第19课整式（教师版）-七年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（浙教版）

第19课整式目标导航目标导航学习目标1.通过归纳，类比，经历单项式、多项式概念的发生过程.2.了解单项式、多项式、整式的概念.3.理解单项式的系数和次数的概念.4.理解多项式中项、项的系数、多项式的次数等概念.5.了解整式在解决实际问题中的应用.知识精讲知识精讲知识点01整式的有关概念1.单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．2.多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．3.整式：单项式和多项式统称为整式．能力拓展考点01整式的分类能力拓展【典例1】．对下列式子进行分类．，+3，，，，，0，m，a﹣3，4b，3.14＞1，﹣2d＝3．单项式：{，0，m，4b…}；多项式：{+3，，a﹣3…}；整式：{，+3，，0，m，a﹣3，4b…}．【思路点拨】根据单项式与多项式的定义进行分类即可．【解析】解：单项式：{，0，m，4b…}；多项式：{+3，，a﹣3…}；整式：{，+3，，0，m，a﹣3，4b…}．故答案为：，0，m，4b；+3，，a﹣3；，+3，，0，m，a﹣3，4b．【点睛】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称整式．【即学即练1】把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号）（1）x﹣7，（2），（3）4ab，（4），（5）5﹣，（6）y，（7），（8）x+，（9），（10）x2++1，（11），（12）8a3x，（13）﹣1单项式集合{（2）（3）（6）（12）（13）…}；多项式集合{（1）（8）（9）（10）…}；整式集合{（1）（2）（3）（6）（8）（9）（10）（12）（13）…}．【思路点拨】根据单项式、多项式、整式的概念，逐个分辨并作答即可．【解析】解：单项式有：，4ab，y，8a3x，﹣1；多项式有：x﹣7，x+，，x2++1；整式有：x﹣7，，4ab，y，x+，，x2++1，8a3x，﹣1．故答案为：（2）（3）（6）（12）（13）；（1）（8）（9）（10）；（1）（2）（3）（6）（8）（9）（10）（12）（13）．【点睛】本题考查了多项式、单项式、整式的概念．理解和掌握整式的概念，是解决本题的关键．考点02整式的概念【典例2】下列结论正确的是（）A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式﹣2a2bc的系数是﹣2，次数是4 C．多项式2a2+ab2+5是二次三项式 D．单项式a的次数是1，没有系数【思路点拨】根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答．【解析】解：A、单项式的系数是，次数是3，故A不符合题意；B、单项式﹣2a2bc的系数是﹣2，次数是4，故B符合题意；C、多项式2a2+ab2+5是三次三项式，故C不符合题意；D、单项式a的次数是1，系数是1，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了多项式，单项式，熟练掌握多项式和单项式的意义是解题的关键．【即学即练2】下列说法中正确的是（）A．单项式x的系数是0 B．32x3是五次单项式 C．2πR2的次数是3 D．0是单项式【思路点拨】根据单项式系数及次数的定义进行解答即可．【解析】解：A、单项式x的系数是1，原说法错误，不符合题意；B、32x3是三次单项式，原说法错误，不符合题意；C、2πR2的次数是2，原说法错误，不符合题意；D、0是单项式，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是单项式，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．分层提分分层提分题组A基础过关练1.下列式子：①a2b+ab﹣b2；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据几个单项式的和叫做多项式分析判断．【解析】解：根据多项式的定义可知：①a2b+ab﹣b2是多项式；②0是单项式；③是单项式；④是分式；⑤是多项式；⑥是分式，故多项式的个数是2个．故选：B．【点睛】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．2.代数式，2x+y，，，，中整式的个数（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【思路点拨】运用整式的概念进行逐一辨别、求解．【解析】解：由题意得，2x+y，，，是整式，，是分式，故选：B．【点睛】此题考查了整式的辨别能力，关键是能准确理解并运用整式的概念．3.单项式的系数和次数分别是（）A．2和1 B．和2 C．和2 D．