2021年浙江省临海市、新昌县高考数学模拟试卷（5月份）（附答案详解）

2021年浙江省临海市、新昌县高考数学模拟试卷（5月份）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

2

1.已知集合4={x\x-2x<0},B=（x\0<log3x<1},则4n8=（）

A.{%|0<%<3}B.{x[l<%<3}C.{x|0<%<2}D.{x|l<%<2}

x—y+1N0

2.若实数尤，y上满足约束条件2x+y—2WO,则z=%+2y的最大值是（）

ty>0

A.1B.3C.5D.7

3.已知椭圆5+丫2=1（机>1）的离心率为圣则双曲线5-产=1的离心率是（）

俯视图

A.yB.YC.10D.14

5.函数=（2*+2-*）・恒因的图象大致为（）

6.设m，是实数，则“伤＞班”是“a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知数列{%},{bn},满足a1=1,瓦=6,an+i=2%,bn+1=2bn-2an（ne7*）.

若以=瓦，%的值是（）

A.4B.5C.6D.7

8.已知正实数a,〃满足a+2b=2,则=+券的最小值是（）

A.：B.[—D*

9.已知圆O：x2+y2=1上存在点P,直线/：kx-y+4=0上存在点Q,使得4PQ。=

会则实数上的取值范围是（）

A.[-V3)V3]B.(―co,—V3]U[V3,+oo)

C.[-V2,V2]D.(-oo(-V2]U[V2,+oo)

10.已知关于x的不等式（/+ax+b）之0在（0,+8）上恒成立（其中a,beR）,

则（）

A.当a=-2时，存在匕满足题意B.当a=0时，不存在〃满足题意

C.当b=1时，存在a满足题意D.当b=2时，不存在a满足题意

二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）

11.若z=1+i(i是虚数单位)，则|z|=,z+|=

12.若二项式弓-3日）九的展开式的各项系数之和为64,则九=,含/项的系数

为______

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13.已知函数/(x)=sinsx•(cossx-百sizi3X)(o>>0)的最小正周期为兀，则

3=,当xe[0,押寸，/(%)的取值范围是.

14.某一射击游戏规则为：一共射击3次，若未击中得0分；第一次击中得1分；若前

次未击中，则接下去这次击中得1分；若出现连续击中情况，则后一次得分为前一

次得分加1分.某选手每次射击击中的概率为点记其参加游戏的总得分为。则

P&=2)=，E(f)=.

15.在平面四边形A8CQ中，AM=MC,AB-~BD=CB-BD.^\AB\=m,\CB\=n,则

CA-DM=•

16.当％e[k-+},kez时，/'(%)=k.若函数g(x)=x/(x)-mx-1没有零点，

则正实数m的取值范围是.

17.如图，在矩形A8C£>中，AB=2,BC=4,E是边40的中点，将△ABE沿直线

BE折成△A8E,使得二面角4-BE-C的平面角为锐角，点F在线段4'B上运动(

包括端点)，当直线CF与平面ABE所成角最大时，在底面ABCO内的射影

面积为•

三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)

18.在UBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosA=jsinC=<2cosB.

(I)求sinB的值；

(口)若c=2,求a的值.

19.如图，在三棱锥P—ABC中，M是PC的中点，M在平面A8C的射影恰是A4BC的

重心。，且力B=4C=BC=AP.

(I)证明：AMIBC；

(II)求直线AM与平面PAB所成角的正弦值.

20.已知数列｛加｝的首项为=2,前〃项和为％,且数列｛手｝是以1为公差的等差数列.数

列｛bn｝的首项&=1,bn+1=3bn(neN*).

(I)求｛斯｝和｛%｝的通项公式；

(口)记7=瓦膏)就：百，求证：C1+c2+-+cn>i-^.

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21.如图，已知点尸是抛物线Ci：y2=2px(p>0)上的动点，过点P作圆。2：(%-2)24-

y2=1的切线PA,PB(4,8是切点)分别与抛物线G交于点C,D.当尸是坐标原点0

时，|CD|=4V3.

