17.4 第1课时 一元二次方程的应用（解析版）

17.4一元二次方程的应用第1课时二次三项式的因式分解与根与系数的关系1.知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的根之间的联系；会通过求一元二次方程的根在实数范围内将二次三项式分解因式;2.会分析实际问题中的数量关系和列一元二次方程解简单的应用题.知识点一二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解如果一元二次方程（a≠0）实数根是,那么二次三项式的分解式为利用公式法将二次三项式分解因式的步骤求二次三项式所对应的一元二次方程（a≠0）的两个根;将求得的的值代入中.注意：有些二次三项式可用十字相乘法进行因式分解；2.当时，分解式中的因不要漏写.当时，,此时称为完全平方式.3.把二次三项式（a≠0）分解因式时，(1)如果,那么先求出方程的两个实数根，再写出分解式.(2)如果,那么方程没有实数根，在实数范围内不能因式分解即学即练1在实数范围内分解因式：(1)2x(2)4x(3)3x(4)6x【答案】(1)2(2)4(3)3(4)6【分析】（1）求出方程2x（2）求出方程4x（3）求出方程3x（4）求出方程6x【详解】（1）解：方程2x2+3x-1=0∴在实数范围内分解因式2x（2）解：方程4x2+2x-3=0∴在实数范围内分解因式4x（3）解：方程3x2-6x+1=0的两个解为：∴在实数范围内分解因式3x（4）解：方程6x2+3x∴在实数范围内分解因式6x【点睛】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c可分解为：a即学即练2（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在实数范围内分解因式2x2【答案】2【分析】先求出方程的两个根，再因式分解．【详解】∵2x2+3x∴2x2+3x故答案为：2x【点睛】本题考查了因式分解，正确计算方程的两个根是解题的关键．知识点二一元二次方程根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得②.比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，.注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。2.方程（a≠0）的根与系数的关系的推导若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为，由求根公式得（），令，.由此可得+=+=，=·=.所以，.这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）.3.以x1，x4.与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0.即学即练1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：（1）

（2）

（3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案；（2）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案；（3）根据如果一元二次方程的两根为，和，那么，进行求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵，∴，，，∴，；（2）∵，∴，，，∴，；（3）∵，即∴，，，∴，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．即学即练2一元二次方程的两根为，则的值为（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根为，∴，∴．故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．题型一换元法因式分解例1在实数范围内分解因式：(1)x2(2)-1【答案】(1)(xy+2+(2)-【分析】（1）令a=xy，得a2+4a+1=0，解出a1（2）令a=xy，得-12a2-【详解】（1）令a=xy，则有方程为a2解得：a1=-∴a2+4a+1∴x2y2（2）令a=xy，则有方程为-1解得：a1=-∴-12∴-12x【点睛】本题考查了因式分解，运用分解因式中整体思想，换元灵活变化应用是解题的关键．举一反三1在实数范围内分解因式：6x【答案】6【分析】令a=xy，该方程即为6a【详解】令a=xy，该方程即为6a2+2a-1=0，解得：a则原式可分解为6a【点睛】此题考查了换元法的思想一元二次方程的应用，在实数范围内分解因式，解题的关键是把一个字母当做未知数，另一个当做常数列方程求解．举一反三2在实数范围内分解因式：3x2【答案】3【分析】首先解关于xy的方程，然后利用公式法进行因式分解；【详解】解：关于xy的方程3x2y∴3x2y【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止，求根公式法分解因式：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根．题型二主元素法分解因式主元素法：当二次三项式式中有两种字母时,可选一个字母为主元素,另一字母为常数.例如分解因式以为主元素:.所以以为主元素:所以例2（2021秋·上海奉贤·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2x2-3xy-4y2．【答案】2(x【分析】令2x2-【详解】解：令2x∴a=2,b=∴△=∴x∴2【点睛】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，掌握“把某个未知数看作是常数，利用公式法解一元二次方程”是解本题的关键.举一反三1在实数范围内分解因式：2x【答案】(【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．【详解】解：原式=2=2(=2==(2【点睛】本题考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．举一反三2在实数范围内把多项式x2y-2xy-y分解因式所得的结果是【答案】y【分析】把y看作已知数，求出x2【详解】对于x2∴x=2y∴x1=1+2∴x2故答案为：yx【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0．