二种情况：指示曲线是曲线Ⅱ，则表明渗流速度较小时，流动服从达西定律，指示曲线呈直线，随着渗流速度增大，达西定律被破坏，指示曲线弯曲。

第三种情况：指示曲线是曲线Ⅲ，则表明当油井生产还未达到稳定之前，就测取值。这类指示曲线原则上是无用的。§3.3油井的稳定试井ⅠⅡⅢ§3.3油井的稳定试井三、指示曲线的应用1.选择合理的工作制度新井投入生产选择合理工作制度的原则是：地层压力利用合理的情况下，尽可能增加油井产量。2.了解产能(确定采油指数)物理意义：井底压力每下降（或增加）一个压力单位时，所能采出的油量（或注入的水量）。反映了油井的生产能力（或水井的注入能力）。4、估算地层参数对直线型指示曲线则：所以由采油指数可求如下地层参数：流动系数地层系数渗透率流度；；3、判断增产措施的效果

例3-4：某井实测得到的系统试井数据如表：油嘴(mm)03571015流压(MPa)16.9316.6215.9015.5115.0914.62产量(m3/d)02472100140176

解：作关系曲线，得一直线：从指示曲线上延伸直线到q=0直线交与16.94MPa的流压，与实测地层静压16.93MPa甚为接近，则认为该地层压力为16.94MPa。

直线的斜率即为采油指数Jo：

在直线上取两点：=24m3/d，=16.62MPa=100m3/d,=15.51MPa

则该井的采油指数为：

=(100-24)/(16.62-15.51)=68.468m3/(d.Mpa)还可以求得：地层系数：

有效渗透率：流动系数：

直线供给边界附近一口井直角断层中间一口井圆形供给边界中间两口井多排井生产§3.4井间干扰现象和势的叠加一、井间干扰现象◆“井间干扰”现象：在同一油层内，若有两口以上的油井同时生产，当其中一口井的工作制度发生变化时，必然要引起另一口井的产量或井底压力发生变化，这种现象就称为“井间干扰”现象。

◆激动井：改变工作制度的井。

◆反映井：受到影响的井。

§3.4井间干扰现象和势的叠加◆“井间干扰”的实质：整个地层中压力重新分布。ⅠⅡⅢ§3.4井间干扰现象和势的叠加◆“井间干扰”的实质：整个地层中压力重新分布。压力重新分布满足什么原则呢？对任一口井而言，要获取一定的产量就要消耗一定的地层能量，在地层各点形成一定的压力降，这种能量消耗方式并不以其它井是否存在而改变。两口生产井干扰的压力分布曲线ⅠⅡⅢ一口生产井和一口注水井干扰的压力分布曲线生产井注水井ⅠⅡⅢ§3.4井间干扰现象和势的叠加◆压降叠加原理：多井同时工作时，在地层中任一点产生的压力降等于各井单独工作时在该点引起压力降的代数和。即：123n在解决稳定渗流问题时，往往用势的叠加。§3.4井间干扰现象和势的叠加二、势的叠加设在平面上定义了一个向量场，若存在一个标量函数，满足（即：，），则称是向量场的势函数，简称向量场的势，该向量场称为有势场。1.势的基本概念●势函数的概念§3.4井间干扰现象和势的叠加在平面渗流问题中渗流速度构成了一个向量场。由达西定律：●●平面渗流场的势函数所以，均质地层的渗流场是有势场，其势的定义为：⊙平面渗流场中势函数的特点：

