专题63 带电粒子在（叠加场）复合场中运动问题 （解析版）

专题专题导航目录TOC\o"1-3"\h\u常考点带电粒子在（叠加场）复合场中运动问题 1考点拓展练习 7常考点归纳常考点带电粒子在（叠加场）复合场中运动问题【典例1】如图所示，某空间存在正交的匀强磁场和匀强电场，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，一带电微粒由a点进入电磁场并刚好能沿ab直线向上运动，下列说法正确的是（）A．微粒一定带正电 B．微粒动能一定减小 C．微粒的电势能一定增加 D．微粒的机械能一定增加解：A、根据做直线运动的条件和受力情况（如图所示）可知，微粒一定带负电，且做匀速直线运动，所以选项A错误；BC、由于电场力向左，对微粒做正功，电势能减小，但重力做负功，由于微粒做匀速直线运动，则合力做功为零，因此动能仍不变，选项BC错误；D、由能量守恒可知，电势能减小，机械能一定增加，所以选项D正确。【典例2】如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里．一带正电的粒子（不计重力）从M点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t0时间从N点射出．（1）求电场强度的大小和方向．（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从M点以相同的速度射入，经时间恰从圆形区域的边界射出．求粒子运动加速度的大小．（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从M点射入，且速度为原来的2倍，请结合（2）中的条件，求粒子在磁场中运动的时间．解：（1）由左手定则可知，粒子刚射入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，粒子做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力是一对平衡力，电场力水平向左，粒子带正电，则电场强度的方向水平向右；由平衡条件得：qE＝qv0B，又：解得电场强度大小为：E＝；（2）由左手定则可知，正电荷向上运动的过程中受到的洛伦兹力的方向向左，所以电场力的方向向右，电场的方向向右，撤去磁场后粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向：y＝v0t＝，竖直方向的位移是R，所以粒子从圆形区域的最右边射出，所以水平方向的位移也是R，则水平方向：，解得：（2）若仅撤去电场，带电粒子仍从M点射入，且速度为原来的2倍粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹的半径r：粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：q2v0B＝m，而：qv0B＝qE＝ma＝解得：粒子在磁场中运动的半径与磁场的半径相同，所以粒子在磁场中运动的轨迹是圆周，则运动的时间为周期．粒子在磁场中运动的时间为：答：（1）电场强度的大小是，方向水平向右．（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从M点以相同的速度射入，经时间恰从圆形区域的边界射出．粒子运动加速度的大小是．（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从M点射入，且速度为原来的2倍，请结合（2）中的条件，粒子在磁场中运动的时间【技巧点拨】1．叠加场电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．2．带电粒子在包含匀强磁场的叠加场中无约束情况下运动的几种常见形式受力特点运动性质方法规律其他场力的合力与洛伦兹力等大反向匀速直线运动平衡条件除洛伦兹力外，其他力的合力为零匀速圆周运动牛顿第二定律、圆周运动的规律除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向较复杂的曲线运动动能定理、能量守恒定律3.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，分析时应注意：(1)分析带电粒子所受各力，尤其是洛伦兹力的变化情况，分阶段明确物体的运动情况．(2)根据物体各阶段的运动特点，选择合适的规律求解．①匀速直线运动阶段：应用平衡条件求解．②匀加速直线运动阶段：应用牛顿第二定律结合运动学公式求解．③变加速直线运动阶段：应用动能定理、能量守恒定律求解．