6.4-6.5平行与垂直（重难点突破）原卷版

突破平行与垂直【知识点一、平行线的定义及画法】1．定义：在同一平面内，的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．特别说明：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②：用直尺紧靠三角板一条直角边.③：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【知识点二、基本事实】基本事实1、经过直线外一点，有且只有直线与这条直线平行．基本事实2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线．特别说明：“经过直线外一点”，而非直线上的点；公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一；基本事实2也称之为平行的传递性.【知识点三、垂线的定义及画法】垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫．特别说明：(1)记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．【知识点四、垂线的性质及距离问题】垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做．特别说明：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．(一)平行与垂直的位置关系例1．有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（）A．21个 B．22个 C．23个 D．24个【变式训练1－1】如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与重合的理由是（

）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂直于同一直线的两条直线平行【变式训练1－2】如图，O为直线上一点，，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式训练1－3】如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有条．【变式训练1－4】如图，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是．【变式训练1－5】已知和的两边分别互相垂直，且比的2倍少，求的度数．【变式训练1－6】如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？(二)平行线与垂线的绘制例2．如图，已知，请你按下列步骤画图：（用三角板、量角器等工其画图，不写画法，只保留画图痕迹）①画的平分线交线段于点D；②过点C画的平行线交射线于点E；③过点E作的垂线段，垂足是F．【变式训练2－1】如图，在由相同小正方形组成的网格中，点A，B，C，O都在网格的格点上，，射线在的内部，请用无刻度的直尺作图：(1)过点A作；(2)在的外部，作，使．【变式训练2－2】如图，分别是两条笔直的公路，是三个商店．(1)如果经过点处建设一条公路，使这条公路与公路平行，且交于点，在图上画出这条公路．(2)一个人从处走最近的路线到达公路，画出这个人行走的路线．(3)一辆货车在公路上行驶，当停在处时，可以使两处的人到货车的距离之和最小，画出点的位置．这样画的依据是．【变式训练2－3】按照下列要求完成作图及相应的问题解答(1)作出∠AOB的角平分线OM；(2)作直线，不能与直线OB相交，且交射线OM于点M；(3)通过画图和测量，判断线段OP与线段PM的数量关系．(三)距离问题【例3】如图，，，下列结论中，正确的结论有(

)①线段的长度是点到的距离；②线段是点到的距离；③；④线段是到的距离；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式训练3－1】如图，在中，，是边上一点，且，那么下列说法中错误的是（

）．A．直线与直线的夹角为 B．直线与直线的夹角为C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离【变式训练3－2】如图是一条河是河边外一点，是河边上一码头．(1)若要从走到码头，请在图1中作出最短路线示意图．(2)现欲用水管从河边将水引到处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案．【变式训练3－3】已知：如图，点，点分别代表两个小区，直线代表两个小区中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路上的某处设置一个公交站点．(1)若考虑到小区居住的老年人较多，计划建一个离小区最近的车站，请在公路上画出车站的位置用点表示；(2)若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到小区和小区的距离之和最小，请在公路上画出车站的位置用点表示．【变式训练3－4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上．(1)利用网格作图：①过点画直线的平行线；②过点画直线的垂线，垂足为点；(2)线段的长度是点________到直线________的距离；(3)比较大小：________（填>、<或=），理由：________．【变式训练3－5】定义：连接已知线段外一点与这条线段上各点的所有线段中，最短线段的长度叫做这点到已知线段的距离．(1)如图，已知线段和点C，D，分别画出表示点C，D到线段距离的线段．(2)若，动点P到线段的距离为，请画出动点P运动的路径．并求出运动路径的长（精确到）．【变式训练3－6】如图