2021年人教A版选修4-5数学第4章-用数学归纳法证明不等式单元测试卷含答案

2021年人教A版选修4-5数学第4章用数学归纳法证明不等式

单元测试卷含答案

学校：班级：姓名：考号：

一、选择题（本题共计8小题，每题5分，共计40分，）

1.用数学归纳法证明不等W+++++…+《＞景心2）的过程中，由n=k递

推到几=k+1时，不等式左边（）

A•增加了一项总

B.增加了一项舟+岛

c•增加了盛+点，又减少了高

D•增加了康，又减少了高

2.用数学归纳法证明不等式"1+"抖…l+'neN*）"的过程中，由n=k

到7l=k+l时，不等式的左边（）

A.增加了1项B.增加了2项C.增加了2k项D.增加了小+1项

3.用数学归纳法证明：1+a+a?+…+心+1=与二（。十1）,在验证n=1时，左端

1-a、/

计算所得的式子是（）

23

A.lB.14-aC.1+Q+Q2D.l+a+a4-a

4.已知数列｛an｝满足an=1+[+：+…+*,则—以共有（）项.

A.lB.fcC.2kD.2fc+1

5.用数学归纳法证明12+22+...+(n-I)2+n2+(n-1)2+...+22+l2=吟椀时,

从n=/^iJn=k+N上等式左边应添加的式子是()

A.(fc-I)2+2k2B.(/c+I)2+fc2

C.(k+1)2D.i(/c+l)[2(/c+l)2+l]

6.在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()

A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立

7.用数学归纳法证明1+2+3•!--卜砂="7n€N*时，则当n=k+l时，应当

在n=k时对应的等式的左边加上()

A.(fc3+1)4-(k3+2)+…+(k+I)3B.k3+1

D(〃+1尸+化+1)3

C.(k+I)3

8.如果命题P(n)对n=k(kGN*)成立,则它对n=k+1也成立，现已知P(n)对n=4

不成立，则下列结论正确的是()

A.P(n)对n＜4且neN*不成立B.P(n)对n＞4且九GN*成立

C.P(n)对n＜4且n6N*成立D.P(n)对nGN*成立

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分，)

9.用数学归纳法证明恒等式…+塌=14+»"…+在一枭则从

n=k到ri=k+1时，左边要增加的表达式为

10.利用数学归纳法证明不等式"1+；+：+…+J二＞?(nN2,neN*)"的过程中,

232—12

由，=%"变到，=k+1”时，左边增加了项.

11.试比较m+1与(n+l)n(n€N*)的大小.

当n=1时,有71n+1_______(n+l)n(填〉、=或＜);

当71=2时，有胪+1____—(n+l)n(填＞、=或＜);

当n=3时，有71n+1____—(n+l)n(填〉、=或＜):

当n=4时,有。+1____—(n+l)n(填＞、=或＜);

猜想一个一般性的结论，并加以证明.

12.用数学归纳法证明(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n)=2”•1•3•5...(2n-l)(nGN*)

时，从n=/c到n=k+l时左边需增乘的代数式是.

三、解答题(本题共计7小题，每题12分，共计84分，)

13.用数学归纳法证明：F+23+33+…+/=也誓=(1+2+3+…+n)2(凡是

试卷第2页，总18页

正整数).

14.已知f(n)=1+*+*+2+…+专,9(n)=|一奈”6N*.

(1)当n=l,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;

(2)猜想/(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.

+

15.在数列｛断｝中，已知％=2,an+1=(neN).

(1)求。2，。3，。4,并由此猜想数列｛an｝的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

16.已知等差数列｛册｝满足公差d>0,且%&4=27,54=24,数列｛%｝的前n项和立满

足S九=2bn—1.

(1)求数列｛的｝的通项公式;

(2)证明数列｛%｝为等比数列；

(3)若VnEN*,西瓦+。2①+・・,+品%N(2几一l)t+1恒成立，求实数t的最大值.

17.已知数列｛an｝满足的=2,anan+14-1=2an.

(1)求。2，。3，。4,试猜想数列｛%J的通项公式，并用数学归纳法证明；

(2)记数列｛lnan｝的前几项和为Sn,证明：Sn>Inn.

