理学高等代数

第一章 多项式1.8

有理系数多项式预备知识1.

有理系数多项式问题可归结为整系数多项式的问题．例如，有理系数多项式则可选取适当整数

使

为整系数多项式．所以有理系数多项式问题可归结为整系数多项式的问题一般地，设2.整系数多项式可分解的定义设

若存在其中是不可分则称

是可分解的，否则称解的。一、本原多项式1.设为本原多项式．则没有若异于

的公因子，即是互素的，本原多项式的性质5.

引理1.8.1使其中为本原多项式．而且这种表示式是唯一的即，若，则有6．Gauss引理定理1.8.2

两个本原多项式的积仍是本原多项式证：

设是两个本原多项式．反证法．若不是本原的，则存在素数不能整除的又

是本原多项式，所以每一个系数．令

为中第一个不能被整除的数，即中第一个不能被同理，

本原，令

为整除的数，即又矛盾．在这里故是本原的．推论1

若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．推论1说明整系数多项式证：设整系数多项式有分解式其中且令这里，皆为本原多项式，于是由定理1.8.2本原，从而有即得证．设是整系数多项式，且是本原推论2的，若则必为整系数多项式．证：令本原，即为整系数多项式．于是有，二有理系数多项式在有理数域上是否可约与整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的关系.定理1.8.4

设是一个整系数多项式，而

是它的一个有理根，其中

是互素的，则必有三、整系数多项式的有理根的求法从而又

互素，比较两端系数，得所以，证：是

的有理根，∴

在有理数域上，本原．由上推论，有定理只是判断整系数多项式有理根的一个必要条件而非充分条件．的有理根.例1

求方程解：可能有理根为用综合除法可知，只有1为根．注意在

上不可约．至少有一个一次因式，所以不可约．例2

证明:证：

若

可约，则也即有一个有理根．但

的有理根只可能是而矛盾．定理1.8.5

艾森斯坦因Eisenstein判别法设是一个整系数多项式，若有一个素数

使得则在有理数域上是不可约的．四、整系数多项式不可约的条件返回证：

若

在

上可约，由定理11，可分解为两次数较低的整系数多项式积又不妨设但或不能同时整除另一方面，假设中第一个不能被整除的数为比较两端的系数，得上式中皆能被

整除，矛盾．故不可约．例4

证明：证：（令在

上不可约．即可）．(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)例5

判断（

为素数）在上是否可约．解：令则为整系数多项式．但在

上不可约，

从而在

上不可约．即注意①

Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而非必要条件．也就是说，如果一个整系数多项式不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，也可能是不可约的．②

有些整系数多项式

不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换

使满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式不可约．有理系数多项式在有理系数上不可约命题多项式在有理数域上不可约．在

上不可约．例6

证明：证：作变换取则在Ｑ上不可约，所以在Ｑ上不可约．由Eisenstein判别法知，对于许多

上的多项式来说，作适当线性代换后说明：再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在上的多项式

无论作怎样的代换

都不能使

满足爱森斯坦因