八级数下册第一章三角形的证明4角平分线第课时角平分线的性质与判定课件新版北师大版

4角平分线第1课时角平分线的性质与判定新课导入什么叫角平分线？如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.你还记得角平分线上的点有什么性质吗？

新课探究

定理

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.已知：如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

求证：PD=PE.OABC12PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∵

∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴

PD=PE（全等三角形的对应边相等）.OABC12PDE练习如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D.下列结论中错误的是（）

A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=POD想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．

定理

在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.已知：如图，点P

为∠AOB

内一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E

为垂足且PD=PE.

求证：OP平分∠AOB.OABC12PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）.∴OP平分∠AOB.OABC12PDE例1在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.ABCDEFABCDEF

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.∴在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴

DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.1212练习判断下列推理是否正确ABCDEFP（1）如图，∵AD平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.√ABCDEFP（2）如图，∵PE=PF，∴AD平分∠BAC

（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.×ABCDEFP（3）如图，∵点P在∠BAC

的平分线上，

∴PE=PF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.×（4）如图，∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.ABCDEFP×ABCDEFP（5）如图，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，∴点P在∠BAC

的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）.√随堂演练1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：①AD

上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF.其中，正确的个数是（）A.1个 B.2个C.3个D.4个D2.如图，△ABC

中，AD

是∠BAC

的平分线，

BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC.证明：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.又∵BD=CD，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.求证：P在∠A的平分线上.3.已知：如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.ABCPHEGABCP证明：作PE⊥AB，交AB延长线于E.PH⊥BC于H，PG⊥AC，交AC的延长线于点G，

∵BP是角平分线，

∴PE=PH.

∵PC是角平分线，

∴PH=PG.