第18讲三角形与全等

第18讲三角形与全等三角形1．三角形的边、角关系三角形的任意两边之和____第三边；三角形的内角和等于____．2．三角形的分类按角可分为____________和______________，按边可分为____________和_______________．大于180°直角三角形斜三角形不等边三角形等腰三角形3．三角形的主要线段4.全等三角形的性质和判定(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等．(2)判定：①___________对应相等的两个三角形全等(SAS)；②____________对应相等的两个三角形全等(ASA)；③_______________________对应相等的两个三角形全等(AAS)；④____对应相等的两个三角形全等(SSS)；⑤__________________对应相等的两个直角三角形全等(HL)．两边和夹角两角和夹边两角和其中一角的对边三边斜边和一条直角边5．命题与定理(1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由____和____两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．(2)命题的证明：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是_________，只需举出一个反例即可．(3)定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．定理是真命题，但真命题不一定是定理．题设结论假命题1．证明三角形全等的三种基本思路(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；(3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等．另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件．2．证明几何题的四种思考方法(1)顺推分析：从已知条件出发，运用相应的定理，分别或联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标；(2)逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法；(3)顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法．命题点1：与三角形有关的线段1．(2017·河池)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是(

)A．中线B．角平分线C．高D．中位线命题点2：三角形三边关系2．(2017·舟山)长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是(

)A．4B．5C．6D．9AC3．(2017·株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD＝(

)A．145°B．150°C．155°D．160°B4．(2017·黑龙江)如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件_____________________________，使得△ABC≌△DEF.命题点5：命题5．(2017·百色)下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中是假命题的有____．(填序号)AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF②三角形的三边关系

【例1】

(1)(2017·金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(

)A．2，3，4B．5，7，7

C.5，6，12D．6，8，10(2)(2017·扬州)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是(

)A．6B．7C．11D．12CC【点评】

三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.[对应训练]1．(1)(2017·白银)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(

)A．2a＋2b－2cB．2a＋2bC．2cD．0(2)(2017·达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是_____________．D1＜m＜4三角形中重要线段的有关计算

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【点评】

对于三角形中求线段长度的问题：(1)若条件中涉及三角形的中位线，即利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半来计算；(2)若条件中涉及三角形的角平分线时，则应联想到角平分线上的点到角两边的距离相等；(3)若条件中涉及到三角形的中线时，则应联想到两条线段相等；(4)若条件中涉及垂直平分线时，则应联想到垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(5)若条件中涉及到高线时，则应联想到勾股定理．[对应训练]2．(1)(2017·常州)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是____．(2)(2017·遵义)如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(

)A．4.5

B．5C．5.5D．615A全等三角形的判定与性质

【例3】

(1)(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：_________，使得△ABC≌△DEC.AB＝DE(2)(2017·泸州)如图，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AF＝DC，∠A＝∠D，BC∥EF，求证：AB＝DE.【点评】

判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．[对应训练]3．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.全等三角形判定和性质的综合运用

【例4】

(2017·常德)已知四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F.(1)如图①，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；(2)如图②，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明你的结论．(2)结论仍然成立，理由是：如图②所示，过E作MN∥AH，交BA，CD延长线于M，N，∵∠CAE＝90°，∠BAD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠CAD＝90°，∴∠2＝∠CAD，∵MN∥AH，∴∠3＝∠HAE，∵∠ACH＋∠CAH＝90°，∠CAH＋∠HAE＝90°，

【点评】

本题的关键是能正确找出全等三角形；在几何图形中证明线段相等或已知线段相等的一般思路是：①证明相等线段所在的三角形全等；②利用相等线段的比值为1证相等．[对应训练]4．(导学号：65244022)(2016·长春)感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.应用：如图③，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝____．(用含a的代数式表示)应用：解；如图③连接AD、作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，

18.留心“边边角”)

试题如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，E是AD上的一点，EB＝EC，∠1＝∠2.求证：∠BAE＝∠CAE.错解证明：在△AEB和△AEC中，∵AE＝AE，EB＝EC，∠1＝∠2，∴△AEB≌△AEC(SSA)，∴∠BAE＝∠CAE.剖析先看一个事实，如图，将等腰△ABC的底边BC延长线上的任一点和顶点A相连，所得的△DAB和△DAC无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相