【变式演练1】如图，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场和磁场相互垂直．在电磁场区域中，有一个光滑绝缘圆环，还上套有一个带正电的小球．O点为圆环的圆心，a、b、c为圆环上的三个点，a点为最高点，c点为最低点，bd沿水平方向．已知小球所受电场力与重力大小相等．现将小球从环的顶端a点由静止释放，下列判断正确的是（）A．当小球运动到c点时，洛伦兹力最大 B．小球恰好运动一周后回到a点 C．小球从a点运动到b点，重力势能减小，电势能减小 D．小球从b点运动到c点，电势能增大，动能增大解：电场力与重力大小相等，则二者的合力指向左下方45°，由于合力是恒力，故类似于新的重力，所以ad弧的中点相当于平时竖直平面圆环的“最高点”。关于圆心对称的位置（即bc弧的中点）就是“最低点”，速度最大。A、由于bc弧的中点相当于“最低点”，速度最大，当然这个位置洛伦兹力最大，即C点洛伦兹力不是最大，故A错误；B、在重力和电场力的复合场中，结合对称性，小球恰好能够运动到d点，然后返回，故B错误；C、从a到b，重力和电场力都做正功，重力势能和电势能都减少，故C正确；D、小球从b点运动到c点，电场力做负功，电势能增大，但由于bc弧的中点速度最大，所以动能先增后减小，故D错误.【变式演练2】如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为及的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里．一带正电的粒子（不计重力）从O点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t0时间从P点射出．（1）求电场强度的大小和方向；（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从O点以相同的速度射入，经时间恰从半圆形区域的边界射出．求粒子运动加速度的大小；（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从O点射入，改变粒子进入磁场的速度，使得带电粒子在磁场的圆周运动的轨道半径为r＝，求粒子在磁场中运动的时间．（注：（2）、（3）两问结果均用R、t0表示）解：（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，初速度为v，电场强度为E．可判断出粒子受到的洛伦兹力沿x轴负方向，于是可知电场强度沿x轴正方向且有：qE＝qvB又R＝vt0则：E＝（2）仅有电场时，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动在y方向位移为：y＝v×由②④式得：y＝设在水平方向位移为x，因射出位置在半圆形区域边界上，于是有：x＝又有：x＝得：a＝（3）仅有磁场时，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径为r＝，由几何关系sinα＝即sinα＝α＝带电粒子在磁场中运动周期T＝，qE＝ma则带电粒子在磁场中运动时间tR＝所以tR＝答：（1）电场强度的大小为，方向沿x轴正方向．（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从O点以相同的速度射入，经时间恰从半圆形区域的边界射出，粒子运动加速度的大小为．（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从O点射入，改变粒子进入磁场的速度，使得带电粒子在磁场的圆周运动的轨道半径为r＝，则粒子在磁场中运动的时间为考点拓展练习1．如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。在该区域中，有一个竖直放置的光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球。O点为圆环的圆心，a、b、c、d为圆环上的四个点，a点为最高点，c点为最低点，b、O、d三点在同一水平线上。已知小球所受电场力与重力大小相等。现将小球从环的顶端a点由静止释放，下列判断正确的是（）A．小球能越过d点并继续沿环向上运动 B．当小球运动到c点时，所受洛伦兹力最大 C．小球从a点运动到b点的过程中，重力势能减小，电势能增大 D．小球从b点运动到C点的过程中，电势能增大，动能先增大后减小解：电场力与重力大小相等，则二者的合力指向左下方45°，由于合力是恒力，故类似于新的重力，所以ad弧的中点相当于平时竖直平面圆环的“最高点”。关于圆心对称的位置（即bc弧的中点）就是“最低点”，速度最大。A．由于a、d两点关于新的最高点对称，若从a点静止释放，最高运动到d点，故A错误；B．