两阶段单纯形法在马克思两大部类扩大再生产优化问题中的应用

两阶段单纯形法在马克思两大部类扩大再生产优化问题中的应用

关于马克思两大部类扩大再生产优化问题本文的发展思想和马克思的理论和方法对研究经济活动规律具有重要的理论指导作用。马克思两大部类扩大再生产模型的具体结构,形成了对马克思扩大再生产问题进行优化的条件;《资本论》中大量的举例,提供了对马克思扩大再生产问题进行优化的丰富的背景素材(马克思,2004)。研究解决马克思扩大再生产的优化问题,对于推进马克思主义经济学的创造性转化以及对现实经济宏观调控的指导,都具有重要的理论意义。已经有某些学者研究马克思两大部类扩大再生产的优化问题并得出一些结果,譬如陶为群和韦生琼(1987)就该问题建立了一个线性规划模型,并引用和借鉴《资本论》中的一个举例,给出了此模型的最优解。陶为群和陶川(2010)研究马克思的两大部类再生产模型时指出,该模型中以每个部类的资本有机构成、剩余价值率、两部类间的比例参数共同构成完整的结构参数。如果针对完全用这些结构参数而不用具体数值表现的,最一般情形的马克思扩大再生产模型,能够建立一个多参数线性规划模型,并获得其最优解,就相当于获得任何数值型的马克思扩大再生产线性规划模型的全部解。本文针对马克思再生产模型的具体结构,以马克思《资本论》第二卷第二十一章中的举例作为背景素材,建立马克思扩大再生产模型的多参数线性规划,并运用两阶段单纯形法,求得全部最优解。一、两个学科的马克思扩大生产模式的特殊结构和线性规划模型1.马克思的和谐观是其价值构成原理的具体描述,其模型所体现的本质马克思的两大部类扩大再生产模型划分了不变资本和可变资本,它们的价值实现在实物上分别对应于生产资料和消费资料两个部类。模型设定各部类的资本有机构成和剩余价值率不变,也就是设定在全社会扩大再生产过程中,每个部类的边际资本有机构成和边际剩余价值率分别等于资本有机构成和剩余价值率,这样就构建了一个特别的两部类经济模型。陶为群和陶川(2010)指出该模型具有下述的特殊结构:以C和V分别表示不变资本、可变资本,M表示剩余价值,Y表示新创造价值;以h=C/V表示资本有机构成,e表示剩余价值率,Mx表示企业所有者把剩余价值中用于自身消费的部分;分别用下标Ⅰ、Ⅱ表示生产资料部类和消费资料部类。那么,在每个部类内部,不变资本、可变资本、剩余价值、新创造价值之间具有确定的关系,如式(1)。{Cj=hj1+ejYjVj=11+ejYjΜj=ej1+ejYjj=Ⅰ‚Ⅱ(1)由于每个部类内部各部分的相互关系,已经在式(1)中写明的各部类资本有机构成、剩余价值率、剩余价值积累率这些参数固定,因而两个部类之间任一个对应部分之间的比例关系都足以表现整个部类之间的比例关系。为便于和现代宏观经济模型沟通,可以用两个部类新创造价值之间的比例关系YⅡ/YⅠ,从总体上反映两个部类之间的比例关系。于是,马克思的两大部类扩大再生产模型的特殊结构,就被完整地刻画出来。马克思再生产理论包含了价值构成原理和实物构成原理,把总产品的价值划分成不变资本、可变资本、剩余价值三个部分,是价值构成原理的体现;而两部类间的比例关系YⅡ/YⅠ,则是实物构成原理的一种具体体现。2.中国马克思两大部类扩大再生产模型的优化问题对确定了含义的字母前面加符号Δ表示增量。第j部类的剩余价值Mj(j=Ⅰ,Ⅱ)用于本部类的积累和企业所有者自身消费。由于每个部类的边际有机构成与有机构成相同,j部类的积累分解为ΔCj和ΔVj两个部分时,两者间的关系与式(1)表明的Cj和Vj关系相同,即ΔCj=hjΔVj。因而在扩大再生产状况下,对于剩余价值的使用存在关系如式(2):ΔCⅠ和ΔCⅡ同时为0对应的是没有积累即简单再生产状况。第Ⅰ部类的总产品CⅠ+YⅠ的实物是生产资料,扣除补偿本部类和第Ⅱ部类的生产资料消耗CⅠ和CⅡ,剩余的YⅠ-CⅡ都必然用于本部类和第Ⅱ部类新增生产资料ΔCⅠ和ΔCⅡ。因此就存在关系如式(3):所以马克思两部类扩大再生产问题,等价于在约束条件式(2)、式(3)下求解一组ΔCⅠ和ΔCⅡ的匹配。只要两部类间的比例YⅡ/YⅠ取值处于适当区间,也就是符合实物构成原理,此问题存在无穷多个解。由于每个部类内部各部分的相互关系固定不变,在扩大再生产状况下,下一年相对于本年第j部类(j=Ⅰ,Ⅱ)新增的新创造价值ΔYj与新增生产资料ΔCj间的关系与式(1)表明的Yj与Cj的关系相同。