(I)求抛物线G的方程；

(U)若CD〃AB,求点尸的坐标.

22.已知函数/(x)=e*+(1+X)。+士一a-2,g(x)=bx2+x,其中a6R,be

R.(e=2.718281828……为自然对数的底数)

(I)求/。0在点(0,/(0))处的切线方程；

(n)若a24时，〃>)2g(x)在(0,+8)上恒成立.当6取得最大值时，求M=等

的最小值.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为集合4={x\x2-2x<0}={x|0<%<2},

又B={x|0<log3x<1}={x|l<x<3},

所以4nB={x[l<x<2}.

故选：D.

先利用一元二次不等式和对数不等式的解法求出集合A,B,然后由交集的定义求解即

可.

本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义,

属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

当直线y=；过A时,

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3.

故选：B.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

3.【答案】C

【解析】解：椭圆*+y?=1(7n>1)的离心率为日，

可得甯=立，解得血=2,

V?n2

则双曲线9—y2=i的离心率为：选=当

故选：C.

利用椭圆的离心率求解m,然后求解双曲线的离心率即可.

本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱台;

所以：l/=|x(lxl+Vlx1x2x2+2x2)x2=y.

故选：B.

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积.

本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，

主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：根据题意,函数/(x)=(2"+2r>lg|x|,其定义域为{x|x。0},

则f(r)=(2X+2-x)-lg|x|=/(x),即函数f(x)为偶函数，排除B,

在区间(0,1)上，2x+2-x>0,lg|x|<0,则f(x)<0,排除AC,

故选：D.

根据题意，先分析函数的奇偶性，在分析区间(0,1)上，/(x)的符号，用排除法分析可得

答案.

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本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值符号的分析，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：①当正>VF时，［a>b20,>ab,.•.充分性成立，

②当a=-3,6=1时，满足a?>ab,但不满足G>VF,.,.必要性不成立，

yfa>VF是a?>ab的充分不必要条件，

故选：A.

根据不等式的性质和举实例，借助充分必要条件的定义即可求解.

本题考查了不等式的解法与性质、简易逻辑的判定方法，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：数列｛册｝,满足%=1,an+1=2an,

故膏=2（常数），

所以数列8工是以1为首项，2为公比的等比数列；

所以。九=2nT,

由于bn+i=2匕-2an,

n

所以垢+i=2bn-2,

整理得：黑—黑=/

所以数列｛箓｝是以3为首项，为公差的等差数列；

所以普=3—"兀-1）,

整理得：%=（一）2,

由于。=bk,

所以/-1=（m）•2匕

解得k=6.

故选：C.

直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出上的值.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和数学

思维能力，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：•.•正实数a,6满足a+2b=2,

1/,oj.oxz1.2、1”,4,2b+2,2a、、1_.2b+22a、9

=-(a+2b+2)(-+—)=-(l+4+—+—)>-x(z5+o2j—x—)=-,

当且仅当a=%时，取得最小值，

故选：A.

变形利用基本不等式即可得出结论.

本题考查了基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：直线依一丁+4=0过定点(0,4),

由题意可得，当直线P。与圆相切时，4PQ0最大，止匕时1°<21=靛=2,

要使圆0：x2+y2=1上存在点P,直线/：以一y+4=0上存在点Q,使得“Q。=£

成立，

则有d=J*w2,解得ke(―00,—百]u[b,+8).

故选：B.

由题意，当直线尸。与圆相切时，NPQ。最大，此时|0Q|=2,然后可得圆心到直线的

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距离小于或等于2,求解不等式可得实数A的取值范围.

本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力,

是中档题.

10.【答案】D

【解析】解：；(>+ax+b)-Inx>0在(0,+8)上恒成立,

①若0<x<1,则Inx<0,

x2+ax+b<0在区间(0,1)上恒成立，令g(x)=x2+ax+b,

l，l(5(0)<0cb<0.p<0

则hig⑴WO'即Q+b+lWO'叫aS-1；

②若xNl,则①x20,

x2+ax+b>0在区间［1,+8)上恒成立，

由①知，b<0,

故g(x)20=g(l)=/+a+b20,即a+b+120,由①知a+b+IWO,

a+b+l=O,其中bW0,

对于A,当a=-2时，6=1,不满足bS0,故A错误；

对于8,当a=0时，b=—1,满足bW0,故B错误；

对于C,b=l>0,故不存在“满足题意，故C错误；

对于力，当b=2时，不存在。满足题意，故。正确：

故选：D.

