沪科版数学九年级24.5三角形的内切圆

三角形的内切圆CBADFEOrluzishu1.直线与圆的3种位置关系:2.有关切线的内容：〔1〕切线的判定〔判定定理〕.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.〔2〕切线的性质〔定理〕：圆的切线垂直于过切点的半径.〔3〕切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.主要辅助线：作过切点的半径(垂直关系).“题中假设有圆切线，圆心切点连一连〞

复习1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？①.圆心与半径2、表达角平分线的性质与判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、以下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；圆O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心或②.不在同一直线上的三点ABCO回忆

如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ABCABC思考：1．如图，假设⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。

2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。OMABCNO图2ABC作法：

ABC1、作∠B、∠C的平分线

BM和CN，交点为I。

I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。

3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆。

MND你能画出圆吗?这样的圆可以作出几个?为什么?.∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?),∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.三角形与圆的位置关系ABCI●┓●EF定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；性质：CBADFEOr2.三角形的内心在三角形的角平分线上；老师提示:多边形的边与圆的位置关系称为切.多边形的顶点与圆的位置关系称为接名称确定方法图形性质

内心〔三角形内切圆的圆心〕三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在三角形的内部．〔1〕到三边的距离相等；〔2〕OA、OB、OC分别平分三个内角；〔3〕内心在三角形内部．

外心(三角形外接圆的圆心)1、如图1，△ABC是⊙O的

三角形.⊙O是△ABC的

圆，点O叫△ABC的

，它是三角形

的交点.外接内接外心三边中垂线3、如图2，△DEF是⊙I的

三角形，⊙I是△DEF的

圆，点I是△DEF的

心，它是三角形_______

交点。2、定义：和三角形各边都相切的圆叫做

，内切圆的圆心叫做三角形的

，这个三角形叫做

.ABCO．图1IDEF．图2三角形的内切圆内心圆的外切三角形外切内切内角平分线稳固概念：1、判断题：

(1)三角形内心到三角形各顶点的距离相等.

(2)三角形的外心到三角形各边的距离相等.

(3)三角形的内心一定在三角形的内部.

(4)菱形一定有内切圆.

(5)矩形一定有内切圆.圆内接平行四边形是矩形圆外切平行四边形是_______DACBD·O·ABCDO菱形例2：如图，在△ABC中，∠ABC=43°，∠ACB＝61°，点I是内心，求∠BIC的度数。

IA243BC1〔1〕假设∠A=80°，那么∠BOC=度。13020如图，在△ABC中，点O是内心，ABCO)1(32)4(〔2〕假设∠BOC=100°，那么∠A=度。〔3〕试探索：∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。

∠BOC=90º+∠A12老师提示：等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆。CABRrOD（A）1∶∶

（B）1∶2∶

（C）1∶∶2

（D）1∶2∶3

1、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为〔〕D〔A〕梯形〔B〕菱形〔C〕矩形〔D〕平行四边形2、以下图形中，一定有内切圆的四边形是〔〕B：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。CBAEDFOr切线垂直角平分线等角切线长等线段·BDEFOCA如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，那么OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝l·r设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，那么△ABC的内切圆的半径r＝结论2Sa＋b＋c·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径r.设AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF那么OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2结论设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径

r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.〔1〕求Rt△ABC的内切圆的半径.〔2〕假设移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：〔1〕设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF那么OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。〔2〕如下图，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,那么四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半径r的取值范围为0＜r≤3点评几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。小结：三角形的内切圆〔1〕三角形的内心是三角形内切圆的圆心〔2〕三角形的内心是三角形各角平分线的交点〔3〕三角形内心到三边的距离相等〔4〕三角形面积〔C为三角形周长，r为内切圆半径〕(5)直角三角形的内切圆的半径为r

与

各边长a、b、c的关系是如图，PA与PB分别切⊙O于A、B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线交PA及PB于