2024中考数学函数综合专题-教师版

2024中考数学函数综合专题存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物或事件是否存在的问题，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件或挖掘出隐含条件，辅以方程思想等，进行正确的计算、推理，再对得出的结果进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合．若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在．【考点一：等腰三角形】问题：已知点和点，找一点，使得为等腰三角形．如果是等腰三角形，那么存在=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③三种情况.解法1：几何法（两圆一线）（1）作的垂直平分线，垂直平分线上的所有点（除了和、在同一直线上）都满足条件；（2）分别以点、为圆心，为半径作圆，圆上的所有点（除了和、在同一直线上）都满足条件；（3）利用等腰三角形的性质、勾股定理、相似、三角函数求出线段长，由线段长得点的坐标.举个例子：在平面直角坐标系中，为坐标原点，，在轴上找一点，使为等腰三角形，求满足条件的所有点的坐标.【解题思路】连接，作线段的垂直平分线，再分别以、点为圆心，线段长为半径画圆，所画的“两圆一线”与轴的四个交点、、、即为所求．解法2：代数法罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．【例1】在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为，点在轴上，作直线．点关于直线的对称点刚好在轴上，连接．图1图2（1）写出一点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；（2）点在线段上，连接、、，当是等腰直角三角形时，求点坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向原点运动，到达点时停止运动，连接，过作的垂线，交轴于点，问点运动几秒时是等腰三角形．【解答】解：（1）的坐标为、点的坐标为，，，，，与关于直线对称，垂直平分，，，，设点，，，在中，，，，，设直线的解析式为，把，代入可得，，；（2）垂直平分，，是等腰直角三角形，，过点作轴，轴，，，，，，，，，设点代入中，，；（3）同（2）可得，，，，，①当时，轴，，，，点运动时间为1秒；②当时，、，，，，，点的运动时间为秒；③当时，设，则，在中，，，，，，点的运动时间为秒；综上所述：点的运动时间为1秒或秒或秒．【变式训练11】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使为等腰三角形？请在图中画出部分符合条件的点，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）将，代入，可得，，；（2）存在满足条件的点；【变式训练12】如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于点、点，，，把、坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为；（2），抛物线对称轴为，，设，且，，，，为等腰三角形，有、和三种情况，①当时，则有，解得，此时；②当时，则有，解得（与点重合，舍去）或，此时；③当时，则有，解得或，此时或；综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或；【考点二：直角三角形】问题：已知点和点，找一点，使得为直角三角形．如果是直角三角形，那么存在=1\*GB3①是直角=2\*GB3②是直角=3\*GB3③是直角三种情况.解法1：几何法（两线一圆）先分类；再画图，作辅助线构造相似三垂直模型或者找到相等角度的三角函数；最后列比例式求解.举个例子：在平面直角坐标系中有两点，，是坐标轴上的一点，若是直角三角形，则满足条件的点共有()个【解题思路】两线：分别过、做线段的垂线，与轴分别有一个交点；一圆：以为直径做圆，可与坐标轴交于，，，四点．根据直径所对的圆周角是，满足条件的点共有4个，再加上两线与轴的交点共有6个．解法2：代数法（勾股定理）先罗列三边；再分类根据勾股定理列方程；最后解方程、检验.【例2】如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）抛物线过点，解得：这条抛物线对应的函数表达式为（2）在轴上存在点，使得为直角三角形．顶点设点坐标为，①若，则解得：②若，则解得：，或③若，则解得：综上所述，点坐标为或或或时，为直角三角形．【变式训练21】如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接，，．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：平分；（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将，代入得：，解得：，．抛物线的解析式为．（2），，．取，则．由勾股定理可知．，，．．在和中，，，，，，平分；（3）如图所示：抛物线的对称轴交轴与点，交与点．抛物线的对称轴为，则．，，．．．，，．同理：．又，，，．点的坐标为，或，． 