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第一章空间向量与立体几何章末综合提升

类型1空间向量的概念及运算1．空间向量的线性运算与数量积是整章的基础内容，也是后续学习的工具，可类比平面向量的线性运算和数量积进行运算．2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算素养．√

√√

类型2利用空间向量证明位置关系1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养．【例2】在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；[解]

证明：以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，

【例3】长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：(1)M到直线PQ的距离；(2)M到平面AB1P的距离．[解]

如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1(0，0，4)．

类型4利用空间向量求夹角1．利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不作出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性．2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养．【例4】

(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．(1)证明：OE∥平面PAC；[解]

证明：连接OA．因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°．又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB．取AB的中点D，连接OD，DE，则有OD⊥AB．又AB⊥AC，所以OD∥AC．因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC．因为D，E分别为AB，PB的中点，所以DE∥PA．因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC．因为OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC．又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC．(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．[解]

由(1)易知OA＝OB，所以OD⊥AB．以D为坐标原点，分别以DB，DO所在直线为x轴、y轴，以过点D且垂直于平

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