题型三实数范围内分解因式求参数取值范围例3二次三项式3x2-4x+2k(1)在实数范围内能分解；(2)不能分解；(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】(1)k(2)k>(3)k=23【分析】（1）二次三项式3x2-（2）由（1）知，二次三项式3x2-（3）由（1）（2）可知，当二次三项式3x2-4x+2k能分解成一个完全平方式，则二次三项式对应的方程【详解】（1）解：由题意可知，当二次三项式对应的方程3x2-∴当3x2-4x+2k=0时，Δ=∴当k≤23（2）解：由（1）知，当k≤23∴当k>23时，二次三项式（3）解：由（1）（2）可知，当二次三项式3x2-4x+2k能分解成一个完全平方式，则二次三项式对应的方程3x此时，二次三项式为3x2-【点睛】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．举一反三1若多项式6x2-8x+2k-1【答案】2【分析】由题意可知，多项式在实数范围内不能分解因式，所以方程6x2-【详解】解：根据题意可知，多项式在实数范围内不能分解因式∴方程6x即Δ<0∴Δ=∴k>∴k【点睛】本题主要考查了实数范围内分解饮食和，多项式在实数范围内不能分解因式，即方程无解，也就是Δ<0举一反三2二次三项式(2a-1)x(1)在实数范围内能分解；(2)能分解成两个相同的因式；(3)不能因式分解．【答案】(1)a≥1(2)a=(3)a<【分析】（1）首先得到2a-1≠0，然后令(2a-1)x2-2（2）根据题意可得12a-4=0，求解即可；（3）根据题意可得12a-4<0，求解即可．【详解】（1）原式是二次三项是，可知二次项系数2a-1≠0，得：令(2a-1)x得Δ=原式可分解因式，则有12a-4≥得：a≥13（2）原式可分解为两个相同的式子，则有12a-4=0，得：a=1（3）原式不能分解因式，则有12a-4<0，得：a<1【点睛】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系．题型四一元二次方程的根与系数的关系推论运用例4已知x1，x2是方程3x2-5x-1=0【答案】-【分析】根据“x1，x2是方程3x2-5x-1=0的两个根”，结合“一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax【详解】解：∵x1，x2是方程∴x1+x原式=x【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将原式变形、运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．举一反三1已知α，β是方程2x(1)1α(2)α-2β-2(3)α2【答案】(1)-(2)23(3)6【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系分别求得两根之和和两根之积：α+β=（2）利用整式的乘法展开，再整理代入①②即可；（3）把原式变为(α【详解】（1）解：∵α、β是方程2x∴α+β=原式=α（2）解：原式===23（3）解：原式===6．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．举一反三2（2023春·安徽六安·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程2x(1)求k的取值范围．(2)若此方程的两根为x1，x2，且x1，x(3)若k为正整数，此方程的两根为x1，x2，求【答案】(1)k(2)k=3(3)x1【分析】（1）由关于x的一元二次方程2x2-（2）由矩形的对角线相等，可得原方程有两个相等的正实数根，可得-4（3）由根与系数的关系可得：x1+x2=2，x1x2=【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程2x∴-4解得：k≤（2）∵方程2x2-4x+k-1=0的两根为x1∴x1∴-4解得：k=3；经检验符合题意；（3）∵方程2x2-4x+k-∴x1+x∵k为正整数，k≤∴k=1或k=2或k=3，∴x=5-∴k≠当k=2时，x1当k=3时，x1综上：x1【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式的应用，根与系数的关系是灵活应用，矩形的性质，熟记根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．题型五根据一元二次方程根的情况求参数例5已知关于x的方程ax2+3-2ax+a-3=0．如果方程有两个实数根x1，【答案】a=【分析】运用x1+x2=【详解】解：方程的两个实数根为x1，x则x1+x∵x1则x1∴x1那么2a-则2a-即9a解得a=±【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握一元二次方程的根与系数的关系的知识点是解题的关键．举一反三1（2023秋·福建福州·九年级福建省福州则徐中学校考开学考试）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2m+1【答案】2【分析】根据一元二次方程根与系数关系列方程求解即可．【详解】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程∴Δ=2m+12∵x1∴m1=2，∴当x1【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1、x举一反三2（2021秋·上海·八年级期中）已知a、b分别是等腰三角形的一腰和底边的长，求证：关于x的二次三项式x2-4ax+【答案】证明见解析【分析】根据三角形三边的关系定理，可得2a+b＞0，2a﹣b＞0，从而判断根的判别式的符号，即可得到答案．【详解】∵a、b分别是等腰三角形的一腰和底边的长，∴2a+b＞0，2a＞b．∴2a﹣b＞0．∵△=16a2﹣4b2=（4a+2b）（4a﹣2b）=4（2a+b）（2a﹣b），∴△=4（2a+b）（2a﹣b）＞0，∴方程x2﹣4ax+b2=0有两个不相等的实数根，∴关于x的二次三项式x2﹣4ax+b2一定能在实数范围内分解因式．【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，利用根的判别式得出方程有两个不相等的实数根是解题的关键．题型六根据一元二次方程根的情况求代数式的值例6（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考开学考试）已知m，n是方程x2+2x-2023=0的两个实数根，则m2【答案】2021【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n=-2，根据解的概念得到【详解】解：∵m，n是x2∴m2+2m-∴m2∴m2故答案为：2021．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．举一反三1（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考开学考试）已知x1和x2是方程x2-x-1=0的两个根，则A．