18.设数列｛an｝满足%=1,。2=3，当nN2时，an+1=皿上+(n+2).

an+an-l

(1)计算的44,猜想｛册｝的通项公式，并加以证明;

(2)求证:---------------F--------------h•••H---------------<-

(ai+1)232+1)2(即+1)24,

19.设函数/(%)=Inx+l,a6R.

(1)若%>0时，/(X)>0,求实数Q的取值范围;

(2)求证：In2+In3H---1-Inn>1+1+1H----卜：-n(n>2).

试卷第4页，总18页

参考答案与试题解析

2021年人教A版选修4-5数学第4章用数学归纳法证明不等式

单元测试卷含答案

一、选择题（本题共计8小题，每题5分，共计40分）

1.

【答案】

C

【考点】

数学归纳法

【解析】

当n=k时，写出左端，并当n=k+l时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和

增加的第一项的关系.

【解答】

解：当九=k时，左端47+];+…

fc+lk+22k

那么当7l=k+l时左端=++；+———I--y—,

k+2fc+32k2k+l2k+2

故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了六和六两项，同时减少了六这

2/c+l2k+2k+1

一项，

故选：C.

2.

【答案】

C

【考点】

数学归纳法

【解析】

分别把n=k和n=k+1代入不等式计算不等式左边的项数，即可得出答案.

【解答】

解：当n=k时，不等式左边为1+扛扛…+去，共有2叮页，

当几=卜+1时，不等式左边为1+渭+…+/+含+/+•••+磊共有/+1项,

不等式左边增加的项数为：2k+1-2k=2k.

故选C.

3.

【答案】

C

【考点】

数学归纳法

【解析】

在验证n=l时，左端计算所得的项.把n=1代入等式左边即可得到答案.

【解答】

1a,*'*•

解：用数学归纳法证明：l+a+a2+…+an+i一(a*l)，

在验证n=l时，把当n=1代入，左端=l+a+a2.

故选：C.

4.

【答案】

D

【考点】

数学归纳法

【解析】

写出ak+i与%即可推出结果.

【解答】

解：由于网=1+：+：+…+*,纵+i=1+[+：+…+表++

1II1

k2+2k2+2k+l9

从而可得必+1一%=逅匕+&+…+鬲

所以以+1-ci"共有2k+1项.

故选：D.

5.

【答案】

B

【考点】

数学归纳法

【解析】

根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出《=上与n=k+l时的结论，

即可得到答案.

【解答】

解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，

由于n=k,左边=I2+22+...+(/C-I)2+fc2+(fc-1)2+...+22+l2

n=k+1时，左边=l2+22+...+(/c-l)2+k2+(k+l)2+k2+(k-l)2+...+22+

l2

比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k+I)2+k2,

故选B.

6.

【答案】

C

【考点】

数学归纳法

【解析】

数学归纳法第一步应验证n的最小值时，命题是否成立.

【解答】

解：多边形的边数最少是3,即三角形，

第一步验证n等于3.

故选C.

7.

试卷第6页，总18页

【答案】

A

【考点】

数学归纳法

【解析】

分别使得《=k，和71=4+1代入等式，然后把n=k+l时等式的左端减去n=k时等式

的左端，即可得到答案.

【解答】

解：当n=k时，等式左端=1+2+…+卜3,

当n=k+1时，

等式左端=1+2+...+/C3++1)…+(k+I)3,

应该增加的是(炉+1)+也3+2)+...+(k+I)3.

故选4

8.

【答案】

A

【考点】

数学归纳法

【解析】

本题主要考查数学归纳法的递推关系.

【解答】

解：原命题为真，则逆否命题一定为真，原命题的逆否命题为：如果命题2伽)对《=

k+1不成立，则它对n=k也不成立，现已知P(n)对n=4不成立，贝!]P(n)对n=3不

成立，则P(n)对ri=2,1也不成立，即P(n)对n<4且n6N*不成立.

故选4

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分)

9.

【答案】

11

2k+l~2k+2

【考点】

数学归纳法

【解析】

求出当n=k时，左边的代数式，当《=忆+1时，左边的代数式，相减可得结果.

【解答】

解：n=k时，左边=7^—+7^7+…+=，n=k+l时，左边=7^7+…+三+^—

k+lk+22kk+22k2&+1

1

2k+2'

从n=庭旧=卜+1时,左边要增加的表达式为/+康一击1]

2k+l2k+2'

]

故答案为：」.一2k+2

10.

