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文档简介
4角平分线第1课时角平分线的性质与判定新课导入什么叫角平分线?如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫角的平分线.你还记得角平分线上的点有什么性质吗?
新课探究
定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.已知:如图,OC
是∠AOB
的平分线,点P
在OC
上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证:PD=PE.OABC12PDE证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.∵
∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴
PD=PE(全等三角形的对应边相等).OABC12PDE练习如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D.下列结论中错误的是()
A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=POD想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果有一个点到角两边的距离相等,那么这个点必在这个角的平分线上.这个命题是假命题.角平分线是角内部的一条射线,而角的外部也存在到角两边距离相等的点.
定理
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.已知:如图,点P
为∠AOB
内一点,且PD⊥OA,PE⊥OB,D、E
为垂足且PD=PE.
求证:OP平分∠AOB.OABC12PDE证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE,OP=OP,∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).∴OP平分∠AOB.OABC12PDE例1在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.ABCDEFABCDEF
解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,∴AD平分∠ABC(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).又∵∠BAC=60°,∴∠BAD=30°.∴在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10,∴
DE=AD=×10=5(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).1212练习判断下列推理是否正确ABCDEFP(1)如图,∵AD平分∠BAC,PE⊥AB,PF⊥AC,∴PE=PF(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).√ABCDEFP(2)如图,∵PE=PF,∴AD平分∠BAC
(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).×ABCDEFP(3)如图,∵点P在∠BAC
的平分线上,
∴PE=PF(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).×(4)如图,∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴AD平分∠BAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).ABCDEFP×ABCDEFP(5)如图,∵PE⊥AB,PF⊥AC,PE=PF,∴点P在∠BAC
的平分线上(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).√随堂演练1.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,则下列四个结论:①AD
上任意一点到点C、点B的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=∠CDF.其中,正确的个数是()A.1个 B.2个C.3个D.4个D2.如图,△ABC
中,AD
是∠BAC
的平分线,
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.证明:∵AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.又∵BD=CD,∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).∴EB=FC.求证:P在∠A的平分线上.3.已知:如图,PB、PC分别是△ABC的外角平分线,相交于点P.ABCPHEGABCP证明:作PE⊥AB,交AB延长线于E.PH⊥BC于H,PG⊥AC,交AC的延长线于点G,
∵BP是角平分线,
∴PE=PH.
∵PC是角平分线,
∴PH=PG.
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