1 B．2 C．3 D．-1【答案】B【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，x1∴x＝x＝1+1＝2，故选：B．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．举一反三2（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根，则m【答案】2023【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n=-1，【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2∴m+n=-1∴m【点睛】本题考查了方程的解的概念和根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键．一、单选题1．（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）已知a，b是一元二次方程x2+2023x+1=0的两个实数根，求baA．-2023 B．2023 C．12023 D．【答案】B【分析】根据完全平方公式可变形为ba再利用完全平方公式可得ba【详解】解：根据完全平方公式将原式变形变形，得：ba再利用完全平方公式可得ba故原式=a+b∵a，b是一元二次方程x∴a+b=∴原式=-故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式，韦达定理，熟练利用完全平方公式对原式进行变形是解题的关键．2．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2-6x+m-3=0有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（A．7<m≤12 B．8<m<12 C．10<m<12 D．11<m≤12【答案】A【分析】根据方程有两个实数根，得到Δ≥0，根据根与系数的关系，得到m【详解】解：设方程的两个根为x1,∴x1∴m>7，又方程有两个实数根，∴Δ=∴m≤∴7<m≤故选A．【点睛】本题考查根与判别式以及根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，列出不等式，是解题的关键．3．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）若x=1是一元二次方程x2-3x+c=0的一个根，则此方程的另一个根是（A．x=-4 B．x=-2 C．x=2 D．x=4【答案】C【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】解：设方程的另一个根为x1则1+x∴x1故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．4．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的一个实数根为2，则另一实数根和A．-4，-8 B．-4，8 C．4，-8 D．4，8【答案】A【分析】设方程的另一实数根为t，根据题意得2+t=-2，2t=m，然后先求出t的值，再计算【详解】解：设方程的另一实数根为t，根据题意得2+t=-2，解得t=-4，即方程的另一根为-4，m的值为-故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a5．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则α2A．-2021 B．2021 C．-2023 D．2023【答案】A【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，α⋅β=1【详解】∵α和β是方程x2∴αβ2α⋅β=1，α∴====1=故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．6．（2023春·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校考期中）若x1，x2是方程x2+x-2＝A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x12=-x1+2【详解】∵x1是方程x∴x1∴x1∴x1∵x1，x2是方程∴x1∴x1故选：A．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则7．（2021秋·上海·八年级期中）在实数范围内因式分解2x2-3xy-A．xB．x+C．2x-D．2x+【答案】C【分析】把y看作已知数，求出2x【详解】对于2x∴x=3y∴2x故选C．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为(x－x1)(x－x2)＝0．8．（2019·八年级统考课时练习）如果二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，那么a的取值范围是（A．0<a<916或a<0 B．a≠0 C．a>916 D【答案】C【分析】因二次三项式ax2+3x+4【详解】∵二次三项式ax∴ax∴∆=9-16a<0，∴a>9故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝09．（2021秋·上海·八年级期中）下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（

）.①x2+6x+9；②4x2-4x-1；③-x2-y2A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】别求出对应方程∆的值，看方程是否有实数根即可．【详解】①∵对于x2∆=36-36=0，∴在实数范围内能用公式法分解因式；②∵对于4x∆=16+16=32>0，∴在实数范围内能用公式法分解因式；③∵对于-x∆=0-4<0，∴在实数范围内不能用公式法分解因式；④∵对于2x∆=0+8=8>0，∴在实数范围内能用公式法分解因式；⑤∵对于x2∆=0+28=28>0，∴在实数范围内能用公式法分解因式；⑥∵对于9x∆=36-144=-108<0，∴在实数范围内不能用公式法分解因式；故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝010．在实数范围内把2x2-4x-8分解因式为（A．2B．x-1+C．2D．2【答案】C【分析】先求出一元二次方程2x2-【详解】2x∵∆=16+64=80，∴x=4±∴x1=1+5∴2x2-故选C.