所以,两个部类新增的新创造价值总和是:ΔYⅠ+ΔYⅡ=1+eⅠhⅠΔCⅠ+1+eⅡhⅡΔCⅡ(4)而任何一组马克思的两大部类扩大再生产问题的解ΔCⅠ和ΔCⅡ的匹配,都能形成两个部类新增的新创造价值总和的一个具体数值。现在,对于马克思的两大部类扩大再生产模型增加一个目标函数,把两个部类新增的新创造价值总和最大化,作为最一般的目标函数,就构成了马克思的两大部类扩大再生产模型的优化问题。目标函数是:Μax{ΔYⅠ+ΔYⅡ}=1+eⅠhⅠΔCⅠ+1+eⅡhⅡΔCⅡ(5)对这一优化问题求解,即在式(2)、式(3)表示的约束条件下,求出满足目标函数式(5)的一组ΔCⅠ、ΔCⅡ和MxⅠ、MxⅡ。这一优化问题具有标准的线性规划形式,但是当中目标函数的价值系数中含有各部类的资本有机构成、剩余价值率参数;约束条件式(2)、式(3)的技术系数中也含有各部类的资本有机构成参数;约束条件右端常数项是各部类的剩余价值,也是以参数而不是数值形式出现。所以,这一优化问题是一个含有多个参数的线性规划,与典型的、仅仅是在目标函数中的价值系数或者约束条件右端常数项之中含有单一参数的参数线性规划有所不同。不过,目标函数值也是随着价值系数和约束条件右端常数项的连续变动而呈线性变动,因而同样能够运用单纯形法求解。二、目标函数中的价值系数下面运用两阶段单纯形法求解。记z1=ΔCⅠ,z2=ΔCⅡ,z3=MxⅠ,z4=MxⅡ,引入人工变量z5。约束条件式(2)、式(3)可表示成:{z1+z2+z5=YⅠ-CⅡ1+hⅠhⅠz1+z3=ΜⅠ1+hⅡhⅡz2+z4=ΜⅡzj≥0j=1,⋯,5并且z1‚z2不同时为0(6)在第一阶段,设目标函数是:Μin(z5)(7)以zj表示线性规划模型中的各个变量(j=1,…,5),dj表示变量zj在目标函数中的价值系数,σj表示zj的检验数,b表示约束方程组右端的常数,zB表示在单纯形法求解过程中的基变量。于是获得初始单纯形表(见表1)。表1中,z5、z3、z4三个变量是初始基变量。现在要在第一阶段,按照θ法,对表1做基变换。因为对于表1中所含的约束方程,在所涉数值的相对大小关系不同时,要选取的换入基变量和换出变量也不同,所以首先必须明确所涉数值的相对大小关系。在扩大再生产状况下,ΔCⅠ和ΔCⅡ不同时为0。《资本论》中指出扩大再生产的一个必要条件是VⅠ+MⅠ>CⅡ,即YⅠ-CⅡ>0。根据在式(1)中写明的每个部类内部各部分的相互关系,这个必要条件体现在两个部类之间的比例上,即:在两个部类之间的比例满足式(8)的前提下,当且仅当式(9)成立:hⅠ1+eⅠ≥eⅡ/(1+hⅡ)eⅠ/(1+hⅠ)(9)根据式(1)表明的每个部类内部各部分的相互关系,使得:hⅡ1+hⅡΜⅡ<hⅠ1+hⅠΜⅠ(10)因为通常式(9)是成立的,所以现在把式(10)作为求最优解过程中的一个假定条件。根据式(1),第j部类(j=Ⅰ,Ⅱ)的资本利润率是Mj/(Cj+Vj)=ejVj/(hjVj+Vj)=ej/(1+hj),所以式(9)右端体现的是两个部类的资本利润率相对高低关系。至此,首先确定式(8)和式(10)是求解马克思扩大再生产模型的多参数线性规划所需的两部类间比例条件。三、原问题的基因条件分析在假定条件式(10)之下,由于在YⅠ-CⅡ≤hⅡ1+hⅡΜⅡ‚hⅡ1+hⅡΜⅡ≤YⅠ-CⅡ≤hⅠ1+hⅠΜⅠ‚hⅠ1+hⅠΜⅠ≤YⅠ-CⅡ三种不同的情形下,对表1做基变换时,是选取不同的换入基变量和换出变量,因而最终有不同的计算结果。而这三种不同的情形,恰好对应着两个部类之间的比例YⅡ/YⅠ取值,处于三个不同的区间。所以,下面区别这三种不同的情形,分别求出最优解。1.两大部类间的比例是(1+eⅡhⅡ)11+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ<1+eⅡhⅡ情形的最优解在YⅠ-CⅡ≤hⅡ1+hⅡΜⅡ情形下,将式(1)标明的每个部类内部各部分的相互关系以及扩大再生产的必要条件式(8)代入此情形下不等式,得出两个部类之间的比例是:(1+eⅡhⅡ)11+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ<1+eⅡhⅡ(11)《资本论》第二卷第二十一章中所举第一例的起始年份数值就属于此种情形。