由于bc弧的中点相当于“最低点”，速度最大，当然这个位置洛伦兹力最大。故B错误；C．从a到b，重力和电场力都做正功，重力势能和电势能都减少。故C错误；D．小球从b点运动到c点，电场力做负功，电势能增大，但由于bc弧的中点速度最大，所以动能先增后减。D正确。2．如图，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场和磁场相互垂直．在电磁场区域中，有一个竖直放置的光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球．O点为圆环的圆心，a、b、c、d为圆环上的四个点，a点为最高点，c点为最低点，bOd沿水平方向．已知小球所受电场力与重力大小相等．现将小球从环的顶端a点由静止释放．下列判断正确的是（）A．当小球运动的弧长为圆周长的时，洛伦兹力最大 B．小球一定又能回到a位置 C．小球从a点到b点，重力势能减小，电势能增大 D．小球从b点运动到c点，电势能增大，动能先增大后减小解：电场力与重力大小相等，则二者的合力指向左下方45°，由于合力是恒力，故类似于新的重力，所以ad弧的中点相当于平时竖直平面圆环的“最高点”。关于圆心对称的位置（即bc弧的中点）就是“最低点”，速度最大。A、由于bc弧的中点相当于“最低点”，速度最大，当然这个位置洛伦兹力最大；故A错误；B、由于只有电场力和重力做功，故电荷在a点与d点间做往复运动，故B错误；C、从a到b，重力和电场力都做正功，重力势能和电势能都减少。故C错误；D、小球从b点运动到c点，电场力做负功，电势能增大，但由于bc弧的中点速度最大，所以动能先增后减。D正确.3．如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场和磁场相互垂直．在电磁场区域中，有一个固定在竖直平面内的光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球．O点为圆环的圆心，a、b、c为圆环上的三个点，a点为最高点，c点为最低点，bO沿水平方向．已知小球所受电场力与重力大小相等．现将小球从环的顶端a点由静止释放，下列判断正确的是（）A．当小球运动到b点时，小球受到的洛伦兹力最大 B．当小球运动到c点时，小球受到的支持力一定大于重力 C．小球从a点运动到b点，重力势能减小，电势能增大 D．小球从b点运动到c点，电势能增大，动能先增大后减小解：电场力与重力大小相等，则二者的合力指向左下方45°，由于合力是恒力，故类似于新的重力，所以ad弧的中点相当于平时竖直平面圆环的“最高点”。关于圆心对称的位置（即bc弧的中点）就是“最低点”，速度最大。A、设电场力与重力的合力为F，小球从a点运动到b点，F做正功，小球的动能增大，从b运动到c，动能先增大后减小，bc弧的中点速度最大，动能最大，故A错误。B、当小球运动到c点时，由支持力、洛伦兹力和重力的合力提供向心力，洛伦兹力方向向上，由FN+F洛﹣mg＝m，可知，FN不一定大于mg，故B错误。C、小球从a点运动到b点，重力和电场力均做正功，则重力势能和电势能均减小，故C错误。D、小球从b点运动到c点，电场力做负功，电势能增大，F先做正功后做负功，则动能先增大后减小。故D正确。4．如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场和磁场相互垂直．在电磁场区域中，有一个竖直放置的光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球．O点为圆环的圆心，a、b、c、d、e为圆环上的五个点，a点为最高点，c点为最低点，bOd沿水平方向，e为ad弧的中点．已知小球所受电场力与重力大小相等．现将小球从环的顶端口点由静止释放，下列判断正确的是（）A．小球能运动到c点，且此时所受洛伦兹力最大 B．小球能运动到e点，且此时所受洛伦兹力最小 C．小球从a点到b点，重力势能减小，电势能增大 D．小球从b点运动到c点，电势能增大，动能先增大后减小解：电场力与重力大小相等，则二者的合力指向左下方45°，由于合力是恒力，故类似于新的重力，所以ad弧的中点e点相当于平时竖直平面圆环的“最高点”。关于圆心对称的位置（即bc弧的中点）就是“最低点”，速度最大。A、由于bc弧的中点相当于“最低点”，速度最大，当然这个位置洛伦兹力最大；故A错误；B、由于a、d两点关于新的最高点对称，若从a点静止释放，最高运动到d点，故B错误；C、从a到b，重力和电场力都做正功，重力势能和电势能都减少。故C错误；D、小球从b点运动到c点，电场力做负功，电势能增大，但由于bc弧的中点速度最大，所以动能先增后减。故D正确5．