第5章波动学基础-杨宏春概述

力学·波动学基础授课教师

杨宏春力学·内容结构力学的内容结构体系波动学基础·机械波概述5.1机械波概述(1)相关概念机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波形成条件：存在波源；存在传播波的弹性介质纵波：振动方向与波的传播方向相同的波横波：振动方向与波的传播方向互相垂直的波传输条件：纵波可在固、液、气等媒质中传播，横波只在固态媒质中传播(2)机械波产生的物理机制波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远向外传递振动的结果波动学基础·机械波概述结论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率(3)机械波模型振源与观察者保持相对静止弹性介质无阻尼或能量吸收——波在传递过程中振幅不变波动学基础·机械波概述(4)机械波的运动学方程目标：给出距振源任意距离x处质点的振动方程推导：设t

时刻x=0

处的质元振动方程为t

时刻x

处的质元振动相位t

时刻x

处的质元振动频率应当等于振源的频率波矢波动学基础·机械波概述讨论描述一个机械波，需要确定

A，

，k，波函数给出任意时刻t，媒质各质点的振动状态(相位或振动状态)波函数给出了任意时间段

t=t2-t1

媒质各质点振动状态差(5)描述机械波的解析参量波长

(

)：沿波传播直线上两个相邻同相点

(相位差为2

)

之间的距离波数

(

)：波长的倒数称为波数或单位长度所包含的完整波的数目频率(

)：单位时间内给定的完整波的个数周期(T)：传递一个完整波所需的时间或频率的倒数波速(v)：单位时间波向外传播完整波数对应的距离波动学基础·机械波概述波长、频率、相位之间的普适关系波动学基础·机械波概述例5.1.1：直线右行平面简谐波

v=

20

m/s，A

点的振动方程

y

=3

cos4

t求：(1)以A为坐标原点的波动方程(2)以B为坐标原点，写出波动方程(3)以B为坐标原点，C、D两点的振动方程及振动速度表达式(1)由解：A=3，

=4

，

=0，依简谐波标准方程波函数为(2)以B为坐标原点，写出波动方程波动学基础·机械波概述(6)描述机械波的几何参量波线：波向外传播的方向构成的曲线波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同波矢：表示波线任意点方向，且具有一定模值的矢量波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面波前：某时刻介质中刚开始振动的点构成的曲面波动学基础·机械波概述A波线与波面、波前一定垂直。B波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程课堂讨论：波前的相位等于波源的初相位证明：设振源的简谐振动为时刻t

振源的相位为设机械波传到波前所需时间为

t，波前的相位比振源相位落后

t于是，t

时刻波前的相位为波动学基础·动力学方程波动动力学方程典型波动的动力学方程(1)轻质、柔弦的横波方程由牛顿定律微振动时如果弦在振动过程中还受到力密度(F/则)为f(x,t)的横向外力，波动学基础·动力学方程(2)杆中纵波方程设杆的质量密度为

，杨氏模量为Y，横截面积为S，t

时刻dx微元两端点偏离平衡位置的距离分别为u(x,t)和u(x+dx,t)，那么，微元伸长量为称微元伸长量与原长之比为相对伸长量波动学基础·动力学方程由牛顿第二定律，微元满足的动力学方程为化简得其中课堂讨论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率(解释方案)波动学基础·动力学方程对比波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度5.2.2波动动力学方程求解在无界空间中，动力学方程的解为验证波动学基础·动力学方程绳的微振动横波T：绳的张力杆的纵向微振动波Y：杨氏弹性模量杆的横向微振动波G：切变弹性摸量声音在空气中传播B：体变模量波动学基础·机械波能量5.3机械波的能量、能量密度和能流密度机械波的动能设简谐波微元动能机械波的势能弹性模量Y类比弹簧波动学基础·机械波能量(3)机械波的能量(4)机械波的能量密度平均能量密度波动学基础·机械波能量平均动能、势能能量密度讨论：机械波的能量传输特性A关于能量守恒机械波能量、能量密度是时间的函数，不是守恒量；机械波在一个周期内的平均动能、势能和总能量守恒；机械波能够向外传输；B关于能量传输特性机械波能量密度传输速度仍为v，但频率是机械波频率的2