【考点三：平行四边形】解平行四边形的存在性问题一般分为三步：寻找分类标准；画图；计算.难点在于寻找分类标准，可分为以下两种类型：三定一动型：以已知的三个定点为三角形的三个顶点，过每个点画对边的平行线，三条平行线相交形成一个大三角形，大三角形的三个顶点可能就是所求点.举个例子：在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。两定两动型：由于平行四边形的任意两个顶点相连产生两种线段（边或对角线），所以可以按照确定的线段分为边或对角线展开讨论.根据平行四边形的对边平行且相等，灵活应用坐标平移；根据平行四边形中心对称，灵活应用坐标对称（参考中点坐标公式）。【例3】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，把代入得，解得，所以抛物线解析式为，即；（2）设，则，=1\*GB3①当为边时，当，时，点、、、为顶点的四边形为平行四边形，判断有2个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形．如图2，则，解得（舍去），，此时点坐标为，或，解得，（舍去），此时点的坐标为，=2\*GB3②当为对角线时，则，解得，此时不成立综上所述，点的坐标为或，．【变式训练31】如图，抛物线与轴交于两点和，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，与直线相交于点（1）求抛物线的解析式；（2）当点在直线下方的抛物线上运动时，线段的长度是否存在最大值？存在的话，求出其最大值和此时点的坐标；（3）若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的所有坐标．【解答】解：（1）把点、代入，得：，解得，抛物线的解析式是；（2）存在．设直线的解析式为，求得点的坐标为，把点，代入，得：，解得，．设点的坐标为，则点的坐标为，，当时，取最大值2，此时，；（3）①当在下方时，，，，当时，四边形为平行四边形，则，解得，此时；②当在上方时，，令，解得，此时，或，，综上所述，点的坐标是或，或，时，都可以使，，，为顶点的四边形为平行四边形．【变式训练32】如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，动点在抛物线上运动．（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．【解答】解：（1）抛物线经过点，点，，解得，抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴为直线，，当时，则，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，点坐标为或；当时，此时点在轴下方（另一种情况已经讨论过）以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则，把代入得，解得，，此时点坐标为，，，，综上所述，点坐标为或或，或，．【考点四：全等与相似】1.解决全等三角形的存在性问题要分三步走：第一步：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类；注：全等三角形存在性问题主要几何对应关系及不变特征考虑分类.第二步：画图求解，往往从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应关系和不变特征列方程求解.第三步：回归点的运动范围、画图或推理，验证结果.2.解决相似的存在性问题要分两步走：第一步：先找到一组显性的相等角；第二步：再以这两个关键的相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程即可；在第二步分类列方程中，建议同学们先固定一个三角形的顺序，将另一个三角形换个顺序即可.【例4】如图，已知抛物线经过点、，与轴的另一个交点为．（1）求出抛物线的解析式．（2）如图，将绕的中点旋转得到，试判断四边形的形状．并证明你的结论．（3）如图，在抛物线上是否存在点，使得以、、三点为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式并解得：，，故：抛物线的解析式为：；（2）四边形为矩形．抛物线与轴的另一个交点为：由勾股定理求得：，，又，由勾股定理的逆定理可得：直角三角形，故；已知，绕的中点旋转得到，则、互为对应点，由旋转的性质可得：，所以，四边形为平行四边形，已证，四边形为矩形；（3）存在点，使得以、、三点为顶点的三角形与全等，则点与点关于函数对称轴对称，故：点的坐标为．【例5】如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点为的中点．（1）求的值；（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设对称轴交轴于点，函数的对称轴为：，点为的中点，则点，将点的坐标代入抛物线表达式并解得：，故抛物线的表达式为：①；（2），点，设过点作轴，如图，，，即，或，，，解得，故点或；（3）不存在，理由：，则①当点时，则的表达式为：③，联立①③并解得：（舍去）或，故点，，此时，故点不存在；②当点时，同理可得：点，，此时，故点不存在；综上，点不存在．【变式训练51】如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4．