﹣2和2【思路点拨】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的次数、系数的定义进行分析即可．【解析】解：单项式的系数是，次数是2．故选：C．【点睛】本题主要考查了单项式的基本概念，熟练掌握单项式的次数、系数的定义是解题的关键．4.单项式72x2y3的次数是（）A．4 B．5 C．6 D．7．【思路点拨】根据单项式的次数是所有字母指数的和进行求解．【解析】解：由题意得，2+3＝5，∴单项式72x2y3的次数是5，故选：B．【点睛】此题考查了单项式次数的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．5.多项式x2﹣3xy2﹣4的次数和常数项分别是（）A．2和4 B．2和﹣4 C．3和4 D．3和﹣4【思路点拨】根据多项式的次数和项的定义得出选项即可．【解析】解：多项式x2﹣3xy2﹣4的次数是3，常数项是﹣4，故选：D．【点睛】本题考查了多项式的次数和项的定义，注意：多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数．6.关于多项式2x2﹣y﹣πxy3+x5﹣1，下列说法中，正确的有（）①这个多项式是五次五项式；②常数项是1；③四次项的系数是﹣1；④按x降幂排列为x5+2x2﹣πxy3﹣y﹣1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】由多项式次数，项，常数项的定义，单项式的系数的定义，多项式按某个字母降幂排列的定义，即可判断．【解析】解：①这个多项式是五次五项式；正确，故①符合题意；②常数项是﹣1，故②不符合题意；③四次项的系数是﹣π，故③不符合题意；④按x降幂排列为x5+2x2﹣πxy3﹣y﹣1，正确，故④符合题意．∴正确的有①④，故选：B．【点睛】本题考查多项式，关键是掌握：多项式次数，项，常数项，单项式的系数的概念，多项式按某个字母降幂排列的概念．7.写出一个只含有字母x，y的单项式，使它的系数是负数，次数是5，这个单项式可以是：﹣x2y3（答案不唯一）．【思路点拨】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解析】解：﹣x2y3的系数是负数，次数是5（答案不唯一）．故答案为：﹣x2y3（答案不唯一）．【点睛】本题是开放性试题，答案不唯一．主要考查了单项式系数、次数的定义．8.单项式的系数是﹣，次数三，多项式2xy2﹣3x2y3﹣8的次数五．【思路点拨】根据单项式系数、次数的定义，多项式次数、项数的定义，进行填空即可．【解析】解：单项式﹣的系数是﹣，次数是三次，多项式2xy2﹣3x2y3﹣8是五次三项式．故答案为：﹣、三、五．【点睛】本题考查了单项式及多项式的知识，掌握多项式次数的定义及单项式系数、次数的定义是解题关键．的系数是﹣；多项式a3b4﹣2a2b4+3的次数是七．【思路点拨】根据多项式与单项式的意义，即可解答．【解析】解：单项式的系数是﹣；多项式a3b4﹣2a2b4+3的次数是七，故答案为：﹣；七．【点睛】本题考查了多项式，单项式，熟练掌握多项式与单项式的意义是解题的关键．﹣a2b3c的系数是﹣，次数是6；多项式2b4+ab2﹣5ab﹣1的次数是4，二次项的系数是﹣5．【思路点拨】根据多项式的相关概念即可求出答案．【解析】解：单项式﹣a2b3c的系数是﹣，次数是2+3+1＝6；多项式2b4+ab2﹣5ab﹣1的次数是最高项的次数4，二次项的系数是﹣5．故答案为：﹣；6；4；﹣5．【点睛】本题考查多项式的概念，属于基础题型．11.观察下列各式：﹣ab，，，a+b，a2+a﹣1．回答下列问题：（1）单项式分别为：﹣ab，；（2）多项式分别为：a+b，a2+a﹣1；（3）整式有4个；（4）﹣ab的系数为﹣1；（5）次数最高的多项式为a2+a﹣1．【思路点拨】（1）直接利用单项式的定义得出答案；（2）直接利用多项式的定义得出答案；（3）直接利用整式的定义分析得出答案；（4）利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案；（5）直接利用多项式的次数确定方法得出答案．【解析】解：（1）单项式分别为：﹣ab，；（2）多项式分别为：a+b，a2+a﹣1；（3）整式有4个；（4）﹣ab的系数为﹣1；（5）次数最高的多项式为：a2+a﹣1．故答案为：（1）﹣ab，；（2）a+b，a2+a﹣1；（3）4；（4）﹣1；（5）a2+a﹣1．【点睛】此题主要考查了多项式以及单项式，正确掌握相关定义是解题关键．2﹣ab，﹣3a2+，﹣，﹣4，﹣a，，﹣2a2+3a+1，，πa+1，．①单项式：{}．②多项式：{}．③二次二项式：{}．④整式：{}．【思路点拨】根据单项式是数与字母的积，多项式是几个单项似的和，多项式中的每个单项式是多项式的项，单项式与多项式统称整式，可得答案．【解析】解：①单项式：{﹣，﹣4，﹣a}；②多项式：{2﹣ab，﹣3a2+，﹣2a2+3a+1，，πa+1，}③二次二项式：{2﹣ab，﹣3a2+，}；④整式：{2﹣ab，﹣3a2+，﹣，﹣4，﹣a，﹣2a2+3a+1，，πa+1，}；故答案为：﹣，﹣4，﹣a；2﹣ab，﹣3a2+，﹣2a2+3a+1，，πa+1，；2﹣ab，﹣3a2+，；2﹣ab，﹣3a2+，﹣，﹣4，﹣a，﹣2a2+3a+1，，πa+1，．