2022年广西南宁二中高考数学诊断试卷（文科）（5月份）（附答案详解）

2022年广西南宁二中高考数学诊断试卷（文科）（5月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知全集〃={-101,2,3,4},集合4=8={1,2},则Cu（4uB）=（）

A.{4}B.{0}C.{0,4}D.

2.欧拉公式ei"=cosx+is讥x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将

指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数

论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，节表示的复数位于复平面

内（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.四川省现在的高考模式仍要分文理科，某中学在统计高一学生文理科选择意愿时，

抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如图两个等高条形图：

根据这两幅图中的信息，下列结论中正确的是（）

A.样本中的女生数量少于男生数量

B.样本中有文科意愿的学生数量多于有理科意愿的学生数量

C.样本中的男生偏爱理科

D.样本中的女生偏爱文科

4.2021年12月1日，国家发展改革委印发竹苏浙城市结对合作帮扶皖北城市实施方

案》，沪苏浙城市（城区）将与我省部分地市开展“一对一”结对合作帮扶.现有上

海市4B,C三个区，若分别随机结对帮扶皖北。，E,F三座城市，则力区恰好帮

扶。市的概率是（）

5.在等比数列｛an+1｝中，a2=8,a3=26,则Q5=()

A.80B.242C.彳D.244

o

6.是“方程工+>=1表示椭圆”的（）

m-15-m

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知sin(。一$=cos(0+9，则cos28=()

A.史B.-1C.；D.0

22

8.如图所示，圆柱的轴截面是正方形48CD,母线BC=

4,若点E是母线BC的中点，F是卷的中点，则下列

说法正确的是（）

A.EF//AC

B.点尸到平面ABCD的距离为2

C.BF1AC

D.BF与平面4BCD所成的角的大小为W

C.y=/（x）5（x）D.丫幸

10.甲、乙两人解关于x的方程2,+b-2-x+c=0,甲写错了常数b,得到的根为x=-2

或％乙写错了常数c，得到的根为％=0或x=1,则原方程的根是（）

A.%=-2或％=log23B.%=-1或%=1

C.%=0或%=2D.%=-1或%=2

11.已知双曲线C：捺一\=19>0,6>0）的右焦点为尸，左顶点为4M为C的一条

渐近线上一点，延长FM交y轴于点M直线4M经过ON（其中。为坐标原点）的中点/,

且|0N|=2|BM|,则双曲线C的离心率为（）

A.2B.V5C.~D.2>/3

第2页，共18页

12.已知。为坐标原点，过曲线C：y=m》(0VxV1)上一点P作。的切线，交》轴于点

A,则△40P面积取最大值时，点P的纵坐标为()

A.B.C.-包D.-e

222

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量方=(2,1),3=(3,4)，若(23一3)13，则2=.

rx+2y4-1<0

14.已知实数％,y满足不等式组2%—y+2N0,则％的最小值为____.

(%—2y—2<0

15.已知等差数列｛册｝前几项和为Sn,若。3++。13=9,贝!IS*=

16.关于函数/(%)=(cosx—|sin%|)•(cosx+sinx)的下列四个结论中：

①/(x)关于点4,0)对称；

②/(x)在区间[一手，—国内单调递增；

③若f(%i)+/(x2)=-2,则+x2=n+2kn(k6Z)；

④/(x)的对称轴是x=]+kn(kGZ).

则所有正确结论的编号是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知△47c中，a,b,c分别为内角4,B,C的对边,S.2asinA=(2b+c)sinB+(2c+

b)sinC.

(1)求角4的大小；

(2)设点。为BC上一点，2D是AABC的角平分线，且4。=2,b=3,求△ABC的面

积.

18.某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)

的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图.

表1

X12345

y0.511.535.5

(1)求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；

(2)该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计算得年销售量y关于年投资

额X的非线性回归方程j_eO-59xT27,根据e°69yl.8,。0.3及表2数据，请

用残差平方和Q=2匕(%—%)2比较(1)和(2)中回归方程的拟合效果哪个更好?

表2

n2345

1.871的近似值3.25.810.518.9

参考公式:L_工鼠(XLX)(%-y)_l^Xtyi-nxy~---

"一毙式所吞一漂后'a=y-bx-

19.如图,在三棱柱4'B'C'-4BC中，侧棱44'，底面ABC,

AB=AC,BC=曲尺,D、E分别是8C,BB'的中点.

