2015世纪金理科数学(广东版)2.3

第三节函数的奇偶性与周期性考纲考情广东五年3考

高考指数:★★★☆☆结合具体函数,了解函数奇偶性的含义会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性五年考题2013

T2

2011

T4

2010

T3考情播报函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点常与函数的图象、单调性、对称性、零点等知识综合命题多以选择题、填空题的形式出现【知识梳理】1.奇函数、偶函数的概念及图象特征奇函数偶函数定义定义域函数f(x)的定义域关于原点对称x对于定义域内的任意一个xf(x)与f(-x)的关系都有f(-x)=-f(x)都有f(-x)=f(x)结论函数f(x)为奇函数函数f(x)为偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:①T≠0;②_f_(_x_+_T_)_=_f_(_x_)_对定义域内的任意x都成立.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个就叫做它的最小正周期.最小的正_数

,那么这个最小的正数(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).【考点自测】1.(思考)给出下列命题:①若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0;②函数f(x)=sinx,x∈[0,2π]为周期函数;③若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称;④若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.A.①②其中正确的是

(

)B.①③C.②③D.③④【解析】选D.①错误.若函数f(x)在点x=0处没有定义,如f(x)=

,则f(0)不存在.②错误.函数f(x)在R上为周期函数,而在[0,2π]上不是.③正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.④正确.函数y=f(x+b)关于点(0,0)中心对称,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.2.下列函数为偶函数的是(

)A.y=tan

x

B.y=C.y=ex

D.y=【解析】选D.由函数奇偶性的定义知A,B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数.3.已知f(x)=ax2+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数,那么a+b的值是(

)【解析】选B.由已知得a-1+2a=0，得又b=0，所以4.(2014·杭州模拟)函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，下列说法正确的是(

)①函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x);②函数y=f(x)满足f(x+2)=f(-x);③函数y=f(x)满足f(-x)=f(x);④函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x).A.①③

B.②④

C.①②

D.③④【解析】选C.根据图象知函数f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数,所以①正确;又其图象关于直线x=1对称,所以②正确.5.(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+

,则f(-1)=(

)A.-2

B.0

C.1

D.2【解析】选A.

因为函数f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)，又因为当x>0时,

f(x)=x2+

,所以f(1)=12+

=2，f(-1)=-f(1)=-2.6.若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(14)=

.【解析】f(8)=f(5+3)=f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,f(14)=f(15-1)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(8)-f(14)=-2-(-1)=-1.答案：-1考点1

确定函数的奇偶性【典例1】(1)(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是(

)A.4

B.3 C.

2

D.1(2)判断下列函数的奇偶性:①f(x)=②f(x)=③f(x)=【解题视点】(1)根据定义逐一验证奇偶性即可.(2)先求定义域,看定义域是否关于原点对称,在定义域内,解析式带绝对值号的先化简,计算f(-x),再判断f(-x)与f(x)的关系,分段函数应分情况判断.【规范解答】(1)选C.y=x3,y=2sinx是奇函数,y=x2+1是偶函数,y=2x是非奇非偶函数.(2)①要使f(x)有意义,则

≥0,解得-1<x≤1,显然f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.②因为所以-2≤x≤2且x≠0.所以函数f(x)的定义域关于原点对称.又f(x)=f(-x)=所以f(-x)=-f(x)，即函数f(x)是奇函数.③显然函数f(x)的定义域为:(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,因为当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,所以函数f(x)为奇函数.【易错警示】关注函数定义域本例第(2)①题容易忽略函数的定义域导致判断错误,所以判断函数的奇偶性时,切记先看定义域是否关于原点对称.【规律方法】判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法:(2)图象法:【变式训练】(2014·揭阳模拟)甲:函数f(x)是奇函数;乙:函数f(x)在定义域上是增函数.对于函数①f(x)=②f(x)=x|x|;③f(x)=