【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，以及求根公式法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键.二、填空题1．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考开学考试）若一元二次方程x2-4x-3=0的两个根是x1，x2，则【答案】-【分析】直接根据根与系数的关系求解．【详解】解：∵一元二次方程x2-4x-3=0∴x故答案为：-3【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟记x1，x2，是一元二次方程ax2+bx+c=02．（2023秋·九年级课时练习）若α，β是方程x2+2x-2022=0的两个实数根，则α2【答案】2020【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=【详解】解：根据题意得α+β=所以α2故答案为：2020．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a3．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）等腰三角形的一边为9，另两边恰好是关于x的一元二次方程x2-kx+9=0的两根，则k的值是【答案】10【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=k，x【详解】解：设x2-kx+9=0∴x1+x∵等腰三角形的一边长为9，另两边的长是关于x的方程x2∴x1=9，当x1=9，当x1∴k=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．4．（2023春·安徽滁州·八年级统考期中）已知α，β是一元二次方程x2（1）α2+（2）α4-α-4β=【答案】36【分析】（1）根据α+（2）根据α+【详解】（1）∵α，β是一元二次方程x2∴α+∵α+∴α2故答案为：3.（2））∵α，β是一元二次方程x2∴α+∴α2∴α4∴α4故答案为：6.【点睛】本题考查了根与系数关系定理，根的定义，熟练掌握定理，灵活运用的根的定义降次变形计算是解题的关键.5．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）若x=3是一元二次方程x2-mx=6的一个解，则该方程的另一个解是【答案】x=【分析】将方程化为一般式，根据一元二次方程根与系数的关系得出x1【详解】解：将方程化为一般式为x2∴a=1,b=-∴x1∵x=3是原方程的一个解，∴另一个解为x=-故答案为：x=-【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=06．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么x1+x2=-ba【答案】±【分析】由根与系数的关系可得出m+n=-32，mn=【详解】解：∵m与n是方程2x∴m+n=-32∴m-∴m-故答案为±17【点睛】本题考查了根与系数的关系，完全平方公式变形的应用，根据根与系数的关系找出m+n=-327．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）若关于x的一元二次方程x2（1）该方程根的情况是．（2）当m=1,2,3,⋅⋅⋅,2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1,【答案】有两个不相等的实数根4048【分析】（1）根据根的判别式Δ=b2-4ac即可进行判断；（2）根据根与系数的关系x【详解】解：（1）Δ∴Δ故该方程有两个不相等的实数根故答案为：有两个不相等的实数根（2）设方程x2+2x则x∴1故：1α1+1…..1∴1=2=2=故答案为：4048【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键．8．（2021春·上海普陀·七年级校考期中）二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式，则a的取值范围是．【答案】a≥﹣916【分析】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，由此可解．【详解】解：二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣3x﹣4a＝0有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×（﹣4a）＝9+16a≥0且a≠0，解得a≥-9故a的取值范围是a≥-9故答案为：a≥-9【点睛】本题考查二次三项式的因式分解问题，可转化为对应的二次方程的实数根的情况，掌握“一元二次方程根的判别式”是解本题的关键．9．（2022秋·八年级单元测试）在实数范围内分解因式：3x【答案】3【分析】把3x【详解】解：关于xy的方程3x△=b2-4ac=(-2)2-4×3×(-6)=76，∴方程的两根为xy=2∴原式可分解为：3故答案为：3【点睛】此题考查因式分解和求根公式法解一元二次方程，掌握相应的运算公式是解答此题的关键.三、解答题1．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣y2．【答案】2(x【分析】先令2x2-3xy-【详解】解：令2x∴△=∴x=∴x∴【点睛】本题考查的是在实数范围内进行因式分解，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解本题的关键.2．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程x2(1)求实数k的取值范围；(2)方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1【答案】(1)k(2)k的值为-【分析】（1）一元二次方程有实根时Δ≥0（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=∴k≤（2）解：∵方程的两个实数根分别为x1，x∴x1+x∵x1∴x1∴k-解得k=-故所求k的值为-3【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，则Δ≥3．（2023春·山东威海·八年级统考期末）关于x的一元二次方程x2(1)试判断该方程根的情况并说明理由；(2)若x1,x【答案】(1)该方程有两个不相等的实数根，详见解析(2)x【分析】(1)根据方程，计算根的判别式，确定根的情形．(2)根据方程，利用根与系数关系定理，代入计算．【详解】（1）方程有两个不相等的实数根．理由如下：∵x2∴x2∴a=1,b=-∴Δ==m+1故方程有两个不相等的实数根．（2）∵x2∴x2∵x1∴x1∵3x∴33+m解得m=1，故原方程变形为x2解得