【答案】

2k

【考点】

数学归纳法

【解析】

，最后一项为念pn=k+l时，最后一项为(+；_］，由此可得由n=k变到n=k+1时,

左边增加的项数.

【解答】

解：由题意，n=/c时，，最后一项为吴pn=k+l时，最后一项为品二>

由n=k变到n=k+l时，左边增加了2m—(2&+1)+1=2七

故答案为:2k.

11.

【答案】

<,<,>,>

【考点】

用数学归纳法证明不等式

【解析】

本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出n"+i与(n+l)"(n6N*)的

前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利

用数学归纳法进行证明.

【解答】

解：当九=1时，nn+1=1,(n+l)n=2,此时、nn+1<(n4-l)n,

当九=2时，nn+1=8,(n+l)n=9,此时，nn+1<(n4-l)n,

当九=3时，nn+1=81,(n+l)n=64,此时，nn+1>(n4-l)n,

当n=4时，71n+1=1024,(n+l)n=625,此时，nn+1>(n4-l)n,

根据上述结论，我们猜想：当几之3时，nn+1>(n+l)n(nGN*)恒成立.

①当ri=3时，nn+1=34=81>(n4-l)n=43=64

即71n+i>(n+l)n成立.

②假设当n=k时，那+i>(k+1产成立，即：合于>1

则当"卜+1时，嘲=6+1).(震产>(k+1).(备产=忘>1

即(k+l)k+2>(k+2)”1成立，即当n=k+1时也成立，

当n>3时，nn+1>(n+l)n(nGN*)恒成立.

12.

【答案】

4k+2

【考点】

数学归纳法

【解析】

从TI=/C到n=k+1时左边需增乘的代数式是竺当牛3,化简即可得出.

fc+1

【解答】

用数学归纳法证明(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n)=2n•1•3•5...(2n-l)(neN*)时，

从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是空匕平芋3=2(2k+1).

试卷第8页，总18页

三、解答题（本题共计7小题，每题12分，共计84分）

13.

【答案】

证明：（1）当71=1时，左边=1,中间="二=1,右边=12=1,

4

等式成立，

（2）假设当n=k时，等式成立，即13+23+33+3+4=史0=（1+2+

4

3+...+fc）2,

那么，当n=k+l时，有4+当+33+…+炉+（k+1）3=k«k：i）2+卜+1）3

=(k+l)2.(9+k+l)

k2+4fc+4

=(fc+l)2-

4

（k+l）2（k+2）2

二4

=（k+i）T（：+i）+i『=（i+2+3+…+/+i）2,

这就是说，当《=1+1时，等式也成立，

根据（1）和（2）,可知对《€7*13+23+33+—+"3=咳竽2!=（1+2+

3+…+71）2等式成立.

【考点】

数学归纳法

【解析】

用数学归纳法证明：（1）当n=l时，验证等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立,

用上归纳假设后，去证明当"=k+1时，等式也成立即可.

【解答】

证明：（1）当n=l时，左边=1,中间=之^-=1,右边=12=1,

4

等式成立，

（2）假设当n=k时，等式成立，即13+23+33+~+43=立业=（1+2+

4

3+...+/c）2,

那么，当7l=/f+l时，有仔+当+33+..・+-+（七+1）3=U（：1）2+（A+1产

=(k+1)2•号+/c+1)

k2+4/c+4

=(/c+l)2-

4

（k+Ip*+2）2

=4

=（k+】）2号+】）+】K=q+2+3+—+k+i）2,

这就是说，当《=卜+1时，等式也成立，

根据（1）和（2）,可知对n€N*F+23+33+…+川=I），=（1+2+

3+…+n)2等式成立.

14.

【答案】

(1)解：当n=l时，

f(l)=l,g(l)=l,

所以/⑴=g(D

当71=2时，

/(2)=|.g(2)=费，

所以/(2)<g(2).

当n=3时，

/(3)=—251,o(3)312

'''216'216

所以f(3)<g(3).

(2)证明:由(1)猜想f(n)4g(n),

下面用数学归纳法给出证明：

①当n=l,2,3时，不等式显然成立；

②假设当n=k(k23)时，不等式成立，

即1+2.+三+2-+…+2_<三_2_,

当n=k+l时，

1311

Kk+1)=fw+—,

因为刀片一(击一岛0

k+31

=2(k+1)3-而

=_3J<0,

2(k+l)3H5

所以f(k+1)<|-=g(k+1),

由①，②可知，

对一切neN*,

都有f(n)<g(n).