（1）如图①，在AB上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；（2）如图②，若OE上有一动点P（不与O，E重合），从点O出发，以每秒1个单位的速度沿OE方向向点E匀速运动，设运动时间为t秒，过点P作PM⊥OE交OD于点M，连接ME，求当t为何值时，以点P、M、E为顶点的三角形与相似？【解答】解：（1）由翻折的性质可知：OE＝OA＝5．在Rt△OCE中，．∴点E的坐标为（3，4）．∴．设，则．由翻折的性质可知：．在中，，即．解得：．∴．∴点D的坐标为（5，）．（2）由翻折的性质可知：，．∵，∴．∴．∴．当点P、M、E为顶点的三角形与相似时，有或，∴或．①当时，在和中，，∴，∴PE＝PO．∴t＝；②当时，OP＝t，则PE＝5﹣t．∵，∴，∴．∴．∵∴tan∠PME＝tan∠DOA，∴即．解得：t＝4．综上所述，当t＝或4时，以点P、M、E为顶点的三角形与相似．【变式训练52】如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线的表达式为．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线上有一点，使的值最小，求点的坐标；（3）在轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把代入，得：，．把代入得：，，将、代入得：，解得，．抛物线的解析式为．（2）如图所示：作点关于的对称点，则．与关于对称，．．当、、在一条直线上时，有最小值．设的解析式为，则，解得：，．的解析式为．将与联立，解得：，，点的坐标为，．（3），．又，，，，．，．，，，．．，．当的坐标为时，．如图所示：连接，过点作，交轴与点．为直角三角形，，．又，．，即，解得：．．综上所述，当的坐标为或时，以、、为顶点的三角形与相似．角度问题问题：、为定点，在抛物线上（解析式已确定）上找一点使得：1．定角（如、、图中另外一个定角等）2．2定角举个例子：在抛物线上（解析式已确定）上找一点使得：【解题思路】作出满足题意的直线（两条红色直线），从图中可以轻而易举的看出直线上的两点的坐标，从而求出一次函数解析式，所求点就是一次函数和抛物线的交点.步骤总结：(1)作出满足题目要求的直线；（2）利用三角函数、相似等求出直线上的点的坐标，从而求出一次函数解析式；（3）联立方程，求出所求点的坐标.【例6】已知二次函数的图象如图所示.二次函数的图象上是否存在一点使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：将带入解析式，得，如图2，当点在直线上方时，记直线与轴的交点为，，，，则，，则，，求得直线解析式为，联立，解得或，，；如图3，当点在直线下方时，记直线与轴的交点为，，，，则，，，求得直线解析式为，联立，解得：或，，，综上，点的坐标为，或，．【变式训练61】已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标；（3）如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标；【解答】解：（1）将点和点代入解析式得，解得：，故抛物线的表达式为：①，顶点坐标为；（2），，，，，则点；（3）如图2，设直线交轴于点，，，，，则直线的表达式为：②，联立①②并解得：（舍去正值），故点，；【变式训练62】若二次函数的图象与轴、轴分别交于点、，且过点．（1）求二次函数表达式；（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且，求点的坐标；（3）在抛物线上下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）二次函数的图象经过点、、解得：二次函数表达式为（2）如图1，记直线交轴于点，过点作轴于点设，，设直线解析式为把点代入得：直线当时，，解得：，，即点一定在点左侧解得：，（舍去）点的坐标为（3）在抛物线上下方）存在点，使．如图2，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，过点作轴于点垂直平分，、，，，，中，，，，设直线解析式为把点代入得：，解得：直线当，解得：（舍去），点横坐标为，即点到轴的距离为．直击考点限时：40min1.（2019•大洼区三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为．（1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标．（2）试判断的形状，并说明理由．（3）若点在轴上，点在抛物线上．是否存在以、、、为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）探究坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点，解得，抛物线的解析式为．顶点的坐标为；（2）是直角三角形．理由如下：如图1，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、．在中，，，在中，，，在中，，，为直角三角形．（3）①当点的纵坐标为3时，把代入求得或，；②当点的纵坐标为时，把代入求得或，，，，，综上，点的坐标为或，或，．（4）由（2）知，，，①，，故当是原点时，；②当是直角边时，若与是对应边，设的坐标是，则，，即，解得：，则的坐标是，三角形不是直角三角形，则不成立；③当是直角边，若与是对应边时，