张旭东（清华大学）数字信号处理：数字信号处理习题课

数字信号处理习题课2012.11.091课程安排知识点梳理课程作业讲解2课程安排知识点梳理课程作业讲解3第1章：离散信号和系统基础1.离散信号与系统离散信号由来：连续信号采样、实际问题离散离散信号表示：按原理划分：时域表示；变换域表示（DTFT、DFT、Z、离散余弦、沃尔什）；特征量表示（相关函数、模糊函数、WVD）。按形式划分：图形表示；数学表达式；数据表示（存储器）。离散信号分类确定性信号&随机性信号；周期信号&非周期信号；因果信号&非因果信号。4第1章：离散信号和系统基础1.离散信号与系统常用信号举例：单位抽样信号 、单位阶跃信号、矩形窗序列 、实指数序列、双边实指数序列

、、复指数序列

。实正弦序列说明1.离散信号最高频在处，最低频在0处。说明2.离散正弦信号可能不是周期信号（ ）。离散信号的单位抽样表示

。离散时间系统：例子有差分、求和、抽取；离散系统分类：线性、时不变、稳定、因果、记忆性；5第1章：离散信号和系统基础2.离散LTI系统的卷积和方法卷积定义卷积计算系统输出计算卷积性质：交换律、结合律（级联）、分配律（并联）

利用单位抽样相应表征系统：稳定性 ,因果性：序列为因果序列。6第1章：离散信号和系统基础3.离散LTI系统的特征表示与变换特征矢量：对于一个特定的输入信号 ，输出为则称 为系统的特征矢量，特征矢量通过系统具有不变性。LTI系统的特征矢量：•随频率变化，被称为系统的频率响应。•被称为系统函数。7第1章：离散信号和系统基础4.离散时间傅里叶变换（DTFT）DTFT实际上是原信号的采样信号频谱在角频率轴被压缩的版本。周期性，范围-pi~pi或0~2pi称为主值；其中包含原信号的完整压缩副本；一般连续；•分别称为幅度谱、相位谱；又被称为频谱密度。反变换8第1章：离散信号和系统基础4.离散时间傅里叶变换（DTFT）收敛性分析：序列绝对可和，则DTFT处处收敛；序列平方，则DTFT均方收敛。周期信号的DTFT：（引入冲激信号解决收敛性问题）DTFT举例•泊松求和公式•9第1章：离散信号和系统基础4.离散时间傅里叶变换（DTFT）DTFT性质10第1章：离散信号和系统基础4.离散时间傅里叶变换（DTFT）DTFT性质11第1章：离散信号和系统基础4.离散时间傅里叶变换（DTFT）DTFT与LTI系统频率响应

LTI系统输出不能产生新的频率分量，但可以通过加权对已有频率分量进行控制，即滤波。自相关、能量信号与功率信号能量有限信号为能量信号。功率有限信号为功率信号。能量信号自相关： ，性质：原点最大、共轭对称、 半正定，自相关的DTFT是能谱密度。

功率信号自相关： ,自相关的DTFT是功率谱密度。12第1章：离散信号和系统基础5.Z变换 ,收敛域收敛域：右序列收敛域为圆外部，左序列为圆内部，双边序列为圆环或没有；Z变换和收敛域共同决定信号；单边z变换只能用于因果系统，所以不需要指定收敛域。反变换：柯西积分定理、对比系数、留数定理、部分分式展开；性质：

线性、位移性、尺度变换性、转置性、求导性、时域卷积、频域卷积、帕斯瓦尔定理；表示系统：

如果系统函数收敛域包括单位圆，则系统的频率响应是系统函数在单位圆上的取值；

利用LTI系统的差分方程可以得到系统函数，系统函数都是有理分式的形式，这是现实中可实现的LTI系统。13第1章：离散信号和系统基础5.Z变换由收敛域及零极点确定系统性质稳定性（BIBO）：收敛域包括单位圆；因果性：收敛域在半径最大圆外部；实系数系统讨论：极点和零点要么为实，要么为共轭复数。14第1章：离散信号和系统基础6.连续信号的数字处理问题连续频谱和离散频谱的关系

由连续谱得到离散谱：将连续谱以采样频率为间隔平移叠加，再做坐标变换 。或先做坐标变换，再以 为周期平移叠加。由离散谱得到连续谱：将通过低通滤波器。15第2章：离散傅里叶变换和数字频谱分析1.离散正交变换——DFT是其中一种2.离散傅里叶变换（DFT）初衷：DTFT的频点可以表示周期信号，当然能表示有限信号；DFT与DTFT的关系：DFT是DTFT的频域采样当序列长度不超过N，则DFT能完全恢复序列。否则混叠。DFT特点：可计算、编程（N(N-1)）；物理意义明确（采样），并 可通过插值恢复；可用于计算LTI系统输出。16第2章：离散傅里叶变换和数字频谱分析3.DFT的性质与周期序列傅里叶级数的关系数学形式一致；针对问题不同，一个是离散周期信号的表示、一个是有限长序列的表示。DFT基本性质；反转循环移位时延：补零频域循环移位对称性，对于实信号利用DFT进行相关序列计算17第2章：离散傅里叶变换和数字频谱分析4.DFT的快速算法FFT计算量分析：；。原来 次复数乘法， 次复数加法；转化为短序列计算再组合，计算量划窗分析可以利用递推将计算量减小到按时间抽取基2FFT算法按频率抽取基2FFT算法按时间抽取基4FFT，分裂基FFT18第2章：离散傅里叶变换和数字频谱分析5.DFT与连续信号频谱的关系••相当于利用滤波器组对原信号进行滤波。相邻通道主峰位置相差 。主峰两侧零点相距产生了频谱泄漏和栅栏现象。。19第2章：离散傅里叶变换和数字频谱分析利用DFT的频谱分析加窗：相当于频域上卷积sinc[·]函数，主瓣宽度为，3dB宽度为。对应于连续频率分辨率为频谱泄漏和栅栏效应频谱泄漏：采样过程中会采集到旁瓣栅栏效应：采样不到峰值，最大误差20第2章：离散傅里叶变换和数字频谱分析利用DFT的频谱分析由DFT插值DTFT可以利用sinc[·]插值恢复原信号，但是计算量大；增加补零个数，提高了采样频率，但是不会提高分辨率；利用局部拟合可以达到更好的效果。窗函数主瓣展宽，旁瓣压低。频谱泄漏减少。21课程安排知识点梳理课程作业讲解22第一次作业1.1231.1解答：24251.2261.2解答：271.3281.3解答29301.4311.4解答：321.5331.5解答：34第二次作业2.1352.1解答：36（a）g[n]有界则稳定因果线性g[n]常序列则时不变无记忆（b）不稳定n<n0时非因果线性时变有记忆（c）稳定非因果线性时不变有记忆（d）稳定n0<0时非因果线性时不变n0=0时无记忆（e）稳定因果非线性时不变无记忆（f）稳定因果b=0时线性时不变无记忆（g）稳定非因果线性时变有记忆（h）稳定因果非线性时变无记忆2.2372.2解答：382.3392.3解答：40412.4422.4解答：43442.5452.5解答：462.6472.6解答：4849第三次作业3.1503.1解答：51523.2