能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是

.【解析】对于①f(x)=

,f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上为增函数,(0,+∞)上为增函数,但在定义域上不是增函数;对于②f(x)=x|x|为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,在(0,+∞)上为增函数,当x<0时,f(x)=-x2在(-∞,0)上为增函数,又f(0)=0>-x2(x<0),所以f(x)=x|x|在定义域上为增函数,所以②符合要求;对于③f(0)=20-1=0,当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-2-(-x)+1=-2x+1=-(2x-1)=-f(x),当x<0时,-x>0,所以f(-x)=2-x-1=-(-2-x+1)=-f(x),所以f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-1为增函数,当x<0时,f(x)=-2-x+1为增函数,又f(0)=0>-2-x+1(x<0),所以f(x)在定义域上为增函数.答案:②③【加固训练】1.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则()A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数【解析】选B.因为f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x),所以f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,故选B.2.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=

(2)f(x)=(3)f(x)=【解析】(1)原函数的定义域为{x|x≠0},并且对于定义域内的任意一个x都有

f(-x)=(-x)3-从而函数f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)f(x)的定义域为R,关于原点对称,当x>0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当x<0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);当x=0时,f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x).故该函数为奇函数.考点2

函数的周期性及其应用【典例2】(1)(2013·湖北高考)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为

(

)A.奇函数

B.偶函数

C.增函数

D.周期函数(2)(2013·大纲版全国卷)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3]时,f(x)=x-2,则f(-1)=

.【解题视点】(1)根据[x]的规定,作出函数f(x)的图象,由图象观察求解.(2)根据函数周期为T=2,得f(x)=f(x+2),从而将f(-1)的函数值转化为求f(1)的值.【规范解答】(1)选D.由图象可知选D.(2)因为T=2,则f(x)=f(x+2),又f(-1)=f(-1+2)=f(1),因为x∈[1,3)时,f(x)=x-2,所以f(-1)=f(1)=1-2=-1.答案:-1【互动探究】在本例(2)的条件下,求f(2014)+f(2015)的值.【解析】由已知f(2014)=f(1007×2+0)=f(0)=f(2),f(2015)=f(2×1007+1)=f(1),所以f(2014)+f(2015)=f(2)+f(1)=(2-2)+(1-2)=-1.【规律方法】判断函数周期性的两个方法(1)定义法.

(2)图象法.判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.(a≠0),则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它(2)f(x+a)=的一个周期.

(3)f(x+a)=个周期.,则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一提醒：应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.3.函数周期性的应用利用函数的周期性,可将其他区间上的求值,求零点个数,求解析式等问题,转化为已知区间上的求值,求零点个数,求解析式等问题,进而求解.【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数.当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2014).【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x.又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2014)=f(0)+f(1)+f(2)=0+1+0=1.【加固训练】1.(2014·舟山模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=且f(1)=3,则f(2

014)=

.【解析】因为f(x)=所以f(x+3)==f(x).所以f(x)是以3为周期的周期函数.则f(2

014)=f(671×3+1)=f(1)=3.答案：32.已知函数f(x)满足f(x+1)=若f(1)=2

014,则f(103)=

.【解析】因为f(x+1)=所以所以f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为4.因为f(1)=2

014,所以f(103)=f(25×4+3)=f(3)=答案：3.(2014·济南模拟)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13，若f(1)=2,则f(99)=

.【解析】因为f(x)·f(x+2)=13,所以f(x+2)=则有f(x+4)=所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(99)=f(25×4-1)=f(-1)=答案：考点3

函数奇偶性的应用【考情】由于函数的奇偶性在求函数值,求解析式,求解析式中参数的值,画函数图象和判断单调性等方面有着重要应用,因此已成为高考命题的一个热点,常与函数的其他性质交汇命题,多以选择、填空题的形式出现.高频考点通

关【典例3】(1)(2013·湖南高考)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于

(

)A.4

B.3

C.2

D.1(2)(2014·济南模拟)若函数f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1为偶函数,则实数a的值为