【点睛】本题考查了整式，单项式是数与字母的积，多项式是几个单项似的和，多项式中的每个单项式是多项式的项，单项式与多项式统称整式，注意分母中含有字母的式子是分式．题组B能力提升练13.下列结论中正确的是（）A．单项式的系数是10B．单项式12a3b的次数是3 C．多项式2x2+xy2+35是五次三项式D．在中，整式有4个【思路点拨】根据单项式、多项式、整式的相关定义解答即可．【解析】解：A、单项式的系数是，故此选项错误，不符合题意；B、单项式12a3b的次数是4，故此选项错误，不符合题意；C、多项式2x2+xy2+35是三次三项式，故此选项错误，不符合题意；D、在中，整式有，共4个，故此选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了单项式、多项式、整式的相关定义，解题的关键是熟练掌握其定义．14.多项式2x2y|m|﹣（m﹣2）xy+1是关于x，y的四次二项式，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1【思路点拨】根据多项式的次数及项数得出|m|＝2且m﹣2＝0，求解即可．【解析】解：∵多项式2x2y|m|﹣（m﹣2）xy+1是关于x，y的四次二项式，∴|m|＝2且m﹣2＝0，∴m＝2．故选：A．【点睛】本题考查多项式和绝对值，准确掌握这两个基础知识点是解题关键．15.若多项式x|m﹣3|﹣8x2+（m﹣7）x是关于x的四次三项式，则m的值为﹣1．【思路点拨】根据多项式的意义可得|m﹣3|＝4且m﹣7≠0，然后进行计算即可解答．【解析】解：∵多项式x|m﹣3|﹣8x2+（m﹣7）x是关于x的四次三项式，∴|m﹣3|＝4且m﹣7≠0，解得：m＝7或m＝﹣1且m≠7，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了多项式，绝对值，熟练掌握多项式的意义是解题的关键．16.若多项式（m+2）x2y|m|+x2y﹣y+3是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为﹣2．【思路点拨】因为x2y的次数是三次，根据多项式是三次三项式可得m+2＝0，解出m的值即可．【解析】解：∵多项式（m+2）x2y|m|+x2y﹣y+3是一个关于x，y的三次三项式且x2y的次数是三次，∴m+2＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．17.已知多项式﹣8x3ym+xy2﹣3x3+6y是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同．（1）求m，n的值．（2）求多项式的各项的系数和．【思路点拨】（1）根据多项式与单项式次数的定义进行求解；（2）根据单项式系数的定义进行求解．【解析】解：（1）由题意得，，解得，∴m的值是3，n的值是1；（2）由题意得，﹣8+1﹣3+6＝﹣4，∴该多项式各项的系数和为﹣4．【点睛】此题考查了整式次数与系数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．x的整式（|k|﹣3）x3+（k﹣3）x2﹣k．（1）若此整式是单项式，求k的值；（2）若此整式是二次多项式，求k的值；（3）若此整式是二项式，求k的值．【思路点拨】（1）由整式为单项式，根据定义得到|k|﹣3＝0且k﹣3＝0，求出k的值；（2）由整式为二次式，根据定义得到|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，求出k的值；（3）由整式为二项式，得到①|k|﹣3＝0且k﹣3≠0；②k＝0；依此即可求解．【解析】解：（1）∵关于x的整式是单项式，∴|k|﹣3＝0且k﹣3＝0，解得k＝3，∴k的值是3；（2）∵关于x的整式是二次多项式，∴|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，解得k＝﹣3，∴k的值是﹣3；（3）∵关于x的整式是二项式，∴①|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，解得k＝﹣3；②k＝0．∴k的值是﹣3或0．【点睛】此题考查了单项式和多项式，解题的关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．题组C培优拔尖练19.一列单项式如下排列：a2，﹣3a4，5a6，﹣7a8…则第7个单项式是（）A．7a7 B．﹣7a7 C．13a14 D．﹣13a14【思路点拨】根据规律：系数是从1开始的连续奇数且第奇数个是正数，第偶数个是负数，a的指数是从2开始的连续偶数，即可求解．【解析】解：由题意可得，第n个单项式是（﹣1）n﹣1⋅（2n﹣1）⋅a2n，∴第7个单项式是13a14，故选：C．【点睛】本题考查单项式的定义，根据题意所给的单项式找出规律是解题的关键．20.（1）已知多项式﹣x2ym+1+xy2﹣2x3+8是六次四项式，单项