专题7.1 锐角三角函数 正弦 余弦与正切（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题7.1锐角三角函数正弦余弦与正切（知识讲解）【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；

2．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】【知识点一】锐角三角函数概念的理解如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；同理；特别说明：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)tan,sinA，cosA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．【知识点二】锐角三角函数的增减性【典型例题】类型一、正弦、余弦、正切概念的理解1．在Rt△ABC中，∠C＝，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA．【答案】sinA=，cosA=，tanA=【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用锐角三角函数的定义解答．解：∵Rt△ABC中，∠C=，若AB=13，BC=5，∴AC=12，∴sinA=；cosA=；tanA=【点拨】本题考查锐角三角函数的综合应用，熟练掌握锐角三角函数的意义和勾股定理的应用是解题关键．举一反三：【变式1】在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？【答案】当确定时，正弦值确定，余弦值确定，正切值确定．【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，可得答案．解：在中，．当确定时，它的正弦值是随之确定，理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与斜边的比值是不变的；在中，．当确定时，它的余弦值是随之确定，理由是：，确定，则三角形的形状确定，邻边与斜边的比值是不变的．在中，．当确定时，它的正切值是随之确定，理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与邻边的比值是不变的．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．【变式2】如图，在中，，（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点．（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求的值（结果保留根号）【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出，设，，在三角形中利用三角函数即可求解．解：（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知，，，在三角形中，设，∴，∴，∴在三角形中，，∴．【点拨】本题考查的是作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．类型二、求正弦、余弦、正切的值2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α．(1)求sinα、cosα、tanα的值；(2)若∠B=∠CAD，求BD的长．【答案】（1）sinα=，cosα=，tanα=；（2）BD=3．【分析】（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解．（2）由∠B＝∠CAD＝α和（1）求得的tanα，根据直角三角形锐角三角函数求出BC，从而求出BD的长．解：在Rt△ACD中，∵AC=2，DC=1，∴AD==．（1）sinα===，cosα===，tanα==；（2）在Rt△ABC中，tanB=，即tanα==，∴BC=4，∴BD=BC-CD=4-1=3．【点拨】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻辑推理能力和运算能力．举一反三：【变式1】关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．【答案】（1）sinA=；（2）△ABC的周长为或16．分析：（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A-16=0，解得sinA=；（2）利用判别式的意义得到100-4（k2-4k+29）≥0，则-（k-2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．解：（1）根据题意得△=25sin2A-16=0，∴sin2A=，∴sinA=±，∵∠A为锐角，∴sinA=；（2）由题意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根，则△≥0，∴100-4（k2-4k+29）≥0，∴-（k-2）2≥0，∴（k-2）2≤0，又∵（k-2）2≥0，∴k=2，把k=2代入方程，得y2-10y+25=0，解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，∵sinA=，∴AD=3，BD=4∴DC=2，∴BC=2．∴△ABC的周长为10+2；当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，∵sinA=，∴AD=DC=3，∴AC=6．∴△ABC的周长为16，综合以上讨论可知：△ABC的周长为10+2或16．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解直角三角形．【变式2】如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．（1）若，求的周长；（2）若，求的值．【答案】（1）1；（2）【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长；(2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，∵为垂直平分线，∴，∵，∴．设，∴，又∵，∴，在中，．∴．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键．类型三、利用三角函数值求边长3．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．【答案】（1）BC＝4；（2）sin∠ADC＝.解：（1）如图，作AE⊥BC，∴CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，，∴BE=3AE=3，∴BC=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，∴∠ADC=45°，∴．举一反三：【变式1】已知：如图，在四边形中，，，垂足为，过点作，交的延长线于点.（1）求证：四边形是平行四边形（2）若，，求的长【答案】(1)详见分析;(2)9【分析】(1)直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；(2)利用锐角三角函数关系得，设，，再利用勾股定理得出AE的长，进而求出答案．解：(1)∵，，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形；(2)∵四边形是平行四边形，∴，∵，，∴,∴，设，，∵，∴，即，解得：，∴，∴．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系、勾股定理，正确得出是解题关键．【变式2】如图，在矩形中，点是边上的点，，于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）由题意易得，则有，进而可得，然后可得，进而问题可求证；（2）由（1）得：，则有，进而可得，然后可得，设，则有，最后由三角函数可得，求解即可．（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴在中，，设，则有，∴，即，解得：，∴．【点拨】本题主要考查三角函数及矩形的性质，熟练掌握三角函数及矩形的性质是解题的关键．类型四、三角函数值的增减性4．如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．（1）若，，，试比较、的大小；（2）若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．解：在中，在中，又∴；根据得，又∵∴∴．【点拨】考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．举一反三：【变式】已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是弧AB上的两点，∠AOD＞∠AOC，(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．【答案】（1）见分析（2）见详解；（3）增大；（4）减小．【分析】第（1）（2）问作辅助线,分别在Rt△OEC和Rt△DFO中利用三角函数定义表示出所求三角函数,再利用不等式的性质：不等号两边同时除以同一个不为零的正数时不等号仍成立即可解题；第（3）（4）两问根据特殊三角函数值,总结规律即可解题.解：（1）如图所示，作CE⊥OA与E,作DF⊥OA与F.∵sin∠AOC=,sin∠AOD=,,∴0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；（不等式性质）（2）∵cos∠AOC=,cos∠AOD=,,∴1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；（不等式性质）（3）由特殊的直角三角函数值,总结规律,即可发现对于锐角而言,锐角的正弦函数值随角度的增大而增大；（4）由特殊的直角三角函数值,总结规律,即可发现对于锐角而言,锐角的余弦函数值随角度的增大而减小.【点拨】本题考查了三角函数的大小比较,不等式的性质,中等难度,熟悉三角函数定义,表示出三角函数是解题关键.类型五、由函数值确实锐角的取值范围5．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离．（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高；（2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°