(

)A.1

B.-

C.1或-

D.0【解题视点】(1)根据函数的奇偶性的定义,利用f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1)求解.(2)根据f(x)-f(-x)=0构建关于a的方程求解.【规范解答】(1)选B.因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.所以f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),分别代入f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4再相加得g(1)=3.(2)选C.因为f(x)为偶函数,所以f(x)-f(-x)=0,即ax2+(2a2-a-1)x+1-[ax2-(2a2-a-1)x+1]=0.亦即(2a2-a-1)x=0,又因为对x∈R恒成立,所以2a2-a-1=0,解得a=1或【通关锦囊】高考指数重点题型破

解

策

略◆◆◆求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解◆◆◆求解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值高考指数重点题型破

解

策

略◆◆◆画函数另一对称区间上的图象或判断另一对称区间上的单调性利用奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,画出另一半对称区间上的图象根据奇函数在两个对称区间上的单调性一致,偶函数相反,得另一区间上的单调性◆◆

求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程

(组),从而得到f(x)的解析式【通关题组】1.(2014·日照模拟)若函数f(x)=a=(

)为奇函数,则【解析】选A.因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0恒成立,即

恒成立,可化为(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立,整理得2(1-2a)x=0恒成立,所以1-2a=0,所以2.(2013·福建高考)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是()【解析】选A.f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x),所以f(x)的图象关于y轴对称,且x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,过点

(0,0).3.(2014·中山模拟)奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=-f(x)成立,且f(1)=8,则f(2012)+f(2013)+f(2014)的值为(

)A.2

B.4

C.6

D.8【解析】选D.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x)=-f(x+2)=-[-f(x+4)]=f(x+4).即f(x)的周期T=4,又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,f(2012)=f(4×503)=f(0)=0,f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=8,f(2014)=f(4×503+2)=f(2)=-f(0)=f(0)=0.所以f(2012)+f(2013)+f(2014)=0+8+0=8.4.(2014·深圳模拟)已知定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0,则a的取值范围是

(

)A.(

,3)

B.(3,

)C.(

,4)

D.(-2,3)【解析】选A.因为函数是定义域为(-1,1)的奇函数,所以-

f(x)=f(-x),又因为y=f(x)是减函数,所以不等式f(a-3)+f(9-a2)<0可化为:f(a-3)<-f(9-a2),即f(a-3)<f(a2-9),即

解得a∈(

,3).【加固训练】1.(2011·湖南高考)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=

.【解析】因为f(x)=g(x)-9是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)-9=-[g(x)-9],所以g(-2)-9=-[g(2)-9],因为g(-2)=3,所以g(2)=15,所以f(2)=g(2)-9=6.答案:62.(2011·浙江高考)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=

.【解析】方法一:因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),即x2-|x+a|=(-x)2-|-x+a|⇒|x+a|=|x-a|恒成立,所以a=0.方法二:函数y=x2为偶函数,函数y=|x+a|是由偶函数y=|x|向左或向右平移了|a|个单位得到的,要使整个函数为偶函数,则需

a=0.答案:03.(2014·北京模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x,则f(x)的解析式为

.【解析】由已知得f(0)=0,当x<0时,则-x>0,而x>0时,f(x)=x2-x,所以f(-x)=x2+x,又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以得

f(x)=-x2-x,综上可知f(x)=答案:f(x)=【创新体验2】创新运用函数奇偶性问题【典例】(2013·辽宁高考)已知函数f(x)=ln(则f(lg2)+

=(

)A.-1

B.0

C.1

D.2-3x)+1【审题视点】创新点本题考查函数奇偶性的角度创新:lg2与lg互为相反数;让考生极易想到直接利用f(x)奇偶性求值,而f(x)本身又没有奇偶性,但其局部ln(-3x)却为奇函数,需灵活运用奇偶性间接求解.切入点令g(x)=ln(

-3x),则得g(x)为奇函数即g(x)+g(-x)=0,而lg

=-lg2,由g(lg2)+g(-lg2)=0得f(lg2)+

的值【解析】选D.令g(x)=ln(-3x),则因为>3x,所以函数定义域为R,又g(-x)=ln(+3x)==-ln(

-3x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以g(-x)+g(x)=0,所以g(lg2)+=g(lg2)+g(-lg2)=0,所以f(lg2)+=[g(lg2)+1]+