(I)证明：DC'1平面力DE；

(n)试探究三棱锥C—4C'E的体积与三棱锥C'一ADE^J

体积之比是否为定值，若是定值，再进一步求出此定值;

若不是，请说明理由.

20.已知平面上一动点P到定点F(l,0)的距离与它到定直线％=-1的距离相等，设动点

P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)已知点B(2,2&),过点B引圆M：(x-4)2+y2=r2(0<r<2)的两条切线BP,

BQ,切线BP、BQ与曲线C的另一交点分别为P、Q,线段PQ中点N的纵坐标记为九

求4的取值范围.

21.已知函数f(%)=Inx---ax(a6/?).

(1)若x/(x)+ax+1W0恒成立，求a；

(2)若f(%)的两个零点分别为%1，%2(%1<%2)，证明：工1%2>2/・

卜=£+：

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为43「18上为参数)，曲线。与直线

(V=一/---

V5St

%=3相交于时，N两点.

(1)求^OMN的面积；

(2)以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求aOMN外接圆的

极坐标方程.

第4页，共18页

已知函数f(%)=\x-m\.

(1)当m=2时,解不等式/(x)-|x-l|>3；

(2)若函数f(x)=1有三个不等实根，求实数m的取值范围.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：•••集合4=B=[1,2},

二AUB={-1,1,2,3},

又•••全集U={—1,0,123,4},

•••Cu(4UB)={0,4},

故选：C.

先利用并集的运算求出AUB,再利用补集的运算求解.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为=cos]+isin],所以=嬴4荷潦=1一'•

所以该复数在平面第四象限.所以。选项正确.

故选：D.

直接通过定义可求出=COS2+is讥巴直接代入即可求解.

22

本题主要考查复数的运算.

3.【答案】C

【解析】解：由等高条形图得：

对于4,样本中的女生数量多于男生数量，故A错误；

对于B,样本中有文科意愿的学生数量小于有理科意愿的学生数量，故8错误；

对于C,样本中的男生偏爱理科，故C正确；

对于。，样本中的女生偏爱理科，故。错误.

故选：C.

利用等高条形图的性质直接求解.

本题考查命题真假的判断，考查等高条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

4.【答案】B

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【解析】解：上海市4B,C三个区，分别随机结对帮扶皖北D,E,F三座城市，其总

的方法共有心种，其中4区恰好帮扶。市的方法共有掰种.

二A区恰好帮扶。市的概率=暮=；,

故选：B.

利用排列的意义分别得出：上海市A,B,C三个区，分别随机结对帮扶皖北D,E,F三

座城市的方法，A区恰好帮扶。市的方法，利用古典概率计算公式即可得出结论.

本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：设等比数列｛斯+1｝的公比为q，

.a+l26+1

则miq=—3—=—=o3,

八J"a2+l8+1

所以as+1=(a3+1时=27x9=243,

所以=243-1=242.

故选:B.

设等比数列｛an+1｝的公比为q,则q=署,进一步根据+1=（。3+1）才即可求解.

本题考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的标准方程、不等式解法、充分、必要、充要条件的判断，考查了推理

能力与计算能力，属于基础题.

熟悉方程表示椭圆的条件即可列出不等式组，得到m的范围.

【解答】

22

解：，方程急+台=1表示椭圆，

771-1>0

5-m>0,解得1<血<5,且？nH3.

m—15—m

22

•."1<m<5”是“方程上一=1表示椭圆”的必要不充分条件.

771-15-771

故答案选：B.

7.【答案】D

【解析】解：因为sin(。一》=cos(0+》，

所以在sind--cosd=-cosO-—sin。，即sin。=cosO，

2222

则cos2。=cos20-sin20=0.

故选：D.

由已知利用两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式即可求解.

本题主要考查了两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式在三角函数化简求值中的

应用，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：如图，设。是4B的中点，连接OE,OF,

在正方形/BCD中，BC=4,可得。8=2,

在AABC中，可得。E〃力C,贝帕尸与4c不平行，故A错误；

：尸是卷的中点，•••。尸1平面4BCD,.••点F至U平面？1BCD的距离

为2,故8正确；

假设BF14C,「BFIBC,ACQBC=C,

•••BF1平面ABC,BFLAB,

与BF与28不垂直矛盾，.♦.BF与AC不垂直，故C错误；

N4BF是BF与平面4BCD所成角,

vOFLOB,OF=OB,=3故O错误.

