5.1任意角和弧度制8题型分类（原卷版）

一、角的相关概念(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)角的表示如图，①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”．(3)角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角二、角的相等与加减(1)角的相等设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.(2)角的加法设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.(3)相反角把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)角的减法角的减法可以转化为角的加法，有α－β＝α＋(－β)．三、平面直角坐标系中的任意角条件在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角轴线角角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注：1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字(1)要明确旋转方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作旋转时的位置．2．对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一；(4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．四、度量角的两种制度(1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的eq\f(1,360)为1度的角，记作1°.(2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．③表示方法：1弧度记作1_rad.五、弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π六、扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝eq\f(π,4)弧度，不必写成45°≈0.785弧度．(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋eq\f(π,4)，k∈Z，都不正确．（一）任意角的概念1.引入任意角的概念后需要注意：（1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．（2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置．（3）角的范围不再限于．（4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．（5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负．（6）角的记法：用一个希腊字母表示，如，，，…；也可用三个大写的英文字母表示，字母前要写符号“”，中间的字母表示角的顶点，如，，…．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为“”．（7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化为．2.判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．题型1：任意角的概念11．（2324下·上海·课时练习）分针一小时所转过的角是．12．（2324·全国·课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（

）A． B． C． D．13．（2324上·全国·课时练习）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于.14．【多选】（23·24上·全国·课时练习）下列选项不正确的是（

）A．终边落在第一象限的角为锐角B．锐角是第一象限的角C．第二象限的角为钝角D．小于的角一定为锐角15．（2324·全国·课时练习）设集合为锐角，为第一象限角，为小于90°的角，为小于90的正角，则下列等式中成立的是A． B． C． D．16．（2324上·济南·期末）“是锐角”是“是第一象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件（二）终边相同的角1．一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．2．象限角的分类及表示方法如下：象限角集合的表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角3．设，显然，所有与角终边相同的角都是集合的元素；反过来，集合中的任何一个元素也都与角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．4．利用与角终边相同的角的集合，可把任意角转化成，，的形式；也可利用与角终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合．如第一象限角，在~360范围内，第一象限角表示为，然后在两端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得．若为象限界角，如终边落在轴的负半轴上，代表角为180，所以终边落在轴的负半轴上的角的集合为，．同理可得其他非象限角的集合．5.寻求终边相同的角的方法与技巧在[0°，360°)范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．6．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤(1)写出在[0°，360°)范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；题型2：终边相同的角21．【多选】（2324下·营口·阶段练习）与角终边相同的角的集合是（

）A． B．C． D．22．（2324·全国·课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在范围内与其终边相同的角．(1)；(2)；(3)；(4)．23．（2324·全国·课时练习）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角．（1）最小的正角；（2）最大的负角；（3）内的角．24．（2324·全国·专题练习）若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是25．（2324·全国·课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．

（三）区域角的表示1、区域角的写法可分三步(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．注：区域角的写法:(1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可.(2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写角的范围时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，然后在此区间角的两端分别加上“k×180”，并注明“k∈Z”即可.题型3：区域角的表示31．（2324下·驻马店·阶段练习）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.

32．（2324下·眉山·期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．

（2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角．33．（23·24上·江苏·课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．(1)

(2)

（四）象限角轴线角的判定1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例如：由于图（1）中的角，，都是始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角．2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如，，，，等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参考书上称之为象限界角．3.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在[0°，360°)范围内的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到[0°，360°)范围内．在直角坐标平面内，在[0°，360°)范围内没有两个角终边是相同的．(3)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角eq\f(α,n)所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是eq\f(α,n)的终边所落在的区域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．题型4：象限角轴线角的判定41．【多选】（2324下·承德·开学考试）已知是锐角，则（

）A．是第三象限角 B．是小于的正角C．是第一或第二象限角 D．是锐角42．（2324下·呼和浩特·阶段练习）若是第四象限，则是第．43．（2324上·全国·课时练习）若α的终边在第一、第三象限的角平分线上，则2α的终边在．44．【多选】（2324上·长春·期末）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（

）A． B． C． D．45．（2324·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．46．（2324下·河南·期中）若是第一象限角，则终边在A．第一象限 B．第二象限C．第一象限或第三象限 D．第一象限或第四象限47．（2324上·普陀·期末）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（五）角度与弧度的互化1．将角度化为弧度rad；rad；rad．2．将弧度化为角度；；．3．需记住的特殊角的度数与弧度数的对应值度弧度0【说明】（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如是指sin（2弧度）；是指弧度．以度为单位表示角时，度就不能省去．（2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把化成小数，如弧度，不必写成弧度．（3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便．（4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量也就不同了．（5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式rad是关键，由它可以得到：角度弧度，弧度角度．题型5：角度与弧度的互化51．（2324下·全国·专题练习）将–1485°化为2kπ+α（0≤α<2π，k∈Z）的形式是．52．（23·24·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)5．（2324·湖南·课时练习）将下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°120°135°150°360°弧度54．【多选】（2324上·商洛·阶段练习）下列转化结果正确的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是（六）利用弧度制表示角1、弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2、根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形；(2)写出区域边界作为终边时角的表示；(3)用不等式表示区域角．用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并．题型6：利用弧度制表示角61．（2324下·浦东新·期中）用弧度制表示所有与终边相同的角的集合是.62．（2324下·长宁·期末）终边落在轴上的角的集合是（）A． B．C． D．63．（2324下·上海·课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：（1）（2）64．（23·24·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．（七）弧长公式1、弧长公式在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则，变形可得，此公式称为弧长公式，其中的是弧度角．2、弧度制下有关扇形弧长问题的解题策略①明确弧度制下扇形弧长公式l＝|α|r，(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．②涉及扇形的周长、弧长、圆心角等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式求解．题型7：弧长公式及应用71．（23·24上·南宁·开学考试）若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为.72．（2324下·沈阳·期中）一个半径是的扇形，其周长为，则该扇形圆心角的弧度数为（