分0<x<1与久>1两类讨论，依题意，可得a+b+1=0,其中b<0,从而对A、B、

C、。四个选项逐一分析可得答案

本题考查函数恒成立问题，求得a+b+l=O,且匕40是关键，也是难点，考查分类

讨论思想与等价转化思想的综合运算，考查逻辑推理与数学运算能力，属于难题.

11.【答案】V22

【解析】解：1"-z=1+i,

\z\=V2,

•.•z+：=l+i+2+i++i+l—

故答案为：V2,2.

利用复数的模长公式和复数的四则运算求解.

本题主要考查了模长公式和复数的四则运算，是基础题.

12.【答案】6729

【解析】解：•.•二项式C一3石尸的展开式的各项系数之和为(1-3)"=64,则n=6.

根据它的通项公式4+1=瑞•(一3尸.xT-6，

令日—6=3,求得r=6,

故含项的系数为若.(—3)6=36=729,

故答案为：6；729.

由题意利用二项展开式的通项公式，求得含二项的系数.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题.

13.【答案】1[_旧,1一日]

【解析】解：函数/(x)=sina>x•(cosoix-V3sinwx)

=sina)xcosa)x—V3sin2cox

1V3

=-sin2a)x——(1—cos2a)x)

=sin(2eox+；)-

因为3>0,且/(%)的最小正周期为7T,

所以7=篝=兀，解得3=1；

2a)

则/(x)=sin(2x+》一学

因为xe[0,J

所以2%+geg,争,

故sin(2x+》e[—今1],

所以/(x)G[―V3,1—争，

故答案为：[一百,1一日].

先利用三角恒等变换将函数f(X)的解析式化简变形，然后利用周期的计算公式求出3的

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值；利用整体代换的思想以及正弦函数的性质求解f(x)的取值范围即可.

本题考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期性以及值域的求解，解题的关键是

将函数的解析式进行化简变形，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.

14.【答案W蓝

【解析】解：当f=2时，说明第一次击中，第二次没有击中，第三次击中，

所以PK=2)=3XTX；京

由题意，f的可能取值为0,1,2,3,6,

当《=0时，说明一次都没击中，则P&=0)=；x；x；=；,

ZZZo

当6=1时，说明击中一次，则=1)=废；x；x；=；,

当；=2时，说明第一次击中，第二次没有击中，第三次击中，则P(f=2)=；x；x；=；,

ZZZo

当f=3时，说明前两次击中，最后一次未击中或第一次未击中，其余两次击中，则P&=

3c)、=-1x—1x—1,I—1x—1x—1=—2,

72222228

当f=6时，说明三次都击中，则P(f=6)=；x?x：=§

4ZZo

所以E(f)=0xq+lxg+2x"3x|+6x；?

故答案为：a*

oo

由f=2所表示的事件，利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；先求出随机变量f

的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可.

本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻

辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

15.【答案】如2_滔

【解析】解：根据题意，作出图形如下:

因为而•丽=蕾•丽，

所以（而一方）•前=0，即得前•前=0，

即得4c1BD,

又因为祠=祝，即点M为AC中点，

所以丽=^DA+^DC=^（DB+BA）+^（DB+JC）=DB+^BA+|fiC,

所以不■DM=CA-'DB+CA-（qBA+|BC）=0+^（BA-'BC）（BA+BC）=i（B^-

—>2

BC），

又因为|AB|=m,|CF|=n>

所以g5-DM=|m2—1n2.

故答案为：jni2—|n2

使用平面数量积的性质和运算，将题中数量积化简即可得到4CLBD,然后用线性运算

将血转化为前，放，然后使用勾股定理进行求解.