倍；介质微元的动能、势能和能量密度同步传输；波动学基础·机械波能量(5)简谐波的能流密度(波的强度)能流：

单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量平均能流：单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量能流密度(坡印亭矢量)平均能流密度矢量对平面简谐波课后作业：练习p180-182，例5.4.1-例5.4.35.4声波、超声波和次声波(自学章节)波动学基础·波的干涉、驻波波的干涉、驻波惠更斯原理、波的反射与折射惠更斯原理任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波；后一时刻各子波的包迹，就是该时刻新波的波前；(2)波的反射与折射课堂讨论：用惠更斯原理证明波的反射与折射定律5.5.2波的叠加原理、波的干涉波的叠加原理各列波相遇后它们各自原有的特点独立继续传播；在各列波相遇的区域里，质点的振动为各列波在该点引起振动的叠加波的干涉

A相关概念相干波：满足相差恒定、振动频率相同、振动方向相同的波波的干涉：相干波在其公共区域内叠加形成波强度稳定的空间强弱分布B波强度稳定的空间分布波动学基础·波的干涉、驻波波动学基础·波的干涉、驻波设两列相干波源的振动分别为讨论：I波强度II相长干涉波动学基础·波的干涉、驻波III相消干涉IV波程差与波的干涉相长干涉相消干涉波动学基础·波的干涉、驻波例5.5.1：如图，已知振源S1，S2，PS1=4

m，S1S2=3

m，两振动有如下共同物理量：A=5

cm，v=330

m/s，v

=165

Hz，

2-

1=求：P

点的干涉结果解：相位差波强度5.5.3驻波驻波形成条件振幅、频率、振动方向相同的两列波在同一条直线上反向传播驻波的运动学参量的时空分布波动学基础·波的干涉、驻波讨论：A

振幅分布规律给定空间点，质点以确定振幅谐振给定时刻t，驻波是一空间波分布II

同一节点两侧对称质点相位相反对第k

波节两侧的质点波动学基础·波的干涉、驻波在第k

波节两侧对称质点，其相位相差(3)驻波能量的时空分布以弹簧纵驻波为例讨论驻波能量时空分布波动学基础·波的干涉、驻波给定空间质点的势能、动能相互转换；能量变化频率为振动频率的2

倍给定空间质点的总能量守恒；驻波不定向传输能量(4)简正模式简正模式：由某一频率及其整数倍分离频率组成的工作模式本征频率：简正模式中的分离频率基频：简正模式中的最低频率案例分析：两端固定绳中的稳定波(驻波)由驻波条件波动学基础·波的干涉、驻波课堂讨论：分析半波振子天线的通带和阻带5.5.4半波损失驻波节点的半波损失课堂讨论：将驻波节点考虑为反射点，讨论波的反射存在半波损失一般界面反射的相位突变问题波阻抗

Z：

，

介质密度，v波速波密媒质：具有较大波阻抗的介质波疏媒质：具有较小波阻抗的介质界面反射系数波由波疏媒质垂直和掠入射波密媒质，存在半波损失；而一般情形较复杂波动学基础·波的干涉、驻波例5.5.2：o

点处波源振动方程u(x,t)=Acost，在x=-3/4的Q点有反求：(1)沿x轴正向、负向传播的波动方程反射的波动方程oQ

区域内合成波的方程x>0区域内的合成波动方程解：(1) 沿x轴正向传播的波动方程沿

x

轴负向传播的波动方程(2)反射的波动方程，入射到Q点的振动方程为考虑半波损失，经Q点反射、且在oQ区域内的波方程波动学基础·波的干涉、驻波在x>0区域的反射波方程在所有区域的反射波方程(3)

oQ区域内合成波的方程(4)

x>0区域内的合成波动方程波动学基础·多普勒效应观察者测得的波的频率为静止时的1+vR/v

倍(3)观察者相对静止，波源以vs

运动波源相对于媒质以速度vs

运动(相向)，测得的波长改变量为观察者测得的波的频率升高(降低)课堂讨论：马赫锥、声障与声爆波动学基础·多普勒效应讨论I

当vs>v

时，波源前方不引起振动，波前构成马赫锥；机械波形成冲击波当

vs=v

时，

=90当

vs~v

时，

~90，波源发出的机械波同时到达接收器，形成声爆，机械波近似同时到达接收器，形成声障M

称为马赫数波动学基础·多普勒效应(4)观察者、波源同时相对媒质运动该情形可分解为波源相对观察者运动，再叠加观察者相对于波源运动当两者相向运动时当两者远离运动时5.6.2电磁波典型情形下的多普勒效应电磁波的多普勒效应仅依赖波源和观察者的相对运动(不需要介质)(1)纵向多普勒效应波源的速度v共线