新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练小题满分练3（含解析）

小题满分练3一、单项选择题1．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3} B．{0,3}C．{－2,1} D．{－2,0}答案D解析集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．2．(2022·衡水模拟)已知复数z＝eq\f(1＋ai,1－2i)(a∈R)在复平面上对应的点在直线x＋y＝0上，则a等于()A．－2B．2C．－3D．3答案D解析因为z＝eq\f(1＋ai,1－2i)＝eq\f(1＋ai1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(1－2a＋a＋2i,5)，所以其在复平面内对应点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2a,5)，\f(a＋2,5)))，由题意知eq\f(1－2a,5)＋eq\f(a＋2,5)＝0，解得a＝3.3．(2022·济南模拟)函数f(x)＝eq\f(ln|x|,ex＋e－x)的大致图象是()答案D解析因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，排除B；又f(1)＝0，排除C；当x>1时，函数y＝ex＋e－x比y＝lnx增长得更快，故函数的大致图象为D选项．4．(2022·凉山模拟)正项等比数列{an}与正项等差数列{bn}，若a1a5＝b5b7，则a3与b6的关系是()A．a3＝b6 B．a3≥b6C．a3≤b6 D．以上都不正确答案C解析设等差数列{bn}的公差为d，则b5b7＝(b6－d)(b6＋d)＝beq\o\al(2,6)－d2，又a1a5＝aeq\o\al(2,3)，∴aeq\o\al(2,3)＝beq\o\al(2,6)－d2≤beq\o\al(2,6)，∵{an}，{bn}均为正项数列，∴a3≤b6.5．(2022·萍乡模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k>0)与C相交于M，N两点(M在第一象限)．若M，F1，N，F2四点共圆，且直线NF2的倾斜角为eq\f(π,6)，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(2)－1答案B解析根据题意四边形MF1NF2为平行四边形，又由M，F1，N，F2四点共圆，可得平行四边形MF1NF2为矩形，即NF1⊥NF2.又直线NF2的倾斜角为eq\f(π,6)，则有∠MF1F2＝eq\f(π,6)，则|MF2|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，|MF1|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|＝eq\r(3)c，则2a＝|MF1|＋|MF2|＝(1＋eq\r(3))c，即c＝eq\f(2,1＋\r(3))a＝(eq\r(3)－1)a，则椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.6.(2022·六安模拟)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限思想的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin2°的近似值为()A．0.035 B．0.026C．0.018 D．0.038答案A解析将一个单位圆分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2°，∵这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，∴180×eq\f(1,2)×1×1×sin2°＝90sin2°≈π，∴sin2°≈eq\f(π,90)≈0.035.7．已知ex－y>lny－x，则下列结论正确的是()A．x>y B．x>lnyC．x<y D．x<lny答案B解析由题意知ex－y>lny－x，可以化为ex＋x>y＋lny＝lny＋elny，所以可以构造函数f(x)＝ex＋x，因为f(x)＝ex＋x在R上单调递增，又f(x)＝ex＋x>lny＋elny＝f(lny)．所以x>lny.8.(2022·安徽省鼎尖联盟联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2CD＝4，则四棱锥P－ABCD外接球半径为()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D.eq\r(6)答案C解析如图所示，在等腰梯形ABCD中，由BC＝2AD＝2AB＝2CD＝4，过A作AM⊥BC，垂足为M，可得BM＝1，在Rt△ABM中，可得cos∠ABM＝eq\f(BM,AB)＝eq\f(1,2)，可得∠ABM＝60°，即∠ABC＝∠DCB＝60°，取BC的中点E，连接EA，ED，可得EA＝EB＝EC＝ED＝2，所以梯形ABCD内接于以E为圆心，半径r＝2的圆，设四棱锥P－ABCD外接球的球心为O，连接OA，OE，过O作OF∥AE交PA于点F，连接OP易知OE⊥平面ABCD，又因为PA⊥平面ABCD，所以OEAF为矩形，F为AP中点，PA＝2，所以OE＝eq\f(1,2)PA＝1，设四棱锥P－ABCD外接球半径为R，所以R＝eq\r(r2＋OE2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).二、多项选择题9．(2022·济宁模拟)在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，样本容量为n.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[50,60)内的人数为16.则下列结论正确的是()A．样本容量n＝1000B．图中x＝0.030C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号答案BC解析对于A，因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16，所以样本容量n＝eq\f(16,0.016×10)＝100，故A不正确；对于B，因为(0.016＋x＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，解得x＝0.030，故B正确；对于C，学生成绩平均分为0．016×10×55＋0.030×10×65＋0.040×10×75＋0.010×10×85＋0.004×10×95＝70.6，故C正确；对于D，因为10×(0.004＋0.010)＋(80－78)×0.040＝0.22>0.20，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确．10.(2022·衡水中学调研)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A．将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得到一个奇函数的图象B．直线x＝－eq\f(π,6)是f(x)图象的一条对称轴C．f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(17π,6)，\f(23π,6)))上单调递增D．