本题主要考查向量数量积的运算，以及向量的线性运算，属于中档题.

16.【答案】口,》“也2）

作出函数/(x)与h(x)=：+m的图象，

由图可知，当x<0时，要使得函数g(x)=xf(x)-mx-1没有零点，

必须满足—1<%(—1)<0，解得1<771<2；

当x>0时，要使得函数g(x)=x/(x)-mx-1没有零点，

必须满足1<九(|)<2或2</i(|)<3,解得5<m<g或g<m<Y.

综上所述，实数机的取值范围为］1,》U《,2).

故答案为：［1,}U《,2).

当x=0时，g(0)K0,当XH0时，将问题转化为两个函数图象的交点来研究，作出函

数f(x)与h(x)=5+6的图象，利用数形结合法进行分析求解即可.

本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的

方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析

得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于

中档题.

17.【答案】3—相

【解析】解：如图，设二面角4—BE—C的平面角

/.A'HO=0,

则4。=夜sin。，HO=V2cosd,OC2=(3-

cos9)2+(1-cosd)2,

A'C2=(3—cos8')2+(1-cosO}2+2sin29,即

A'C2=12-8cosd<12,

•••4BAC为钝角，•••CF2C4',

即直线CF与平面ABE所成角最大时，F点就是4点，

另一方面，「CE1BE,：.C到平面4BE的距离为d=CE-sin9=2asM。，

•・・此时所成角的正弦值sina=且=善g=V2.近叵，

CAfV12-8COS0Y3—2cos8

令t=3-2cos0=遍时，角度最大，即cos。=-1

2

此时S投影面积=S原面积-cos*x2x2x等=3-倔

故答案为：3-伤.

设二面角A-BE—C的平面角NA"。=。，根据条件得到A'C?=12-8cos0<12,再

求出直线CF与平面4BE所成角最大时，C到平面4BE的距离为d=CE-sinO=

2年tn。，再求出AFBE在底面ABC。内的射影面积.

本题考查投影面积的求法和二面角，考查运算求解能力，是中档题.

18.【答案】解：（I）因为cosA=1,sin2i4+cos24=1,AG（O.TT）,

所以sinA=y/1-cos2/l=-,

3

又C=7i-A-B,

所以sinC=sin（i4+8）=sinAcosB+cosAsinB=与cosB+；sinB,

因为sinC=&cosB,即等cosB+^sinB=yflcosB»

所以s讥B=V^cosB,

又siM8+cos2^=1,

所以解得sinB=亚.

3

（II）因为sinC=CcosB,

由（I）可得sinB=>/2cosB=乎,

所以s讥C=渔，

3

因为c=2,

由正弦定理可得a=等=岑=衅.

sinCV63

3

【解析】（I）由己知利用同角三角函数基本关系式可求sin4的值，根据两角和的正弦公

式，同角三角函数基本关系式即可求解sinB的值.

（II）由（I）及已知可求sinC的值，进而根据正弦定理即可求解“的值.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理在解三角形中

的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.【答案】解：（I）证明：连接A。，•・•点M在平面ABC的投影

为O,

•••MO1平面ABC,BCu平面ABC,BC1MO,

•••点。恰是等边△4BC的重心，;BCLAO,

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VM。n40=0,•••BC1平面AMO,

•••AM1BC.

（11）延长40交8（7于点。，连接

由（I）得。为BC中点，设0D=l,

11•△ABC是正三角形，［AO=0C=2,

二正三角形边长为2遍，

由AMOC三△M04,MA1MC,得M4=MC=巡，

PM=V6，PA=2V3，MO=V2.MD=痘,PB=2MD=273.

取PB中点、E,-：AP=PB,.-.AE1PB,

由（1）得4M1BC,又4MlpC,得AM，平面PBC,

.-.AMLPB,：.PB1^AME,即NE4M是直线AM与平面PAB所成角，

由题意得AE=3,EM=V3.MA=V6.

,,...EM

•••smZ-nEAM=——=—V3,

AE3

•••直线AM与平面PAB所成角的正弦值为它.