【考点】

数列递推式

数学归纳法

【解析】

此题暂无解析

【解答】

(1)解：当n=l时，

/(i)=i>g⑴=1，

所以/⑴=9(1).

当n=2时，

/(2)=£g(2)=蓝,

所以/(2)<g(2).

试卷第10页，总18页

当n=3时,

rzox251“、312

/⑶=577，5(3)=—

ziozio

所以/⑶<g(3).

(2)证明:由(1)猜想/(n)<g(n),

下面用数学归纳法给出证明：

①当n=l,2,3时，不等式显然成立；

②假设当n=k(k23)时，不等式成立,

即1+3+：+]+…-

233343k322k2

当n=fc+1时,

/(Z+l)=f(k)+品V|-看+3时

因为----(--------)

2(k+l)212k2(k+i)3/

k+31

=2(k+1尸一而

所以f(k+l)<|一五&=g(k+l),

由①，②可知，

对一切nGN*,

都有/(n)<g(n).

15.

【答案】

(1)解：根据递推公式可求得:

猜想数列｛即｝的通项公式为册=

(2)下面用数学归纳法证明：

证明：①当n=1时，由题意知4=2,

显然满足出=后¥=2；

②假设当n=k时猜想成立，即热=

则当n=k+1时，ak+1=

2(fc+i)-i+3

2(A+1)T

知当ri=k+1时猜想也成立，

综合①②可知，对neN*猜想都成立,

即数列｛an｝的通项公式为即

【考点】

数列递推式

数学归纳法

归纳推理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

(1)解：根据递推公式可求得:

猜想数列｛5｝的通项公式为a”=后孕;

(2)下面用数学归纳法证明：

证明：①当n=l时，由题意知的=2,

显然满足的

②假设当n=k时猜想成立,

知当n=k+1时猜想也成立，

综合①②可知，对neN*猜想都成立,

即数列的通项公式为与=厚营.

16.

【答案】

4(ac+aj)

S4=——丁翌=24

由题意可知，/，二a7+a4=12.

又&逆5=27,d>0]=5,。4=9，d=8,

故数列｛a,J的通项公式为aa=2n+1.

证明：对于数列｛0｝，当n=7时，比=51=6九-1,解得儿=1.

当nN2时，Sn-6=2bn-i—5,Sn=2bn-1,

两式相减，得%=2bn—2Z?n_i,即bn=3bn_],

当n=l时,$6=瓦=2力4-1解得瓦=6H0

b=2n-1

所以｛%｝是以1为首项，8为公比的等比数列n乙.

由(2)可得anbn=(2n+l)X2

令〃=@1瓦+Q2b2+…+册匕九，

uJn=3X4+5x2+4x22+•••+(2n+l)x2n-4

则，

试卷第12页，总18页

73n

2Tn=3X6+5X2+7X2+-+(2n+l)X5

2n-1

-Tn=3+2X(7+2+-+6)-(2n+4)X2n

两式相减，得

2(1-2.

3+3X-(2n+l)X6n=(l-2n)X7n-l

1-4

n

，aT=(2n-6)X2+l

得n,

故题中不等式可化为(5n-1)x2n>(6n-l)t,

,/n&N*,：.2n-2>0：.t<2n,

因为数列｛271｝是递增数列，所以tS2,

综上，实数t的最大值为2.

【考点】

数列与不等式的综合

数列递推式

数列的求和

【解析】

(1)利用已知条件求出数列的思想与公差，然后求解数列口几｝的通项公式.

(2)利用己知条件，结合等比数列的定义，推出｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数

列，求出通项公式.

u—fn]x)nT

(3)化简"nPiT'4n''''乙.利用错位相减法，求解数列的和，然后求

解不等式，推出结果即可.

【解答】

4(ac+a4)

,S4=­L-=24

由题意可知，乙,a7+a4=12.

又的45=27,d>0i=5,a4—9,d=8,

故数列｛即｝的通项公式为%t=2n+1.

证明：对于数列｛b｝,当n=7时，bi=Si=6瓦-1,解得儿=1.

