数学七年级下学期3.10+乘法公式

专题3.10乘法公式（知识讲解）【学习目标】1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式；；；.【典型例题】类型一、运用平方差公式进行运算 1．已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．【答案】7【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．解：==∵∴∴原式=7．【点拨】本题考查整式的化简求值．举一反三：【变式1】计算：.【答案】2【分析】在前面乘一个2×（1-），然后再连续利用平方差公式计算.解：原式=2（1-）（1+）…（1+）+=2（1-）+=2-+=2【点拨】本题考查了平方差公式的运用，添加2×（1-）是解题的关键.【变式2】运用乘法公式简便计算:(1)99972

(2)【答案】(1)994009；(2)1.【分析】（1）直接利用完全平方公式求出即可；（2）利用平方差公式进而求出即可．解：（1）（9997）2=（10000-3）2=100000000+9-2×3×10000=99940009；（2）11862-1185×1187=11862-（1186-1）×（1186+1）=11862-11862+1=1．【点拨】此题主要考查了完全平方公式以及平方差公式的应用，熟练掌握乘法公式是解题关键．类型二、平方差公式与几何图形 2．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．【答案】（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33．【分析】（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.解：（1）矩形的长为：m﹣n，矩形的宽为：m+n，矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，当m=7，n=4时，S=72-42=33．【点拨】本题考查了长方形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．举一反三：【变式1】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用字母表示）（2）请应用这个公式完成下列各题①计算：②计算：【答案】（1）；（2）①；②5050．【分析】（1）分别由图①、②求出阴影部分的面积，即可得出结论；（2）①利用添括号法则将b-c看成一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可；②利用平方差公式计算即可．解：（1）由图①可知：阴影部分的面积为；由图②可知：阴影部分的面积为∴故答案为：；（2）①；②原式．【点拨】此题考查的是平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键．【变式2】在边长为a的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（a>b），如图①①

②（1）由图①得阴影部分的面积为.（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为.（3）由（1）（2）的结果得出结论：=.（4）利用（3）中得出的结论计算：20172－20162【答案】（1）a2－b2；（2）(a+b)(a－b)；（3）a2－b2；(a+b)(a－b)；（4）4033.解：试题分析：(1)利用正方形面积公式求解.(2)利用三角形面积公式求解.(3)平方差公式的图形证明.(4)利用平方差公式简便计算.解：（1）图①阴影部分的面积为a2－b2.（2）图②阴影部分的面积为(2a+2b)(a－b)÷2=(a+b)(a－b).（3）由（1）（2）可得出结论：a2－b2=(a+b)(a－b).（4）20172－20162=(2017+2016)(2017－2016)=4033.类型三、运用完全平方公式进行运算 3．计算：．【答案】【分析】利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则，计算合并同类项即可解：.【点拨】本题考查了完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握公式，准确合并计算是解题的关键．举一反三：【变式1】化简并求值：，其中．【答案】；0【分析】根据非负数的性质以及整式的运算法则即可求出答案．解：由题意可知：x−1＝0，y＋2＝0，∴x＝1，y＝−2，∴＝−3x2＋4y2−y−（4y2−x2）＝−3x2＋4y2−y−4y2＋x2＝−2x2−y，当x＝1，y＝−2时，原式＝−2＋2＝0．【点拨】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【变式2】计算：【答案】【分析】根据平方差公式和完全平方公式化简即可；解：原式；故答案是．【点拨】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，准确分析化简是解题的关键．类型四、运用平方差公式的变形求值 4．已知x2﹣3x+1＝0，求x2的值．【答案】7【分析】先将等式两边同时除以x，并整理可得x3，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x﹣30，∴x3，∴x2（x）2﹣2＝32﹣2＝7．【点拨】此题考查的是等式的变形和完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题关键．举一反三：【变式1】已知，求下列各式的值．（1）；（2）．【答案】（1）36；（2）26．【分析】（1）直接将代入中，求值即可．（2）可变为，再将，代入变化后的式子求值即可．解：（1）∵，∴，∴的值为36．（2）∵，∴，代入上式得：．∴的值为26．【点拨】本题考查代数式求值，掌握完全平方公式结合整体代入的思想是解答本题的关键．【变式2】已知，求的值．【答案】7【分析】利用完全平方公式化简，再结合整体代入法解题即可．解：∵①，②，①+②得，①-②得，∴．【点拨】本题考查完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．类型五、完全平方公式的系数 5.如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=_________．【答案】4或﹣2解：试题分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，∴﹣2（k﹣1）ab=±2×a×3b，∴k﹣1=3或k﹣1=﹣3，解得k=4或k=﹣2．即k=4或﹣2．故答案为4或﹣2．点评：本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．举一反三：【变式1】当k取何值时，是一个完全平方式？【答案】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．解：∵100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式，∴﹣k＝±2×10×7，∴k＝±140，即当k＝±140时，100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式．【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解本题的关键．【变式2】（1）计算：．（2）已知，，，求多项式的值．【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）根据完全平方公式将原式分解为两部分，两次运用完全平方公式求出（2）将多项式转化为几个完全平方式的和，再将，，分别代入求值.解：（1）也可以这样解：（2），，．由于，，，我们有，，．三式相加，可得．从而原式【点拨】本题考查完全平方式，解题关键在于熟练掌握计算法则.类型六、完全平方公式的几何运用 6.（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：_________．方法2：_________．（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：_________．（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图2，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=10，ab=24，求阴影部分的面积．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）方法1：两个正方形面积之和，方法2：大正方形面积-两个小长方形面积；（2）由题意可直接得到；（3）由，化简成，的形式，再代入数据即可求阴影部分的面积．解：（1）由题意可得：方法1：

，

方法2：，故答案为：，；（2），故答案为：；（3），∵，，．【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是本题的关键．举一反三：【变式1】如图，甲、乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中m为正整数）．（1）图中的甲长方形的面积，乙长方形的面积，试比较、的大小，并说明理由；（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数．【答案】（1），理由见解析；（2）9【分析】（1）首先利用多项式乘以多项式，将表示出来，再做差，根据m为正整数判断结果正负即可得出结论；（2）首先根据甲长方形的周长表示出正方形的面积，再计算出，即可求得这个常数．解：（1），，∴，∵m为正整数，∴，∴．（2）图中甲的长方形周长为，∴该正方形边长为，∴，∴，∴这个常数为9．【点拨】本题考查多项式乘以多项式和完全平方公式与几何图形面积问题，解题关键是掌握多项式乘以多项式和完全平方公式．【变式2】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形水池．（1）试用含，的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．（2）求出当，时的绿化面积．【答案】（1）；（2）

绿化面积为．【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；（2）将与b=1的值代入计算即可求出值．解：（1）根据题意得：，=，=，（2）当，时，原式=．【点拨】本题考查了整式的加减乘混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．类型七、整式的混合运算 7.已知，求代数式的值．【答案】，-2【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体代入求值即可．解：原式=∵，∴，∴，∴原式=．【点拨】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．举一反三：【变式1】先化简，再求值：（x+y）（x-y）-（4x3y-8xy3）÷2xy，其中x=-1，y=.【答案】，．【分析】先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．解：，，，，当时，原式．【点拨】本题考查了整式的混合运算