3

【解析】（I）连接A。，则MO_L平面ABC,BC1MO,由点。恰是等边△ABC的重心,

得BC1A0,从而BC1平面AMO,由此能证明4MlBC.

（II）延长A。交BC于点。，连接则。为BC中点，设0。=1,则4。=。。=2,

正三角形边长为2旧，由^MOCSAMOA,MA1MC,得M4=MC=遍，取PB中点E,

推导出4M_L平面PBC,PBJ_平面AME,NEAM是直线AM与平面PAB所成角，由此能

求出直线AM与平面所成角的正弦值.

本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面

间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档

题.

20.【答案】（I）解：因为%=2,所以彳=2,

又数列曲是以1为公差的等差数列，

2

所以中=n+l,Ji!!jSn=n+n,

当n>2时，an=Sn-Sn,i=2n,

当九=1时，ar—2也适合上式，

所以Qn=2九;

因为小+i=3bn,所以数列出九｝是公比为3的等比数列,

又瓦=1,则匕=3nT；

(an-Dbn_(2nT)3n7

（口）证明:(如+DSn+i+D―(3…+1)(3九+1)>甲-1+1)(3兀+1)'

口刃中-1+1)(3、+1)-(3n-1+l)(3n+l)一(3n-1+l)(3n+l)-3吁1+1-3n+l，

故。>金n+1

3n+l，

所以C1+C2+…+%>（土一舟）+（岛一号）+…-瑞）=^一^，

故Cl+c2+-•­+cn>^-^

【解析】（I）利用等差数列的通项公式求出S”，由数列的第〃项与前〃项和之间的关系

求IIIan,利用等比数列的通项公式求解为即可；

（II）利用（I）中的结果，将“表示出来，然后利用放缩法结合裂项相消法求和，即可证

明不等式成立.

本题考查了与不等式的综合应用，涉及了等差数列通项公式的应用，数列的第〃项与前

〃项和之间关系的应用，放缩法证明不等式以及裂项相消法求和的应用，考查了逻辑推

理能力与化简运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：（I）P是坐标原点。时，设切线的方程为丫=卜X,BR/cx-y=0,

由切线与圆相切，可得圆心（2,0）到切线的距离为d=韶=1,

解得k=±f,则切线的方程为丫=±?x，

当尸为坐标原点时，釉，又|CD|=4>/5，

所以可设。的纵坐标为2班，

则2代=1打，解得益=6,

将C（6,2g）代入抛物线的方程可得12=2p-6,

解得p=1,则抛物线的方程为y2=2x；

（口）因为PA,P8为圆C2的两条切线，A,B为切点,可得PA=PB,

若CD“AB,则PC=PC.

而尸为原点时，切线PA,PB关于x轴对称，PC,P£>也关于x轴对称，而抛物线和圆

关于x轴对称，

第18页，共20页

所以此时必定有CD〃4B,而P4交抛物线于C(6,2次)，P8交抛物线于0(6,-2遮)，

而CQ在直线％=6上，不与圆。2相切，

因此P的坐标为(0,0)；

同样，CD//AB,如P不在这三个点上，由PC=PD,△「<?£>关于PQ对称，

难以满足C,。都在抛物线上，

故P的坐标为(0,0).

【解析】(I)设切线的方程为丫=4％,由直线和圆相切的条件：d=r,可得A和切线的

方程，由P为坐标原点时，可得CDlx轴，求得C,。的坐标，代入抛物线的方程，可

得P，进而得到抛物线的方程；

(n)由切线长相等和平行线的性质，可得PC=PD,讨论尸为原点，结合对称性，推得

△PCD为等边三角形，可得产的坐标；由CD〃4B,如P不在这三个点上，由对称性，

可判断结论.

本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和圆、直线和抛物线的位置关系，考查

方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

22.【答案】解：(I)--/"(%)=ex+a(l+x)^1-不失，

•••/'(0)=1,

又f(0)=o,

・••所求切线方程为y=尤；

(11)设八0)=