在第一阶段对表1做基变换,按照θ法,此情形下取z1作为换入基变量,z5为换出变量。得到计算结果见表2。从表2看到,非基变量z2、z5的检验数σ2和σ5都大于或等于0,所以获得第一阶段的最优解Μin(z5)=0;因人工变量z5=0,所以原问题有基本可行解。于是可以开始第二阶段的计算。将表2中的人工变量z5所在列划掉,并换成原问题的目标函数,将z1、z2的价值系数分别换成(1+eⅠ)/hⅠ和(1+eⅡ)/hⅡ构成原问题的初始单纯形表(见表3)。原问题的目标函数为:Μax{1+eⅠhⅠz1+1+eⅡhⅡz2}=1+eⅠhⅠz1+1+eⅡhⅡz2(12)由于表3中含有4个变量、3个约束等式,所以在最优解存在的情形下,必然有3个基变量和1个非基变量。从表3看到,如果hⅠ/(1+eⅠ)≤hⅡ/(1+eⅡ),非基变量z2的检验数σ2是负数或0,那么原问题已经获得最优解。最优解是z1=YⅠ-CⅡ‚z2=0‚z3=ΜⅠ-1+hⅠhⅠ(YⅠ-CⅡ)‚z4=ΜⅡ;目标函数值为Μax{ΔYⅠ+ΔYⅡ}=1+eⅠhⅠ(YⅠ-CⅡ)。如果hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ,则需要对表3继续施行基变换,取z2作为换入基变量。按照θ法,在已知YⅠ-CⅡ≤hⅡ1+hⅡΜⅡ≤hⅠ1+hⅠΜⅠ情形下,z1为换出变量。得到计算结果是非基变量z1的检验数σ1=(1+eⅠ)/hⅠ-(1+eⅡ)/hⅡ是负数,所以原问题已经获得最优解。最优解是z1=0‚z2=YⅠ-CⅡ‚z3=ΜⅠ‚z4=ΜⅡ-1+hⅡhⅡ(YⅠ-CⅡ);目标函数值为Μax{ΔYⅠ+ΔYⅡ}=1+eⅡhⅡ(YⅠ-CⅡ)。2.两大部类间的比例是11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)(1+eⅠ1+hⅠ)≤YⅡYⅠ≤(1+eⅡhⅡ)11+eⅡ/(1+hⅡ)情形的最优解在hⅡ1+hⅡΜⅡ≤YⅠ-CⅡ≤hⅠ1+hⅠΜⅠ情形下,将式(1)表明的每个部类内部各部分的相互关系代入此情形不等式,得出两个部类之间的比例是:11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)(1+eⅠ1+hⅠ)≤YⅡYⅠ≤(1+eⅡhⅡ)11+eⅡ/(1+hⅡ)(13)《资本论》第二卷第二十一章中所举第二例的起始年份数值就属于此情形。在第一阶段对表1做基变换,按照θ法,此情形下仍然取z1作为换入基变量,z5为换出变量,得到计算结果(见表2和表3)。如果hⅠ/(1+eⅠ)≤hⅡ/(1+eⅡ),就获得与在YⅠ-CⅡ≤hⅡ1+hⅡΜⅡ≤hⅠ1+hⅠΜⅠ情形下完全相同的最优解。而如果hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ,则需要对表3继续施行基变换,按照θ法,取z2作为换入基变量,z4为换出变量。计算结果见表4。从表4看到,因为hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ,非基变量z4的检验数σ4=hⅡ1+hⅡ(1+eⅠhⅠ-1+eⅡhⅡ)是负数,所以已经获得最优解。最优解是:z1=(YⅠ-CⅡ)-hⅡ1+hⅡΜⅡ‚z2=hⅡ1+hⅡΜⅡ‚z3=ΜⅠ-1+hⅠhⅠ[(YⅠ-CⅡ)-hⅡ1+hⅡΜⅡ]‚z4=0。目标函数值为Μax{ΔYⅠ+ΔYⅡ}=1+eⅠhⅠ(YⅠ-CⅡ)+hⅠ(1+eⅡ)-hⅡ(1+eⅠ)hⅠ(1+hⅡ)(1+eⅡ)eⅡYⅡ。3.两大部类间的比例是11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)1+eⅠ/(1+hⅠ)1+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ≤11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)(1+eⅠ1+hⅠ)情形的最优解在hⅠ1+hⅠΜⅠ≤YⅠ-CⅡ情形下,将式(1)表明的每个部类内部各部分的相互关系代入此情形不等式,得出此两个部类之间的比例关系是:YⅡYⅠ≤11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)(1+eⅠ1+hⅠ)(14)在第一阶段对表1做基变换,按照θ法,取z1作为换入基变量,则z3为换出变量。