基本不等式及其应用(求最值)

根本不等式及其应用〔求最值〕学习内容：根本不等式及其应用〔求最值〕学习目标：复习几个常用根本不等式；能应用均值不等式解决最值、比拟大小、求最值等问题；在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式。通过运用根本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。教学重、难点：应用根本不等式求最大值和最小值课前复习：写出、ab、a+b三者之间关系的根本不等式1、和，〔，当且仅当时等号成立〕2、或，〔，当且仅当时等号成立〕3、〔，当且仅当时等号成立〕说明：注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正〞、二“定〞、三“等〞；课堂探究：一、比拟大小：〔热身题〕1.〔2023年高考陕西卷文科3)设，那么以下不等式中正确的选项是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕(D)【答案】B【解析】：，又所以应选B二、求最值：〔例1和例2及其变型题作为热身题，让学生说答案，老师强调一下技巧即可〕技巧一：凑项例1、，那么函数的最小值解：因为所以，所求函数的最小值等于3.变式：，那么函数的最大值解：因为所以，所求函数的最大值等于-2.技巧二：凑系数例2.当时，那么的最大值解析：由知，，利用根本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。评注：此题无法直接运用根本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用根本不等式求最大值。变式1；，那么的最大值所以，所求的最大值等于。变式2：(2023·上海十三校联考)x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，那么xy的最大值为________．答案：3技巧三：别离或换元例3.求的最小值。解析一：此题看似无法运用根本不等式，不妨将分子配方凑出含有〔x＋1〕的项，再将其别离。当,即时,〔当且仅当x＝1时，取“＝〞号〕。解析二：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在别离求最值。当,即t=时,〔当t=2即x＝1时取“＝〞号〕。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用根本不等式来求最值。变式：求函数的最小值.解：又因为〔当且仅当〕技巧四：整体代换例4、(2023·福州模拟)设a，b满足2a＋3b＝6，a>0，b那么eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为()A.eq\f(25,6)B.eq\f(8,3)C.eq\f(11,3)D．4解析：由a>0，b>0,2a＋3b＝6得eq\f(a,3)＋eq\f(b,2)＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝(eq\f(2,a)＋eq\f(3,b))(eq\f(a,3)＋eq\f(b,2))＝eq\f(2,3)＋eq\f(3,2)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥eq\f(13,6)＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝eq\f(13,6)＋2＝eq\f(25,6).当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)且2a＋3b＝6，即a＝b＝eq\f(6,5)时等号成立．即eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为eq\f(25,6).答案：A变式1：正数x、y满足，求的最小值。解：,当且仅当即时“=〞号成立，故此函数最小值是18。变式2：5.〔2023天津卷理〕设假设的最小值为A8B4C1D【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为，所以，，当且仅当即时“=〞成立，应选择C技巧五：用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行例题5．〔2023年高考浙江卷文科16)假设实数满足，那么的最大值是。【答案】【解析】：：变式1：假设实数满足，那么xy的最大值是。变式2：假设实数满足，那么的最小值是。技巧六：消元法例题6．正数x、y满足，求的最小值。解：由得，由那么。当且仅当即时“=〞号成立，故此函数最小值是18。三、实际应用：(2023·苏北四市联考)例7、某开发商用9000万元在市区购置一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)假设该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解：(1)由，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4000×2000＝8000000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2000＝200000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：y＝f(x)＝800x＋＋9000＝10x2＋790x＋9000(x∈N*)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(900,x)＋79))≥50×(2eq\r(900)＋79)＝6950(元)．当且仅当x＝eq\f(900,x)，即x＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．四、错解剖析：例8.且，求的最小值.错解：,,的最小值为.分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为和，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值.正解：当且仅当即时等号成立.的最小值为.五、归纳小结综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一、常用根本不等式：1、和，〔，当且仅当时等号成立〕2、或，〔，当且仅当时等号成立〕3、〔，当且仅当时等号成立〕考前须知：一“正〞、二“定〞、三“等〞；一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值〞或“积为定值〞，要凑出“和为定值〞或“积为定值〞的式子结构，如果找不出“定值〞的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。如错例