第07讲 有理数的混合运算(6类热点题型讲练)（原卷版）

第07讲有理数的混合运算1.掌握有理数的加减乘除及其乘方的混合运算.2.灵活应用有理数的运算法则解决问题.知识点1有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得_____；（如果两个数的和为_____，那么这两个数互为相反数）（4）一个数同0相加，仍得这个数.【答案】0；0知识点2有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的_______，即.【注意】计算过程中，一定要注意符号.【答案】相反数知识点3有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.（4）有理数的乘法运算律①乘法交换律：；②乘法结合律：；③乘法分配律：．知识点4有理数的除法法则（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的_______.（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.【答案】倒数知识点5有理数的乘方（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.题型01有理数四则混合运算【典例1】（2022秋·山西太原·七年级校考阶段练习）计算(1)；(2)(3)；(4)；【变式1】（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）计算：(1)(2)【变式2】（2022秋·广东广州·七年级广州市南武实验学校校考期中）计算题(1)．(2)．(3)．(4)．题型02程序流程图与有理数计算【典例1】（2023秋·山西太原·七年级校考期末）下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为．【变式1】（2023·江苏·七年级假期作业）如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为．【变式2】（2023·全国·七年级假期作业）按下图的程序计算，如果输入，则输出的结果为．题型03算“24”点【典例1】（2023春·上海·六年级专题练习）“点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式．【变式1】（2023春·上海·六年级专题练习）做数学“24点”游戏时，抽到的数是：，3，4，；你列出算式是：（四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或）．【变式2】（2023春·上海·六年级专题练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：(1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________；(2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是________，商为________；(3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可）题型04有理数错题复原问题【典例1】（2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？原题是：计算：这是小刚的计算过程：解：原式

第一步

第二步

第三步．

第四步观察小刚的计算过程回答下列问题：(1)小刚在进行计算第一步时运用了______律；(2)他在计算中出现了错误，你认为他在第______步出错了？(3)请你给出正确的解答过程．【变式1】（2022秋·吉林长春·七年级校考阶段练习）在计算时，小明的解法如下：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）回答：(1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________；(2)请在下面给出正确的解答过程．【变式2】（2022秋·河南驻马店·七年级校考期中）阅读下列解题过程：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）解答问题：(1)上面解答过程有两个错误，第一处是第_______步，错误的原因是______；第二处是第_______步，错误的原因是_______．(2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议．题型05含乘方的有理数混合运算【典例1】（2022秋·陕西西安·七年级西安市东方中学校考期末）计算：【变式1】（2023春·吉林松原·七年级统考期末）计算：【变式2】（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：．【变式3】（2020秋·广东深圳·七年级校考阶段练习）混合运算：(1)．(2)．题型06新定义型有理数混合运算【典例1】（2022秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）计算规定，试计算：的值．【变式1】（2023·河北沧州·校考二模）若，是有理数，定义一种运算“▲”：，(1)计算的值；(2)计算的值；(3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．【变式2】（2022秋·福建泉州·七年级校考阶段练习）若我们定义，其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如：．依据以上内容，求下列式子的值．(1)；(2)．一、单选题1．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）下面各对数中，结果相等的是（）A．和 B．和C．和 D．和2．（2022秋·广东佛山·七年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）下列计算过程中，正确的是（

）．A． B．C． D．3．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（

）甲：

乙：丙：

丁：A．甲和丙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁4．（2023·云南昆明·统考二模）定义一种新运算：，如，则的结果为（）A． B． C． D．二、填空题5．（2022秋·江西宜春·七年级统考期中）计算：．6．（2022秋·河北沧州·七年级统考期中）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“”加“★”键，再输入“”，就可以得到运算．按此程序．7．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）根据如图的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为.8．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）我们常用十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如表示的数为），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是．三、解答题9．（2023秋·山西太原·七年级统考期末）计算：．10．（2023春·上海宝山·六年级统考期末）计算：．11．（2023春·上海松江·六年级统考期末）计算：12．（2023春·上海嘉定·六年级统考期末）计算：13．（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)．(3)；(4)．14．（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）小明做了如下一道有理数混合运算的题目：(1)请把小明第一步计算中错误的地方用一部运算的方式摘抄下来，并写出错误的原因．(2)请给出这道题的正确解答．15．（2023秋