因式分解方法精讲及练习

八年级：因式分解提高讲义知识要点:分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，它的对象为一个多项式，分解因式的结果是整式的积的形式，即结果为单项式乘以多项式或多项式乘以多项式的形式。

说明：(1)分解的对象是多项式，结果要以乘积的形式出现；(2)每个因式必须是整式，且每个因式的次数必须低于原来多项式的次数；(3)分解因式要彻底，直到不能再分解为止。分解因式与整式的乘法关系:互逆运算。因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，十字相乘法，分组分解法。【提公因式法】确定公因式的数字因数，当各项系数是整数时，各项系数的最大公约数就是公因式的系数；〔第一项系数为负，一般提出负号〕；确定公因式的字母及其指数，公因式的字母应是各项都含有的字母〔有时为多项式〕，其指数取最低的。例1、分解以下因式：〔1〕ma+mb;(2)m(a-b)+n(b-a);(3)。例2、分解以下各式：；〔2〕。【练习】〔1〕〔2〕〔3)〔4〕〔5〕(6)a2(x-2a)2-a(2a-x)3(7)57.6××-×〔8〕．【公式法】平方差公式：a2－b2＝.完全平方公式：a2±2ab＋b2＝.立方和〔差〕公式例3、把以下各式分解因式：〔1〕；〔2〕；〔3〕。【练习】〔1〕；〔2〕；〔3〕；(4)a2(x-y)+b2(y-x)〔5〕〔6〕(7)-3ma3+6ma2-3ma〔8〕(9)(x2-6x)2+18(x2-6x)+81〔10〕〔11〕；〔12〕(x2+y2)2-4x2y2〔13〕(4x-2y-1)2+=0，求4x2y-4x2y2+xy2的值〔14〕如果是一个完全平方式，那么k的值是多少〔13〕：，求的值【分组分解法】〔原那么是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式〕例4、分解因式：例5、分解因式：练习：分解因式1、2、综合练习：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕【十字相乘法】〔一〕二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。特点：〔1〕二次项系数是1；〔2〕常数项是两个数的乘积〔3〕一次项系数是常数项的两因数的和。十字相乘根本规律：但凡能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求而且是一个完全平方数。例6、分解因式：分解因式：分解因式分解因式〔二〕二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b练习、分解因式(1)(2)(3)〔三〕二次项系数不为1的二次三项式———条件：〔1〕〔2〕〔3〕分解结果：=〔四〕二次项系数不为1的齐次多项式〔略〕【练习】分解因式：(1)(2)(3)(3)；(4)(5)(6)(7)．(8)(9)(10)(11)(12)(13)【换元法】换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。整体换元：〔1〕〔2〕(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120双换元：〔1〕〔2〕均值换元：〔1〕分解因式综合练习一、选择题1.以下各式中从左到右的变形，是因式分解的是〔〕(A)(a+3)(a-3)=a2-9(B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1(C)a2b+ab2=ab(a+b)(D)x2+1=x(x+)2.以下各式的因式分解中正确的选项是〔〕(A)-a2+ab-ac=-a(a+b-c)(B)9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)(C)3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b)(D)xy2+x2y=xy(x+y)3.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于〔〕(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)4.以下多项式能分解因式的是〔〕(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+45.以下多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是〔〕(A)(B)(C)(D)6.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式不可以是〔〕(A)4x(B)-4x(C)4x4(D)-4x47.以下分解因式错误的选项是〔〕(A)15a2+5a=5a(3a+1)(B)-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)(C)k(x+y)+x+y=(k+1)(x+y)(D)a3-2a2+a=a(a-1)28.以下多项式中不能用平方差公式分解的是〔〕(A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p29.以下多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是〔〕(A)①②(B)②④(C)③④(D)②③10.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，那么k等于〔〕(A)4(B)8(C)4或-4(D)8的倍数二、填空题11.分解因式：m3-4m=.12.x+y=6，xy=4，那么x2y+xy2的值为.13.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，那么n的值为.14.假设ax2+24x+b=(mx-3)2，那么a=，b=，m=.(第15题图)15.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是.三、(每题6分，共24分)16.分解因式：(1)-4x3+16x2-26x(2)a2(x-2a)2-a(2a-x)3〔3〕56x3yz+14x2y2z－21xy2z2(4)mn(m－n)－m(n－m)17.分解因式：(1)4xy–(x2-4y2)(2)-(2a-b)2+4(a-b)218.分解因式：(1)-3ma3+6ma2-12ma(2)a2(x-y)+b2(y-x)19、分解因式〔1〕；〔2〕；〔3〕；20.分解因式：(1)ax2y2+2axy+2a(2)(x2-6x)2+18(x2-6x)+81(3)–2x2n-4xn21．将以下各式分解因式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；22．分解因式〔1〕；〔2〕；23.用简便方法计算：××-×80(2)39×37-13×34〔3〕．24．试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍。ab25．如图，在一块边长为a厘米的正方形纸板四角，各剪去一个边长为b(b<)厘米的正方形，利用因式分解计算当，时，剩余局部的面积。ab26．将以下各式分解因式〔1〕〔2〕；(3) (4)(5)〔6〕(x2+y2)2-4x2y227.(4x-2y-1)2+=0，求4x2y-4x2y2+xy2的值.28．：a=10000，b=9999，求a2+b2－2ab－6a+6b+9的值。29．证明58-1解被20∽30之间的两个整数整除30..观察以下各式：12+(1×2)2+22=9=3222+(2×3)2+32=49=7232+(3×4)2+42=169=132……你发现了什么规律？请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明其中的道理.31阅读以下因式分解的过程，再答复所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是，共应用了次.(2)假设分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004，那么需应用上述方法次，结果是.(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).32．假设a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0。探索△ABC的形状，并说明理由。33．阅读