故选:B.

证明OE〃/1C,判断4证明OFJ•平面4BCD,判断B；由BF与4B不垂直，判断C；证明

N4B尸是BF与平面4BCD所成角，判断D.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

9.【答案】D

【解析】解：因为/'(X)是非零常数函数的奇函数，g(x)为非零常数函数的偶函数，故

f(x)+g(x)-1，/(x)-g(久)+1是非奇非偶函数，故排除A,B；

分别取％=［片，由c得/(?)=4，g©)=3+1，啰)=L。6)=9+1，

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易知唆>里，故不满足图象c的单调性性质，。满足.

4422叱)5(j)

故选：D.

结合函数的定义域、奇偶性判断即可.

本题考查函数图象的识图问题，抓住函数的性质、特殊值法求解，属于中档题.

10.【答案】D

【解析】解：令t=2H则方程2、+八2一+。=0可化为t2+ct+b=0,甲写错了常

数b,

所以;和?是方程t2+ct+m=0的两根，所以c=一(=+9=*，

乙写错了常数c,所以1和2是方程t2+nt+b=0的两根，所以b=1x2=2,

则可得方程t2—》+2=0,解得t]=|,t2=4,

所以原方程的根是x=—1或x=2.

故选：D.

令t=2,则方程2、+62-，+。=0可化为t2+ct+b=0,根据甲计算出常数c,根

据乙计算出常数b,再将b,c代入关于x的方程2x+b-2r+c=0解出x即可.

本题考查了韦达定理及转化思想，属于基础题.

11.【答案】A

【解析】解：记M为双曲线C：搐一5=19>03>0)的渐近线双一。'=0上的点,

因为|ON|=且|OB|=|BN|,所以4BOM=4BM。，4BMN=ABNM.

所以NF10M.因为右焦点F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离|MF|=赤寒=b,

所以|0M|=\0A\=a.所以NBM。=/.BAO,所以NBOM=/.BAO,

所以Rt4AOB全等于RtAOMN,所以N4B0=40NM,

又因为ZMNB=乙NMB,乙48。=4NBM.

所以AMNB为等边三角形，所以NFNO=60。，所以NMFO=30。，

即3=£加60°=遮，所以e=Jl+)=2.

故选：A.

由中点8,且|ON|=2|BM|得NF1OM,由点到直线距离公式得|FM|=从从而得|OM|=

\OA\=a,通过三角形全等证得△MNB为等边三角形，然后得?从而计算出离心率.

本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题.

12.【答案】C

【解析】解：由y=hix,得y'=：，设切点为

则过切点的切线方程为y-)t=-t),取y=0,得x=t-tint,

则SMOP=j(t-tint)■(-Int)=tint+gt(/nt)2,0<t<1,

令9(t)=一》加t+3(①。2，0<t<1,

则g'(t)=-i(Znt)2+lnt=^(/nt)2+|Znt-3

令u=/nt(u<0),则/iQ)=g'(t)=|u2+|u-p

由九Q)=0,得比=亨>0(舍去)，或u=*|=i,

h(u)>0在(一8,弯二)上恒成立，h(u)<0在(当二,0)上恒成立，

又“=，nt为定义域内的增函数，.•.△40P面积取最大值时，点P的纵坐标为-3.

2

故选：C.

由y=lnx,得y'=3设切点为。仇t),得到过切点的切线方程，求出4点横坐标，写

出三角形40P的面积，令g(t)=-］仇t+：tgit)2,0<t<l,利用导数求最值，即

可得到△40P面积取最大值时的P的纵坐标.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查运算

求解能力，是中档题.

第10页，共18页

13.【答案】|

【解析】解：•.响量方=(2,1),b=(3,4)，(Aa-b)1K，

(入五-b)•b=入五•b—b=10A-25=0，

则4=I,

故答案为：I.

由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算

法则，计算求得;I值.

本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算

法则，属于基础题.

14.【答案】-2

%+2y+1<0

【解析】解：画出不等式组2%-y+2N0表

—2y—2<0

示的平面区域，如图所示：

设目标函数为Z=x,

平移目标函数，当目标函数过点4时，Z取得最

小值，

由隹K髭益得心3),

所以Z的最小值为Zmin=-2,即X的最小值为一2.