）A．1 B．3 C． D．73．（2324下·咸阳·阶段练习）在直径为的圆中，圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．74．（2324下·眉山·期中）已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（

）A． B． C． D．60（八）扇形的面积公式的应用1、扇形面积公式因为圆心角为1rad的扇形面积为，而弧长为l的扇形的圆心角大小为rad，所以其面积为，将代入上式可得，此公式称为扇形面积公式．2、扇形的面积公式的应用注意点①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．②看清角的度量制，选用相应的公式．③扇形的周长等于弧长加两个半径长．题型8：扇形的面积公式的应用81．（2324下·绥化·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（

）

A． B． C． D．82．（2324下·沈阳·期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（

）（参考数据：）

A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为83．（2324下·宜昌·期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．84．（2324上·长治·期末）已知扇形的周长为30．(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径.85．（2324下·赣州·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．一、单选题1．（2324上·沙坪坝·阶段练习）与角终边相同的角是（

）A．221° B． C． D．2．（2324·全国·课时练习）终边在直线上的角的取值集合是A． B．C． D．3．（2324·全国·专题练习）若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在()A．第一象限 B．第四象限C．x轴上 D．y轴上4．（2324上·凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（

）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴5．（2324·全国·课时练习）若与的终边互为反向延长线，则有（

）A． B．C． D．6．（2324下·银川·阶段练习）将分针拨快30分钟，则分针转过的弧度数是（

）A． B． C． D．7．（2324下·苏州·期末）已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形圆心角的弧度数为（

）A． B． C．2 D．48．（23·24·全国·课时练习）下列叙述中，正确的是（

）A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角的和D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位9．（2324·全国·专题练习）下列命题中正确的是()A．若两扇形面积的比是1∶4，则它们弧长的比是1∶2B．若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C．若扇形的面积一定，则弧长存在最小值D．任意角的集合可与实数集R之间建立一一对应关系10．（2324下·上海·课时练习）下列命题中，正确的是（

）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．5弧度的角是第三象限的角C．若是第一象限角，则是第四象限的角D．若是第一象限角，则也是第一象限的角11．（2324下·鄂尔多斯·阶段练习）我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于（

）弧度．A． B． C． D．12．（2324下·新乡·期末）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且AD=10，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．13．（2324上·期末）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（

）A． B．C．3 D．14．（23·24上·全国·课时练习）与405°角终边相同的角是（

）A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z15．（23·24上·全国·课时练习）与角终边相同的角可表示为（

）A．B．C．D．16．（2324下·朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

17．（2324下·金山·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．角60和角600是终边相同的角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上角的集合为D．第二象限角大于第一象限角18．（23·24上·浙江·开学考试）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（

）A．1 B． C． D．19．（23·24上·江西·开学考试）《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦的长，“矢”是指所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为（

）A． B．C． D．20．（2324下·潍坊·阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为，则其面积是（

）A． B． C． D．21．（2324上·通州·期末）设，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．22．（2324下·张家口·期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（

）A． B． C． D．二、多选题23．（2324·全国·课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关24．（2324·浙江·期末）下列说法错误的是（

）A．若角，则角为第二象限角B．如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角D．若一扇形的圆心角为30°，半径为，则扇形面积为25．（2324上·全国·课时练习）下列说法错误的是（

）A．终边与始边重合的角是零角B．终边与始边都相同的两个角一定相等C．小于90°的角是锐角D．若，则是第三象限角26．（23·24上·全国·课时练习）下列说法，不正确的是（

）A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．钝角比第三象限角小D．小于180°的角是钝角、直角或锐角27．（2324下·新余·开学考试）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上28．（2324下·海东·阶段练习）已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则（

）A．该扇形的半径为11 B．该扇形的半径为22C．该扇形的面积为100 D．该扇形的面积为12129．（2324下·长寿·期中）下列结论正确的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上的角的集合为D．若角为锐角，则角为钝角30．（23·24·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的有（）A．B．若角是锐角，则是第一或第二象限角C．若角是第二象限角，则是第一或第三象限角D．角是第三或第四象限角的充要条件是三、填空题31．（2324下·上海·单元测试）将化为的形式，则当最小时，的值是．32．（2324下·青浦·阶段练习）角的终边与的终边关于对称,则33．（2324下·浦东新·期中）终边在轴正半轴上所有角的集合为．（用弧度制表示）34．（2324下·上海·课时练习）设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有.（选填序号）35．（2324下·上饶·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为．36