图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力（1）求金属板间的电场强度的大小（2）求进入磁场的带电粒子的速度大小（3）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。（4）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为，求离子乙的质量。解：（1）设金属板间电场强度的大小为E0，根据电场强度和电势差的关系可得：电场强度：E0＝；（2）离子进入正交的电磁场做匀速直线运动，根据平衡条件得：E0q＝B0qv①解得进入磁场的带电离子的速度大小：v＝＝；（3）离子甲垂直边界EF进入磁场，到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，则轨迹圆心在EF上，离子运动中经过EG，说明圆轨迹与EG相切，运动轨迹如图所示；根据图中几何关系可得＝+R，解得：R＝a，在磁场中离子所需向心力由洛伦兹力提供，根据牛顿第二定律得：qvB0＝m解得：m＝；（4）这些离子中的离子乙从EG边上的I点穿出磁场，且GI长为，则EI＝a﹣GI＝，如图所示；设乙离子的轨迹半径为r，在△OIE中，根据余弦定理可得：r2＝（﹣r）2+（）2﹣2×解得：r＝在磁场中乙离子所需向心力由洛伦兹力提供，根据牛顿第二定律得：qvB0＝m′解得：m′＝。答：（1）金属板间的电场强度的大小为；（2）进入磁场的带电粒子的速度大小为；（3）离子甲的质量为；（4）离子乙的质量为。6．如图所示，图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U．两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向与金属板面平行并垂直于纸面朝里；图中右边有一半径为R、圆心为O的圆形区域，区域内也存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。一电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入平行金属板之间，沿同一方向射出平行金属板之间的区域，并沿直径PQ方向射入磁场区域，最后从圆形区域边界上的G点射出，已知弧QG所对应的圆心角为θ．离子重力不计。求：（1）离子速度的大小；（2）离子在圆形磁场区域内做圆周运动的半径；（3）离子的质量。解：（1）由题设知，离子在平行金属板之间做匀速直线运动，将受到的向上的洛伦兹力和向下的电场力，由题意知二力平衡，有：qvB0＝qE0…①式中，v是离子运动速度的大小。E0是平行金属板之间的匀强电场的强度，有：E0＝…②①②两式联立得：v＝…③（2）由题设，离子从磁场边界上的点G穿出，离子运动的圆周的圆心O′必在过P点垂直于PQ的直线上，且在PG的垂直一平分线上（见图）由几何关系有：r＝Rtanα…④式中，α是OO'与直径EF的夹角，由几何关系得：2α+θ＝π…⑤则离子运动半径：…⑥（3）在圆形磁场区域，离子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有：qvB＝m…⑦式中，m和r分别是离子的质量和它做圆周运动的半径。联立⑥⑦两式，解得：答：（1）离子速度的大小为；（2）离子在圆形磁场区域内做圆周运动的半径为；（3）离子的质量为。7．如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B1＝0.40T，方向垂直纸面向里，电场强度E＝2.0×105V/m，PQ为板间中线．紧靠平行板右侧边缘xOy坐标系的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B2＝0.25T，磁场边界AO和y轴的夹角∠AOy＝45°．一束带电量q＝8.0×10﹣19C的正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为（0，0.2m）的Q点垂直y轴射入磁场区，离子通过x轴时的速度方向与x轴正方向夹角在45°～90°之间．则：（1）离子运动的速度为多大？（2）离子的质量应在什么范围内？（3）现只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小B2应满足什么条件？