故答案为：-2.

画出不等式组表示的平面区域，设目标函数为z=x,平移目标函数找出最优解，从而

求出X的最小值.

本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题.

15.【答案】51

【解析】解：数列｛an｝前n项和为S”，若&3+an+a13=9,

dg-6d++2d+的+4d=9,

:.3a9=9,

CLg=3,

・•・S0—17a9=51.

故答案为：51.

根据等差数列的性质和求和公式即可求出.

本题考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础题.

16.【答案】②③

【解析】解：因为/⑺=1,/(一,=1，

所以/Xx)不关于点C，。)对称，故①错误；

当xE[2kn,2kn+n\(kGZ)时，

f(x)=(cosx—sinx)■(cosx+sinx)=cos2x,

当xe\2kn+n,2kn+2n](kGZ)时，

=(cosx+sinx)•(cosx+sinx)=1+sin2x,

作出的图像如图所示，

由图像可知/(x)在区间[一三，-扪内单调递增，故②正确；

因为/(/)+/(&)=—2,

所以/(%1)=—1，/。2)=-1，%1=1+2自兀，k]€Z,X2=1+2的兀，k26Z,

所以+必=TT+2kTT(k€Z),故③正确；

由图像可知/Q)的图像不关于x=-5对称，故④错误.

故答案为：@(3).

取特殊值判断①，化简函数表达式，作函数图像判断②，③，④.

本题考查了三角函数的图象及性质，难点在于作出/(X)的图象，属于中档题.

17.【答案】解：(1)在4ABC中，由正弦定理及2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC得:

a2—b2—be=c2,

由余弦定理得cosA=〃-a__i

2bc2

又0<4<兀，所以a=g.

第12页，共18页

(2)4。是AABC的角平分线，^BAD=ADAC=p

由SUBC=SAABD+SASD可得法sin年=[cxADxsin^+^bxADxsin以

因为b=3,AD=2,即有3c=2c+6,c=6,

故SAABC=|bcsinA=1x3x6Xy=等.

【解析】(1)由已知，根据正弦定理化简已知等式可得a?=廿+©2+儿，由余弦定理可

求cosA=-i,由4G(O,TT),可得4的值.

(2)4。是4ABC的角平分线，4B4D=Z.DAC=进而由SAMC=S^ABD+SASD可求b，

可求面积.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考

查了计算能力和转化思想，属于基础题.

18.【答案】⑴由题意工="2+；+4+5=3,y=。5+1+；5+3+5.5=⑶

h.-1X0.5+2X1+3X1.5+4X3+5X5.5-5X3X23—]./,

—12+22+32+42+52-5X32-'

a=2.3—1.2x3=-1.3，

所以线性回归方程为;=1.2x-l.3：

(2)按y=1.2x-1.3可得：

Rl=l-。噌-。；)丫。沪:闷+产«0,8834

10.52+12+1.52+32+5.52-5X2.32

按y=6。69尸1.27可得：

R2=]_(-0.04)2+0.042+(-0.24)2+(-0.15)2+(-0.17)2

2〜0.52+12+1.52+32+5.52-5X2.32〜’‘

显然放＞好，第二种非线性回归方程拟合效果更好.

【解析】(1)求出3亍，根据公式计算出人，.得线性回归方程；

(2)根据回归方程分别求得%,然后计算R2比较可得.

本题主要考查线性回归方程的计算，回归方程的实际应用等知识，属于中等题.

19.【答案】(/)证明：在三棱柱ABC—4BC中，AA=CC=BB,

“一CC_CC_2CC_nz

所以而一IcB-V2CC-7'

2

所以*=起=缪=鱼，

BE±BBBB

2

所以△CCCSADBE,所以4CCD=ND8E,

因为“CD+NCDC=90。，ABDE+ACDC'=90°,

所以NCDE=90。即：CD1DE,

所以AB=4c且。为BC的中点，

所以4。1CB,

又已知得在直三棱柱4B'C-4BC中，平面BB'CC，平面ABC,且交于BC,

所以4。平面BBCC,所以4。1DC.

又因为DE_LDC=D,所以DCJ■平面ADE.

解：(〃)结论：三棱锥C-ACE的体积与三棱锥C—4DE的体积比是定值.