f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))对称答案ABD解析由图知，函数的周期T满足eq\f(3,4)T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＝eq\f(3π,2)，解得T＝2π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,2π)＝1，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，1))代入函数f(x)的解析式，得1＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋φ))，解得φ＝－eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，∵－π<φ<0，∴φ＝－eq\f(5π,6)，f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,6))).对于A，将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后得到g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝sinx，此时g(x)＝sinx为奇函数，故A正确；对于B，当x＝－eq\f(π,6)时，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)－\f(5π,6)))＝－1，所以直线x＝－eq\f(π,6)是f(x)图象的一条对称轴，故B正确；对于C，f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,6)))的单调递增区间满足－π＋2kπ≤x－eq\f(5π,6)≤2kπ，k∈Z，即单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))，k∈Z，当k＝1时，单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)，\f(17π,6)))，当k＝2时，单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)，\f(29π,6)))，所以f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(17π,6)，\f(23π,6)))上单调递减，故C错误；对于D，当x＝eq\f(4π,3)时，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－\f(5π,6)))＝cos

eq\f(π,2)＝0，故D正确．11．(2022·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，且双曲线C的左焦点在直线x＋y＋eq\r(5)＝0上，A，B分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是()A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1C．k1k2为定值eq\f(1,4)D．存在点P，使得k1＋k2＝1答案BC解析对于A选项，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(1,4)，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(1,2)x，A错误；对于B选项，由题意可得－c＋eq\r(5)＝0，可得c＝eq\r(5)，a＝eq\f(c,e)＝2，b＝eq\f(1,2)a＝1，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1，B正确；对于C选项，设点P(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),4)－yeq\o\al(2,0)＝1，可得xeq\o\al(2,0)＝4＋4yeq\o\al(2,0)，易知点A(－2,0)，B(2,0)，所以k1k2＝eq\f(y0,x0＋2)·eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－4)＝eq\f(y\o\al(2,0),4y\o\al(2,0))＝eq\f(1,4)，C正确；对于D选项，由题意可知x0>2，y0>0，则k1＝eq\f(y0,x0＋2)>0，k2＝eq\f(y0,x0－2)>0，且k1≠k2，所以k1＋k2>2eq\r(k1k2)＝1，D错误．12．(2022·重庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)为偶函数，当x∈(0,1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是()A．f(x＋4)＝f(x)B．f(x)的值域为[－1,1]C．f(x)在[－4，－2]上单调递减D．f(x)的图象关于点(4,0)中心对称答案ABD解析对于A，因为f(x＋1)为偶函数，所以满足f(－x＋1)＝f(x＋1)，又f(x)是奇函数，则f(－x＋1)＝f[－(x－1)]＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，用x＋1替换x可得f(x＋2)＝－f(x)，再用x＋2替换x，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故A正确；对于B，由已知f(x)是奇函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x2，又f(x＋1)为偶函数，则可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，因此可知f(x)在[－1,3]上的值域为[－1,1]，又由A选项可知f(x)是周期为4的函数，故B正确；对于C，结合A，B选项可知，f(x)在[－3＋4k，－1＋4k](k∈Z)上单调递减，故C错误；对于D，因为f(x)是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，因此f(x)的图象关于点(4＋2k,0)，k∈Z中心对称，故D正确．三、填空题13．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为eq\f(1,3)，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.答案11解析(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|·cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×eq\f(1,3)＋32＝11.14．(2022·山东省实验中学诊断)某校对高三年级的一次数学检测成绩进行抽样分析，发现成绩X近似服从正态分布N(95，σ2)，且P(91<ξ≤95)＝0.3，若该校1800名学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为________．答案360解析由题意知，成绩X近似服从正态分布N(95，σ2)，则正态分布曲线的对称轴为X＝95，又由P(91<ξ≤95)＝0.3，知P(X≥99)＝eq\f(1,2)×[1－2×P(91<X≤95)]＝eq\f(1,2)×(1－2×0.3)＝0.2，所以估计该校1800名学生中，数学成绩不低于99分的人数为1800×0.2＝360.15．(2022·潍坊质检)古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BAD＝1∶1∶eq\r(3)，AC＝4，则△ABD面积的最大值为______．答案3eq\r(3)解析如图，可知∠BAD＋∠BCD＝180°，由诱导公式知sin∠BAD＝sin∠BCD，又sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BAD＝1∶1∶eq\r(3)，故sin∠CBD∶sin∠BDC∶sin∠BCD＝1∶1∶eq\r(3)，在△BCD中，由正弦定理得CD∶BC∶BD＝1∶1∶eq\r(3)，故∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，设CD＝k，BC＝k，BD＝eq\r(3)k，则由托勒密定理