﹡势是一个标量，某点的势等于该点的压力乘该点的值。势的大小标志着压力的大小；

﹡势和压力一样都是位置坐标的函数，所以，称其为势函数。渗流平面上：渗流空间中：﹡引入势函数简化了公式，且更方便进行数理分析；

﹡从能量分布的角度看，在渗流场中等势线与等压线具有类似的物理意义，等势线与等压线方程完全相同（对不可压缩液体均质地层）。渗流速度：流量：势函数满足拉普拉斯方程：§3.4井间干扰现象和势的叠加◆点汇：渗流平面上（或渗流空间中）的点，液体质点沿径向向此点汇集，并在此点被吸收。2.平面点汇或点源的势(无限大或圆形地层中心一口井)点汇点源◆点源：渗流平面上（或渗流空间中）的点，液体质点沿径向由此点向四周发散（流出）。§3.4井间干扰现象和势的叠加假设：渗流平面上有一点汇A，液体质点沿径向流向A点，点汇产量q=const，则平面上任一点M处：上式分离变量并积分：对点源：平面点汇(点源)生产势的表达式C为积分常数，由边界条件确定。§3.4井间干扰现象和势的叠加空间一点：半空间一点：点源点汇§3.4井间干扰现象和势的叠加3、势理论在渗流力学中的应用用势的理论求平面径向流的产量公式：平面径向流任一点的势：供给边界Re处的势为：井壁边界rw处的势为：§3.4井间干扰现象和势的叠加3、势理论在渗流力学中的应用用势的理论求平面径向流的产量公式：两式相减得：§3.4井间干扰现象和势的叠加◆势的叠加原理：n口井同时工作时，在地层中任一点产生的势差等于各井单独工作时在该点引起势差的代数和。即：4、势的叠加原理1234n则：代入C值可由边界条件确定。§3.4井间干扰现象和势的叠加势的叠加原理的应用（1）已知各井壁的势（即井底压力），求井的产量；（2）已知各井的产量，求井壁处的势。求解方法：将任一点分别取在各口井的井壁上，写出n个方程：势的叠加原理的应用…….Re的选取:只要供给边界半径大于井群分布区域直径的2~2.5倍时，取井群所在区域的中心至供给边缘的距离Re作为各井到供给边缘的距离Rei，可满足精度要求。§3.4井间干扰现象和势的叠加三、渗流速度的合成渗流场中存在多源多汇时，地层中任一点M的渗流速度有两种确定的方法：

●矢量合成法求渗流速度渗流场中任一点M的渗流速度等于各汇（或源）单独投产时在该点产生速度的矢量和。即：各分速度的大小：各分速度的方向：每一分速度在M点和井点的连线上。点汇：指向井点；点源：背离井点。—生产井—注水井平行四边形法则矢量法求合速度示意图§3.4井间干扰现象和势的叠加●●由等势线确定渗流速度渗流场中任一点的渗流速度大小：方向：在过M点等压线的法线上，指向压力减小的方向。其中为两相邻等压线间的距离。由等压线确定合速度

例3-5如图所示，液体从re到某一半径r1作平面径向流，从r1到rw作球面径向流，已知井底压力Pwf，边界压力Pe，求产量公式。解：为平面径向流：球面径向渗流模型供给边界re处：某一半径r1处：两式相减得：……①为球面径向流：生产井底rw处：某一半径r1处：两式相减得：……②由①、②式相等可得产量公式为：可取r1=1.5h123例3-6如图所示，比较大的地层中有三口井生产，三口井分布区域的中心到供给边界的距离为re，井与井之间的距离、各井的产量及地层和流体参数均已知，求各井井底压力。解：由势的叠加原理，地层中任一点M的势为：M点分别取在三口井的井底则（油井半径都为rw）：1井井底2井井底3井井底求解方程组，即可得到各井井底的势或井底压力。供给边界§3.5势叠加原理的典型应用油田实际中，一口井的邻井可能是生产井，也可能是注水井123需要探讨地层中存在一源一汇或两汇时的渗流规律。可得到一些有意义的结论，用于解释油田实际中出现的一些现象，并引出了解决边界问题的镜像反映理论。§3.5势叠加原理的典型应用一、无限大地层中等产量一源一汇1.势的分布、产量公式和流速的分布●势的分布等产量一源一汇由势的叠加原理，地层中任一点M的势为：整理得：等产量一源一汇势的分布

●产量公式A井井壁处，代入势的分布公式得：B井井壁处，则：②①②式减①式整理得：或：等产量一源一汇产量公式●流速分布两分速度为：

等产量一源一汇流速分布公式§3.5势叠加原理的典型应用2.等产量一源一汇渗流场分析●等势线由势的分布公式：得等势线方程应为：任意常数代入上式整理(x,y)等产量一源一汇等势线分布等势线为：﹡直角坐标系下是圆心在轴上的一簇圆；﹡圆心位置：﹡圆半径为：﹡井位于等势圆的偏心位置。直角坐标表示的等势线方程等产量一源一汇等势线分布

等势线分布的特点：﹡所有等势线都在汇和源之间通过，并且以y轴为对称轴两边对称；﹡当时，等势圆半径：说明y轴是一条等势线。等产量一源一汇渗流场图流线为：﹡直角坐标系下