设44'=a,则8C=应a,

因为。、E分别是BC,B8'的中点，

所以CD=-BC=—a,BE=-BB'=-a,

2222

所以。C=、CC，2+CD2=Ja2+(\a)2=Ra，

DE=y/BD2+BE2=J(ya)2+(ia)2=Ja，

由等体积法可知：^C-ACfE=^A-CCrE9

^Cf-ADE~^Ci-DCE^

»C-4C，E_匕4-CC，E_平面BBUC.CC/XC/B

V

O-ADEVA-DOE扣4一平面BBC，C.”"DE

_CCfxCB

DCfXDE

a-\f2a

4

=­

3,

【解析】(/)由已知可得益=累，则△CCDQDBE,所以有“CD=4DBE,结合已知

可得CD1DE,AD_L平面BBCC,贝何。1DC,再利用线面垂直的判定定理可证得结论，

(〃)设出各边长，再利用等体积法即LC-ACE=^A-CC'E'^C'-ADE~^C'-DCE,可求得结论.

本题考查棱锥的体积，考查学生的运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)设P(x,y),

根据题意可得—1)2+y2=|x+1|,

化简得(X-l)2+y2=(x+l)2,

第14页，共18页

所以y2-4x,

所以曲线C的方程为y24x.

(2)由已知8(2,2夜)，所以切线BP,BQ的斜率存在，

设切线BP的方程为ykix-2+2\/2,

,12kl+2回

则圆心M(4,0)到切线4P的距离d=,的=「，

所以(4-好+8•七+8-r2=0.

设切线BQ的方程为y=k2(x-2)+2e，

22

同理可得(4-r)kj+8A/2/C2+8-r=0.

所以七心是方程(4—r2)/c2+Sy/2k+8—r2=0的两根,

所以七+九2=普，七七=皆

设POlM，＜?(*2而，

联立一2)+2佟得的y2_4y_8的+8&=0,

所以2或%=型修，

所以丫1=-2&+京，

K1

同理乃=_2&+2，

K2

所以4=生3=-2后/+（-2遮）+1

22

=2&+2Q+J

=2&+2•然

"水2

8叵

=-2鱼+2参

4-r2

=一2五-空,

8-r2

因为。电所以3＜占＜4

所以—6/<—2y/2—<—4立.

8-rz

所以4的取值范围为(-6立,-4&).

【解析】(1)根据曲线轨迹方程的定义求解;

(2)设切线BP的方程为y=kKx-2)+2V2.切线BQ的方程为y=fc2(x-2)4-2迎，所

以刈+公=普，上也=£'再求出”牛=-2企-第即得解.

本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识,

属于中等题.

21.【答案】解：(1)定义域为(0,+8),%/(%)+ax+1工0得a/一一%仇工之o,即

ax—a—Inx>0,设g(%)=ax—a—Inx,

因为。(1)=0，>0,故“(1)=0,而g'(%)=Q—：，g'(l)=a-l,得Q=1,

若a=1,则g'。)=1一%

当Ovxvl时，g((x)<0,g(x)单调递减；当x>l时，gf(x)>0,g(x)单调递增.

所以％=1是g(%)的极小值点，故g(%)>g(l)=0.

综上，a=1.

lnx1_三=a/

X；,两式相加得mX/2-十L=aQi-犯),

仇-7=ax212

(x2

两式相减得1咤一失干=a(x2一%)，即上吐+」一=°,

Xi*1必X2-X1xrx2

所以"3詈=+±)(%1+不)’

x2^xlxlx2

即比》62-2*曾=尹争吟，显然0cxi<%2,记t=

令F(t)=1nt-乎则/«)=窗壬>0，

所以f(t)=/nt-手乎在(1,+8)上单调递增，则尸(t)>F(l)=0,

所以,3笔2,则咋〉笔”即肾琮>2,

所以配%1%2-2X山=5巾包>2,

Xrx2X2-Xr

—X

所以m工1%22X——<仇工1%2-—--=2lnylxrx2—/4,

「4

所以2"后为--7==>2,即皿〃1%2->1，

Vxlx2

令G(x)=，n%-j则x>0时，^(%)=i+^>0,

所以G(x)在(0,+8)上单调递增，又言>2企>e，故号>等，

所以G(夜e)=In(鱼e)一卷=1/n2+l-y<1,

所以G(后拓)=In扃莅一/丁>1>G(应e),则后石'>V^e,即勺不>2e?.

【解析】(1)由已知不等式恒成立整理得ax