解：（1）设正离子的速度为v，由于沿中线PQ做直线运动，则有：qE＝qvB1代入数据解得：v＝5.0×105m/s（2）设离子的质量为m，如图所示，当通过x轴时的速度方向与x轴正方向夹角为45°时，由几何关系可知运动半径r1＝0.2m当通过x轴时的速度方向与x轴正方向夹角为90°时，由几何关系可知运动半径r2＝0.1m由牛顿第二定律有由于r2≤r≤r1代入解得4.0×10﹣26kg≤m≤8.0×10﹣26kg（3）如图所示，由几何关系可知使离子不能打到x轴上的最大半径设使离子都不能打到x轴上，最小的磁感应强度大小为B0，则代入数据解得：B0＝＝0.60T由于B越大，r越小，所以使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小B2应满足：B2′≥0.60T答：（1）离子运动的速度为5.0×105m/s；（2）离子的质量应在4.0×10﹣26kg≤m≤8.0×10﹣26kg范围内；（3）只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小B2′应满足B2′≥0.60T．8．如图所示的坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向．在x轴上方空间的第一、第二象限内，既无电场也无磁场，第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面（纸面）向里的匀强磁场，在第四象限，存在沿y轴负方向、场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场．一质量为m、电量为q的带电质点，从y轴上y＝h处的P1点以一定的水平初速度沿x轴负方向进入第二象限．然后经过x轴上x＝﹣2h处的P2点进入第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运动，之后经过y轴上y＝﹣2h处的P3点进入第四象限．已知重力加速度为g．求：（1）粒子到达P2点时速度的大小和方向；（2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小；（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向．解：（1）质点从P1到P2，由平抛运动规律得h＝，得t＝则2h＝v0t，得v0＝＝vy＝gt＝故粒子到达P2点时速度的大小为v＝＝2，方向与x轴负方向成45°角．（2）质点从P2到P3，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力Eq＝mg，且有qvB＝m根据几何知识得：（2R）2＝（2h）2+（2h）2，解得E＝，B＝（3）质点进入第四象限，做类斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动．当竖直方向的速度减小到0．此时质点速度最小，且等于v在水平方向的分量则vmin＝vcos45°＝，方向沿x轴正方向．答：（1）粒子到达P2点时速度的大小是2，方向与x轴负方向成45°角．（2）第三象限空间中电场强度是，磁感应强度的大小是；（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小是，方向沿x轴正方向．9．如图甲所示，水平地面上有一辆固定有竖直光滑绝缘管的小车，管的底部有一质量m＝0.2g、电荷量q＝8×10﹣5C的小球，小球的直径比管的内径略小。在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度B1＝15T的匀强磁场，MN面的上方还存在着竖直向上、场强E＝25V/m的匀强电场和垂直纸面向外、磁感应强度B2＝5T的匀强磁场。现让小车始终保持v＝2m/s的速度匀速向右运动，以带电小球刚经过场的边界PQ为计时的起点，测得小球对管侧壁的弹力FN随高度h变化的关系如图乙所示。g取10m/s2，不计空气阻力，求：（1）小球刚进入磁场B1时的加速度大小a；（2）绝缘管的长度L；（3）小球离开管后再次经过水平面MN时距管口的距离△x。解：（1）以小球为研究对象，竖直方向小球受重力和恒定的洛伦兹力f1，故小球在管中竖直方向做匀加速直线运动，加速度设为a，由牛顿第二定律f1﹣mg＝ma而f1＝qvB1根据牛顿第二定律知a＝联立解得：a＝2m/s2；（2）由小球对管侧壁的弹力FN随高度h变化的图象知，在小球运动到管口时，FN＝2.4×10﹣3N，设v1为小球竖直分速度及由v1使小球受到的洛伦兹力f2，则f2＝qv1B1方向平衡知f2＝FN，即FN＝qv1B1解得v1＝2m/s，沿绝缘管方向小球做匀加速直线运动：＝2aL，解得：L＝1m（3）小球离开管口进入复合场，其中qE＝2×10﹣3N，mg＝2×10﹣3N，故电场力与重力平衡，小球在复合场中做匀速圆周运动。合速度v′＝＝2，与MN成45°角。设轨道半径为R，此时洛伦兹力充当向心力：qv′B2＝m，小球离开管口开始计时，到再次经过MN所通过