计算结果见表5。继续对于表5做基变换。如果:(YⅠ-CⅡ)-hⅠ1+hⅠΜⅠ≤hⅡ1+hⅡΜⅡ(15)就可以取z2作为换入基变量,则z5为换出变量。计算结果见表6。从表6看到,非基变量z3、z5的检验数σ3和σ5都大于或等于0,所以获得第一阶段的最优解Μin(z5)=0;因人工变量z5=0,所以原问题有基本可行解。于是可以开始第二阶段的计算。将表6中的人工变量z5所在列划掉,并换成原问题的目标函数,将z1、z2的价值系数分别换成(1+eⅠ)/hⅠ和(1+eⅡ)/hⅡ,构成原问题的初始单纯形表(见表7)。从表7看到,如果hⅠ/(1+eⅠ)≤hⅡ/(1+eⅡ),则非基变量z3的检验数σ3是负数或0,所以原问题已经获得最优解。最优解是z1=hⅠ1+hⅠΜⅠ‚z2=(YⅠ-CⅡ)-hⅠ1+hⅠΜⅠ‚z3=0‚z4=ΜⅡ-1+hⅡhⅡ[(YⅠ-CⅡ)-hⅠ1+hⅠΜⅠ]。目标函数值为:Μax{ΔYⅠ+ΔYⅡ}=1+eⅡhⅡ(YⅠ-CⅡ)-hⅠ(1+eⅡ)-hⅡ(1+eⅠ)hⅡ(1+hⅠ)(1+eⅠ)eⅠYⅠ如果hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ),则表7中非基变量z3的检验数σ3是正数,就需要继续施行基变换。需取z3作为换入基变量,由于这里已假定满足式(15),所以z4为换出变量。计算结果与表4相同,因而所获最优解也与在满足式(13)并且hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ情形下的最优解完全一样。而当对于表5做基变换时,如果不满足式(15),即(YⅠ-CⅡ)-hⅠ1+hⅠΜⅠ>hⅡ1+hⅡΜⅡ,就只能取z2作为换入基变量,z4为换出变量。计算结果是获得第一阶段的最优解zj=0(j=1,2,3,4),z5=1;Μin(z5)=1。因人工变量z5>0,所以原问题无解。从以上计算过程和结果得知,当两个部类之间的比例处于式(14)表明的区间时,式(15)成为原问题是否存在最优解的充分必要条件。而将式(1)表明的每个部类内部各部分的相互关系代入式(15),得出此式中两个部类之间的比例是:11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)1+eⅠ/(1+hⅠ)1+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ(16)将式(14)、式(16)加以综合,两个部类之间的比例是:11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)1+eⅠ/(1+hⅠ)1+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ≤11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)(1+eⅠ1+hⅠ)(17)四、马克思两大部类扩大再生产问题有解的一般处理归纳以上三种情形下的全部计算结果,得到两个部类之间的比例关系取值处于:11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)1+eⅠ/(1+hⅠ)1+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ<1+eⅡhⅡ(18)式(18)所示的区间是马克思的两大部类扩大再生产的优化问题有解的充分必要条件。这个充分必要条件,与陶为群(2011)给出的马克思两大部类扩大再生产问题有解的必要条件完全相同。将以上获得的以公式形式表达的扩大再生产的优化问题全部最优解,整理列成表8。对于任何一个确定各个结构参数具体数值的两大部类扩大再生产问题的举例,只需把具体数值代入表8中对应的最优解公式,就得到数值化的最优解。因此,两大部类扩大再生产模型的多参数线性规划的最优解,能够替代任何一个具体的两大部类扩大再生产线性规划问题的数值解。本文给出了比较完整的、以公式形式表达的最优解,此最优解属于静态分析的范畴。单纯形法并不能确定此最优解是不是唯一的,而最优解是否唯一存在,对于所给出的最优解的重要性,尤其是它的经济含义,有着重要影