重庆市渝北区松树桥中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

重庆松树桥中学校高2026届高一数学第二次诊断试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果.【详解】，.故选：C.2.已知函数，则=（）A2 B.12 C.7 D.17【答案】D【解析】【分析】利用解析式直接求解即可.【详解】，.故选：D.3.设，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由包含关系判断即可.【详解】不等式：，所对集合为，不等式化为：，于是得“”所对集合为，显然是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，再举出反例即可得出答案.【详解】解：因为，所以，即，所以，故B正确；当时，，故A错误；，故C错误；，故D错误.故选：B5.下列四组函数中，与表示同一函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义：判断定义域是否相同，定义域相同时，对应法则是否相同，由此可得结论．【详解】四个选项中函数的定义域都是实数集，AC选项中函数的定义域是，D选项迥函数定义域是，定义域不相同，不是同一函数，B选项定义域是，根据绝对值定义知对应法则也相同，是同一函数．故选：B．6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：B．7.是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为是定义在R上奇函数，所以当时，，此时，解得，当时，，（当且仅当时取等号，即时取等号），即当时，，要想若对一切成立，只需，综上所述：，故选：B8.设定义在上的函数是偶函数，且在为增函数.若对于，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】函数是偶函数，且在为增函数，可以得到函数在为减函数，根据单调性以及的大小关系，分别判断各选项中函数的大小即可【详解】因为函数是偶函数，且在为增函数，所以函数在为减函数A选项中，因为，且，则，因为函数在减函数，所以选项A错误B选项中，因为函数为偶函数，所以等价于，因为，所以，在为增函数，所以，即，所以B选项错误同理，C选项错误D选项中，等价于，所以D选项正确故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知正数x，y满足，若恒成立，则实数m的值可能是（）A. B.1 C. D.2【答案】BC【解析】【分析】将问题转化为求解的最小值，利用基本不等式求解最值，然后再利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】已知正数x，y满足，则，当且仅当，即时取等号，所以，因为恒成立，则，解得：.所以实数m的取值范围为：.故选：BC.10.下列说法正确是（）A.若幂函数过点，则B.函数表示幂函数C.若表示递增的幂函数，则D.幂函数的图像都过点，【答案】AC【解析】【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；对于B，函数不是幂函数，B错误；对于C，是幂函数，则，解得或，当时，在上单调递减，不符合题意，当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；对于D，幂函数不过点，D错误.故选：AC11.下列说法正确的有（）A.“，”的否定是“，”B.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是C.若，，，则“”的充要条件是“”D.“”是“”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程无解，则，即可判断B；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.【详解】解：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以“，”的否定是“，”，故A正确；对于B，若命题“，”为假命题，则方程无解，所以，解得，所以实数的取值范围是，故B正确；对于C，当时，，则由不能推出，所以“”的充要条件不是“”，故C错误；对于D，若，则，故由可以推出，若当时，，则由不可以推出，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：ABD.12.定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示．给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（）A.方程有且仅有三个解 B.方程有且仅有三个解C.方程有且仅有九个解 D.方程有且仅有九个解【答案】A【解析】【分析】求得方程解的个数判断选项A；求得方程解的个数判断选项B；求得方程解的个数判断选项C；求得方程解的个数判断选项D.【详解】选项A：函数与x轴有3个交点，则由，可得有3个可能的取值，又为单调递减函数，则方程有且仅有三个解.则选项A判断正确；选项B：由函数为上单调递减函数，则由方程，可得有1个可能的取值，且，则方程有且仅有2个解.则选项B判断错误；选项C：选项C：函数与x轴有3个交点，则方程有3个可能的取值，，三个方程分别有3，3，1个根，则方程有且仅有7个解.则选项C判断错误；选项D：函数为上单调递减函数，则由方程，可得有且仅有1个取值，则方程有且仅有1个解.则选项D判断错误.故选：A三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，若，则实数的值为______．【答案】##【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论，即可求得结果.【详解】当，即时，集合，不满足互异性，故舍去；当，即（舍）或，此时，集合满足题意.综上所述，实数的值为.故答案为：.14.已知，则函数的解析式为____．【答案】【解析】【分析】利用配凑法求函数解析式.【详解】解：因为所以.故答案为：15.若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分为和考虑，当时，根据题意列出不等式组，求出的取值范围.【详解】当得：，满足题意；当时，要想保证关于的不等式的解集为R，则要满足：，解得：，综上：的取值范围为故答案为：16.已知函数，对任意，有，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得函数在上单调递增，化简函数为，利用反比例函数的单调性，即得解【详解】由题意，对任意，有故函数在上单调递增，又，由反比例函数的单调性，可得只需即.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算化简：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用分数指数幂的运算法则进行计算即可得解.【小问1详解】.【小问2详解】.18.已知，．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）先解出集合A，由，得到，列不等式，即可求出的取值范围；（2）由，得到，分、，列不等式，即可求出的取值范围．【小问1详解】，，因为，则，所以，解得，则的取值范围为．【小问2详解】，当时，则，解得；当时，，此时无解，综上，实数的取值范围是．19.已知函数．（1）若函数在上是减函数，求的取值范围；（2）当时，设函数的最小值为，求函数的表达式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据单调区间与对称轴的关系求解；（2）分对称轴与区间的关系求函数最小值.【小问1详解】函数对称轴为，开口向上，又函数在上是减函数，所以.【小问2详解】函数对称轴为，开口向上，①当时，函数在上单调递增，所以；②当时，函数在上先单调递减后单调递增，所以；③当时，函数在上单调递减，所以．故；20.已知函数（1）求关于x的不等式的解集；（2）若在区间上恒成立，求实数a的范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）因式分解，再讨论二次方程两根的大小关系求解即可；（2）参变分离可得在区间上恒成立，再换元令，根据基本不等式求解最值即可.【小问1详解】即，故：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【小问2详解】在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立.令，则在区间上恒成立.又，当且仅当，即，时取等号.故，故实数a的范围是21.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）先判断函数在上的单调性，并证明；（3）求使成立的实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）在上为增函数，证明见详解；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由可得的值，将、的值代入函数的解析式即可得答案；（2）设，用作差法分析可得，由函数单调性的定义即可得证明；（3）由奇函数的性质可以将变形为，结合函数的定义域与单调性可得的取值范围．【详解】（1）根据题意，是奇函数，则有，则有，解可得；．，，解可得.；（2）在上为增函数；证明如下：设，则，，则有，，，，则有，即．在上为增函数；（3），，又是定义在上的奇函数，，则有，解可得：；故不等式的解集为．【点睛】关键点睛：利用函数单调性定义证明时，需要严格按照步骤格式，注意取值的任意性，作差后注意变形，变形的目的利用条件及不等式性质判断差的正负.22.某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．【答案】（1），该设备从第2年开始实现总盈利；（2）方案二更合适，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可