当nN2时，Sn_6=2b,l_1-5,Sn=2bn-1,

两式相减,得匕=2%-2'-1，即既=3加-1，

当n=l时，56=瓦=2人4-1解得必=6#0

b=2^1

所以出工是以1为首项，8为公比的等比数列n乙.

由⑵可得anbn-^2n+l)X2

令/=的瓦+Q2b2+…+册源，

IhJn=3x4+5x2+4x22+…+(2n+l)x2n-4

火!J,

73n

,2Tn=3X6+5X2+7X2+-+(2n+l)X5

2n-1

两个粕油,U-T=3+2X(7+2+-+6)-(2n+4)X2n

两式相减，得n

2(1-2n-1

3+3X-(2n+l)X6n=(l-2n)X7n-l

1-4

n

得n=(2n-6)X2+l,

故题中不等式可化为(5n-1)x2n>(6n-l)t,

---n&N*,：.2n-2>O.,.t<2n,

因为数列｛29是递增数列，所以tS2,

综上，实数t的最大值为2.

17.

【答案】

(1)解：因为斯的1+1+1=2d,所以Cln+i=2——.

nan

当71=1时,，。2=|；当九=2时，a3=

当九=3时，a4=-；猜想an="L

①当？1=1时，。1=手=2,猜想显然成立.

②假设九=々时，猜想成立，即以=等，则当n=/c+l时，ak+1=2—=2—

kk+2(k+l)+l

1--------1,

k+1k+1k+1

即当71=k+1时猜想也成立.

由①②可知，猜想成立，即即=等.

(2)证明：由(1)知(^=等.

因为lnan==ln(n+1)—Inn,

所以S.=In%+lna2+lna3+•••+lna„

=In2—Ini+In3—In2+In4-In34---Fln(n+1)—Inn

=ln(n+1)>Inn.

【考点】

数列递推式

数学归纳法

数列的求和

【解析】

此题暂无解析

【解答】

(1)解：因为aa+i+1=2a,所以a^+i=2——.

nnnan

当71=1时，。2=当当九=2时，a3—

当九=3时,a4=猜想an=等.

试卷第14页，总18页

①当71=1时，%=手=2,猜想显然成立.

②假设九=攵时，猜想成立，即以=等，则当几=k+l时，ak+1=2-^=2-

k_k+2_(k+l)+l

k+1fc+1k+1'

即当九=k+1时猜想也成立.

由①②可知，猜想成立，即％,=等.

(2)证明：由(1)知％=詈.

因为Ina^=In彳-=ln(n+1)—Inn,

所以S九=In%+\na2+lna34------卜lnan

=In2—Ini+In3—In2+In4—In34------Fln(n+1)—Inn

=ln(n4-1)>Inn.

18.

【答案】

(1)解：由a1=1,a2=3,

所以。3=詈宵+(2+2)=5,«4(3+2)=7.

猜想：an=2n-1,

证明：当九=2时，由的=1,g=3,故成立；

假设九=k(k>2)时成立,即以=2k-1,

所以%+1="%ill+(k+2)=2k+1=2(k+1)-1,

ak+ak-i

即当九=k+1时成立，

综上所述，an=2n-1.

(2)证明：由(1)知，

所以高+苍不+.一+晨子

111111

12十22十九2〈‘十22—］十32—］十九2_1

111

14----------1----------F…d-------------------------

1x32x4(n-1)x(n+1)

圭)

<1+i+ixi=?证毕•

【考点】

数列与不等式的综合

数列的求和

数列递推式

数学归纳法

【解析】

【解答】

(1)解：由a[=1>a2=3,

所以。3=黑^+(2+2)=5,。4=篙肃+(3+2)=7.

猜想：an=2n—1,

证明：当九=2时，由%=1,a2=3,故成立；

假设九=k(k>2)时成立,即以=2k—1,

所以以+i=纵％单+(k+2)=2k+1=2(k+1)—1,

ak+ak-l

即当九=k+1时成立，

综上所述，an=2n-1.

4_1

(2)证明：由⑴知,(fln+1)2-n2

“所八以(即-+--1)2+干-(Q-+—l)2十+•••+-(W-+-1)2

111111

I222n222—132—1n2—1

111

=1+-------+--------+,••+------------------------

1x32x4(n-1)x(n+1)

11111111